SUITES RÉELLES GENERALITES Monotonie :(u

SUITES RÉELLES

GENERALITES Monotonie :

(u_n) est croissante sur I pour tout n de I, u⇔ ⁿ⁺¹  un . (u_n) est décroissante sur I pour tout n de I, u⇔ ⁿ⁺¹  un . (u_n) est constante pour tout n de I , u⇔ ⁿ⁺¹ = un .

Majorant et minorant :

(u_n) est majorée il existe un réel M tel que pour tout n de I, u⇔ ⁿ  M . (u_n) est minorée il existe un réel m tel que pour tout n de I, u⇔ ⁿ  M . (u_n) est bornée elle est minorée et majorée.⇔

SUITES ARITHMÉTIQUES D

éfinition :

(u_n) est arithmétique pour tout n de I, u⇔ ⁿ⁺¹ = un + r où r est un réel . r s’appelle la raison.

P

ropriété :

Si u est une suite arithmétique de raison r alors :

u_n = u_k + ( n - k ) r u_n = u₀ + n r u_p + u₁ +...+ u_n = u_p+u_n

2 (n – p + 1) Si r > 0 alors u est croissante , si r < 0 alors u est décroissante.

SUITES GÉOMÉTRIQUES D

éfinition :

(u_n) est géométrique pour tout n de I, u⇔ ⁿ⁺¹ = q un où q ∈ℝ^* . q s’appelle la raison P

ropriété :

Si u est une suite géométrique de raison q alors :

u_n = q ^n-k u_k u_n = qⁿ u₀ u_p + u₁ +...+ u_n = u_p 1 – q^n−p+1

1 – q pour q ≠1 Si |q| <1 alors lim qⁿ = 0

Si q > 1 alors lim qn = +∞

Si q - 1 alors q ⁿ n’a pas de limite

DÉRIVATION

Si f dérivable en a, alors le nombre dérivé de f en a est le coefficient directeur de la tangente à C_f en A ( a ; f(a) ).

Si f dérivable en a alors l’équation de la tangente à C_f au point d’abscisse A ( a ; f(a) ) est : y = f ‘(a) ( x - a ) + f (a)

Dérivées des fonctions de référence u est une fonction

f(x) f ‘(x) f(x) f ‘(x) f(x) f ‘(x)

k (constante

réelle) 0 1

x – 1

x² uⁿ nu ' uⁿ

a x + b a et b

réels a

√

x 1

2

√

^x

1 u

−u ' u²

xⁿ n x^n-1 e^x e^x e^u u ' e^u

ln(x) 1

x ln(u) u '

u Dérivées d’une somme, d’un produit et d’un quotient. ( k un réel)

( u + v ) ‘ = u ‘ + v ‘ ; (u.v) ‘ = u ‘ . v + u . v ‘ ; (kf) ‘ = k f ’ ;



¹v



^{'= –v '}v²

et



^uv



^{'=u '×v – u×}_v^{2 v '}

Soit f dérivable sur I.

Si f ’ > 0 sur I ou nulle en un nombre fini de valeurs alors f est strictement croissante sur I.

Si f ’ < 0 sur I ou nulle en un nombre fini de valeurs alors f est strictement décroissante sur I Si f ‘ = 0 sur I alors f est constante sur I.

--- EXPONENTIELLE

Pour tous les réels x et y et n entier relatif on a : e⁰ = 1 e^x > 0 e^{– x}=1

e^x e^xy=e^x×e^y e^{x – y}=e^x

e^y e^nx=e^xⁿ

Pour a > 0 e^x = a ⇔ x = ln (a) e^x < a ⇔ x < ln (a) e^x > a ⇔ x > ln (a)

--- LOGARITHME NEPERIEN

ln(x) = y avec x > 0 ⇔ e^y = x Pour tout x >0 , e^ln(x) = x Pour tout réel x , ln ( e^x ) = x ln est continue car Exp l’est.

Pour tous les réels x > 0 et y > 0 et tout entier naturel n : ln ( x y ) = ln ( x ) + ln ( y )

ln



^1x



= - ln ( x ) ln



^xy



= ln ( x ) - ln ( y ) ln( xⁿ ) = n ln ( x ) ln



x = 1

2 ln ( x ) Pour tous les réels a et b strictement positifs

ln(a) = ln(b) ⇔ a = b ln(a) < ln(b) ⇔ 0 < a < b ln(x) > n ⇔x > eⁿ ln(x) > 0 ⇔x > 1 ln(x) < n ⇔ 0 < x < eⁿ ln(x) < 0 ⇔ 0 < x < 1

Exp est strictement croissante sur ℝ.

CONVEXITE

Définitions :

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et C sa courbe représentative.

^l f est convexe sur I si C est entièrement au dessus de chacune de ses tangentes sur I.

^l f est concave sur I si C est entièrement en dessous de chacune ses tangentes sur I.

Définition :

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I , C sa courbe représentative et a ∈I.

A(a;f(a)) est un point d'inflexion de C si en A, C traverse sa tangente.

Conséquence : S'il y a un point d'inflexion en A alors f change de concavité en a.

CONVEXITE ET DERIVEES Soit f une fonction dérivable sur I.

