Etudier la monotonie des suites (a n ) n∈ N , (b n ) n∈ N ,(c n ) n∈ N et (d n ) n∈ N d´efinie par pour tout n ∈ N :

Lyc´ ee Dominique Villars TD ECE 2

Suites et fonctions d´ efinies par une int´ egrale

Etudier la monotonie des suites (a n ) n∈ N , (b n ) n∈ N ,(c n ) n∈ N et (d n ) n∈ N d´efinie par pour tout n ∈ N :

a _n = Z _n

0

e ^−t

dt b _n = Z

n

x

1 + x ³ dx c _n = Z 0

−1

xe ⁿ

^x dx d _n = Z

n

1

(ln y) ³ dy.

Exercice 1 (Monotonie de suites d´efinies par des int´egrales).

Soit la suite (I _n ) _n ∈ N tel que pour tout n ∈ N :

I _n = Z 1

0

x ⁿ √

1 − x dx

1. Montrer que la suite (I _n ) _n ∈N est d´ecroissante et minor´ee. En d´eduire qu’elle converge.

2. En majorant l’int´egrande, montrer que ∀ n > 1 , I _n 6 1

n + 1 En d´eduire la limite de la suite (I _n ) _n ∈N .

3. Trouver une relation entre I _n +1 et I _n (on pensera ` a une int´egration par partie).

4. En d´eduire une expression de I n . Exercice 2.

Soit n un entier naturel. On consid`ere l’int´egrale

I _n = Z 1

0

x ⁿ (1 − x) ⁿ dx.

1. Etudier la monotonie de la suite (I _n ) _n et donner un encadrement simple de I _n . 2. En d´eduire que la suite (I _n ) _n est convergente.

3. Montrer que ∀ n ∈ N , 0 6 I n 6 1

4 ⁿ . (Etudier la fonction x 7→ x − x ² sur [0, 1]).

4. En d´eduire la limite de la suite (I n ) n . Exercice 3.

Soit n ∈ N , on consid`ere l’int´egrale

I _n =

1

Z

0

xdx 1 + x ⁿ

1. En remarquant que x/(1 + x) = 1 − 1/(1 + x), calculer I 1 . Que vaut I 2 ? 2. Quel est le signe de I _n ? Donner un encadrement de la suite (I _n ).

3. D´eterminer la monotonie de la suite (I n ).

4. En d´eduire le comportement asymptotique de la suite (I _n ) _n . 5. Justifier que ∀ n ∈ N ,

Z 1 0

x(1 − x ⁿ )dx 6 I _n 6 Z 1

0

xdx.

6. En d´eduire, la valeur de lim

n →+∞ I n .

Exercice 4.

Soient les suites (I _n ) _n ∈N et (J _n ) _n ∈N telles que pour tout n ∈ N ,

I _n = Z 1

0

t ⁿ

1 + t ² dt J _n = Z 1

0

t ⁿ ln(1 + t ² )dt

1. Donner la monotonie des suites (I _n ) _n ∈N et (J _n ) _n ∈N . 2. Montrer que : ∀ n > 1,

0 6 I _n 6 1 n + 1 En d´eduire que la suite(I _n ) _n ∈N est convergente et lim _n →+∞ I _n . 3. A l’aide d’une int´egration par parties, montrer que,

J _n = ln 2

n + 1 − 2 n + 1 I _n +2

4. En d´eduire la limite de (J n ) n∈ N et celle de la suite (nJ n ) n∈ N . Exercice type concours 5 (EML 1991).

Pour chacune des fonctions a, b et c suivantes, donner l’ensemble de d´efinition, justifier que la fonction est C ¹ et expliciter la d´eriv´ee sur cet ensemble.

a(x) = Z _x

1

ln(t) dt b(x) = Z 1

x

t ln(t)

√ t ³ + 1 dt c(x) = Z 3 x

1 2

dt t ² − t Exercice 6 (Ensemble de d´efinition et r´egularit´e de fonctions d´efinies par une int´egrale).

Soit f la fonction d´efinie sur R par :

∀ x ∈ R , f (x) = Z 2 x

x

exp( − t ² ) dt 1. Montrer que f est une fonction impaire.

2. Justifier que f est de classe C ¹ puis ´etudier ses variations.

3. Montrer que ∀ x ∈ ]0, + ∞ [,

x exp( − 4x ² ) 6 f (x) 6 x exp( − x ² ) puis en d´eduire lim _x →+∞ f (x).

Exercice 7.

On consid`ere les fonctions F et F d´efinies par

F (x) = Z x

1

ln t

1 + t ² dt G(x) =

x

Z

1 /x

ln t 1 + t ² dt

1. Montrer que F est C ¹ sur D f et calculer F ^′ .

2. Expliciter D G puis exprimer G(x) en fonction de F (x) et F 1

x

. 3. Montrer que G est d´erivable sur D G . Calculer G ^′ et G(1). En d´eduire G.

Exercice 8.