^l f est convexe sur I ⇔ f ' est croissante sur I. ^l f est concave sur I ⇔ f ' est décroissante sur I Définition :

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I

On dit que f est deux fois dérivable sur I si f ' est elle même dérivable sur I. La dérivée de f ' s'appelle alors la dérivée seconde de f sur I et se note f ''

Soit f une fonction deux fois dérivable sur I.

^l f est convexe sur I ⇔ f ''(x)  0 pour tout x de I. ^l f est concave sur I ⇔ f ''(x)  0 pour tout x de I.

Soit f une fonction deux fois dérivable sur I , C sa courbe représentative et a ∈I .

Le point A ( a;f(a)) est un point d'inflexion de C ⇔ f '' s'annule en a en changeant de signe.

--- PROBABILITES

épreuve et schema de bernoulli et loi binomiale

Définition :

Pour n ≠ 0, un schéma de Bernoulli est une répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes dont p(S) = p. On dit que c'est un schéma de Bernoulli de paramètres (n;p) Définition :

Soit un schéma de Bernoulli de paramètres (n;p). On note X la variable aléatoire qui à chaque résultat de ce schéma de Bernoulli associe le nombre de succès. La loi de probabilité de X est appelée loi binomiale de paramètres n et p.

Propriété :

Si X est variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p, alors pour tout entier naturel k  n on a P(X=k) =



ⁿk



^{pk 1 – pn – k}

Pour calculer



¹⁰3



= 120 avec une calculatrice :TEXAS : 10 MATH PRB nCr 3 ENTER CASIO : 10 OPTN F 6 PROB nCr 3 EXE

Propriété :

Si X est variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p, alors E(X) = n.p et V(X) = n p (1-p)

PROBABILITES CONDITIONNELLES

Définition :

Soit A un événement non vide d'un univers .

On appelle probabilité de B sachant A le réel PA(B) = P(B/A) = PA∩B

PB

Propriété :

Si A et B sont deux événements non vides alors P(A∩B) = PA(B) P(A) = PB(A) P(B).

Propriété :

Si A ≠∅ alors PA( B ) = 1 - PA(B) FORMULE DES PROBABILITES TOTALES

Propriété :

Si E1 ; E2...Ek sont k événements non vides et

si E1 ; E2...Ek forment une partition de l'univers  alors:

P(A) = P(A ∩E¹) + P(A ∩E²)+...+P(A ∩E^k)

= PE1(A) P(E1) + PE2(A) P(E2)...+ PEk(A) P(Ek) Propriété :

Si B et B sont non vides alors P(A) = P(A ∩B) + P(A∩ B )

= PB(A).P(B) + ^PBA.P( B )

LOIS DE PROBABILITE CONTINUES

On considère une expérience aléatoire et un univers associé  , muni d'une probabilité .

Une variable aléatoire X est dite continue si elle peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle I de ℝ Soit X une variable aléatoire continue à valeur dans un intervalle I de ℝ.

On appelle densité de probabilité sur I toute fonction f définie sur I vérifiant les trois conditions : f continue sur I f positive sur I

∫

I

f(x)d x =1

On définit la loi de probabilité P de densité f de X en associant à tout intervalle [a;b] ⊂ I le réel : P( X ∈ [a;b]) =

∫

a b

fxd x On dit que P est une loi de probabilité continue à densité f sur I.

L'espérance d'une variable aléatoire X de densité f sur I est E(X) =

∫

I

x f(x)d x LA LOI UNIFORME SUR [a;b]

Définition :

On appelle loi uniforme sur I = [a;b] la loi de probabilité continue sur I dont la densité f est la fonction constante égale à fx= 1

b – a .

Propriété :

Si X suit la loi uniforme sur [a;b] alors pour tout intervalle [,]⊂ [a;b] P(X ∈ [,]) = ^β_{b – a}^–α Propriété :

Si X suit la loi uniforme sur [a;b] alors son espérance est E(X) = a+b 2

LOI NORMALE CENTREE REDUITE :

N

^(0;1)

Une variable aléatoire X suit une loi normale centré réduite si sa fonction densité est la fonction définie sur ℝ par fx= 1



2e^{– x2/2} elle se note

N ^(0;1)

P(a  X  b ) =

∫

a b

fxd x

L'aire sous la courbe est 1 : elle représente P(X ∈ ]–∞;∞[)

La courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées donc P(X _∈[0;∞ [) = 1 2 P( X  u) = P( X  -u) donc P( X  - u) = 1 – P ( X  u )

Si X est une variable aléatoire qui suit la loi normale

N ^(0;1)

alors son espérance est E(X) = 0 et son écart- type est 1.

Intervalles particuliers à connaître

P( X ∈ [-1;1] ) ≈ 0,68 P( X ∈ [-1,96;1,96] ) ≈ 0,95 P( X ∈ [-2;2] ) ≈ 0,954 P( X ∈ [-3;3] ) ≈ 0,997 LOI NORMALE

N

⁽

^

^{; }

²

⁾

Dire qu'une variable aléatoire X suit une loi normale

N

^{(  ;  2} ) signifie que la variable aléatoire T=X –

 suit une loi normale

N ^(0;1)

Si une variable aléatoire suit une loi normale

N

^{(  ;  2} ) , alors son espérance est  , sa variance est ² et son écart-type est .

---

INTERVALLE DE FLUCTUATION - ESTIMATION

INTERVALLE DE FLUCTUATION

On admet que dés que n  30 , n.p 5 et n (1-p) 5 Si Xn suit une loi binomiale B(n;p) avec p

∈]0;1[ L'intervalle Jn=

[

^{p – 1,96}

^√

^{p(1 – p)}

√

n ; p+1,96

√

^{p(1 – p)}

√

n

]

est appelé intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la variable aléatoire fréquence F_n=X_n

n .

ESTIMATION

Si f est la fréquence d'un caractère d'un échantillon de taille n avec n  30 , n.f 5 et n (1-f) 5 alors l'intervalle

[

^{f –}



¹n;f 1



n

]

est appelé intervalle de confiance de la fréquence p de toute la population au niveau de confiance 0,95

Taille minimale de l'échantillon pour avoir une précision donnée :

Avec un niveau de confiance 0,95, l'amplitude de l'intervalle de confiance est de 2



ⁿ . Donc si l'on veut situé p dans un intervalle de longueur a donnée il faut donc que 2



n  a et donc n  4 a² .

---

INTEGRATION

PRIMITIVE

Soient f et F deux fonctions définies sur I.

F est une primitive de f sur I si F est dérivable sur I et pour tout x de I F ‘(x) = f (x) Si f continue sur I alors f admet une primitive sur I.

Si f admet une primitive sur I alors : - elle en admet une infinité, toutes égales à une constante prés.

- pour tout couple ( x₀ ; y₀) avec x₀ ∈I et y₀ ∈ℝ, il existe une unique primitive F₀ de f sur I telle que F₀ ( x₀ ) = y₀ PRIMITIVES USUELLES c désigne un réel quelconque et u une fonction

f(x) F(x)

^{fonction primitive}

k (une constante) kx+c u’ e^u e^u + c

xⁿ xⁿ⁺¹

n+1 + c u '

u

ln(u) + c

1÷x ln(∣x∣)+ c

e

^x e^x + c u '

√

u 2

√

u + c

1

√

x 2

√

^{x + c}

Soient f et g deux fonctions admettant F et G comme primitives sur I alors une primitive de a .f + b.g où a et b sont des réels est a F + b G.

INTEGRALE

Le plan est muni d’un repère orthogonal O; i,j tel que OI=i et OJ=j et OIKJ rectangle.

:

On appelle unité d’aire, l’aire du rectangle OIKJ.

Soit une fonction continue et positive sur [a;b] et C la courbe représentative de f dans le repère O; i,j .

On appelle intégrale de f sur [a;b] le réel noté

∫

a b

fxd x représentant l’aire , en unité d’aire, du domaine D délimité par C, l’axe des

abscisses, et les droites d’équations x = a et x= b.

Soit une fonction continue et négative sur [a;b] et C la courbe représentative de f dans le repère . O;i,j On appelle intégrale de f sur [a;b] le réel noté

∫

a b

fxd x représentant l’opposé de l’aire , en unité d’aire, du domaine D délimité par C, l’axe des abscisses, et les droites d’équations x = a et x= b.

Intégrale et primitive

Soit une fonction f continue sur [a;b] , la fonction A : x

∫

a x

fxd x définie sur [a;b] est la primitive de f sur [a;b] qui s’annule en a.

Si f est continue sur [a;b] alors

∫

a b

fxd x = F(b) - F(a) où F est une primitive quelconque de f sur [a;b].

Propriétés des intégrales

Dans tout ce chapitre f et g sont continues sur I et a, b et c sont des éléments de I et  et  deux réels.

Définition :

Soit une fonction continue sur [a;b] , on appelle valeur moyenne de f sur [a;b] le réel  = 1

b – a

∫

a b

fxd x

Remarque :  représente la hauteur rectangle de largeur b – a qui a la même aire que l'aire du domaine sous la courbe représentative de f entre a et b

Propriété :

∫

a b

fxd x = -

∫

b a

fxd x

∫

a b

fxd x +

∫

b c

fxd x =

∫

a c

fxd x ( relation de Chasles)

∫

a b

fxgxd x = 

∫

a b

fxd x + 

∫

a b

gxd x ( linéarité) Propriété : (positivité)

Si a  b et f continue et positive sur [a;b] alors

∫

a b

fxd x  0

Remarque : Si f continue et positive et a b alors

∫

a b

fxd x  0 Si f continue et négative et a  b alors

∫

a b

fxd x  0 Si f continue et négative et a b alors

∫

a b

fxd x  0

Propriété :(conservation de l’ordre)

Si a  b , f et g continues sur [a;b] et f  g sur [a;b], alors

∫

a b

fxd x 

∫

a b

gxd x

Propriété :

Si a  b , f et g continues sur [a;b] et f  g sur [a;b], alors l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par les deux courbes représentatives de f et g et les droites d’équations x = a et x = b

est

∫

a b

gx−fxd x