A20214. Encore Fibonacci
Dans les termes successifs (0,1,1,2,3,5,8,13, . . .) de la suite de Fibonacci, définie par Fn+1=Fn+Fn−1, je ne garde que les chiffres des unités.
Montrer que la suite obtenue (0,1,1,2,3,5,8,3,1,4,5, . . .) est périodique.
Solution
Pour chaque terme, le chiffre des unités Fnmod 10 ne peut prendre que 10 valeurs. Le couple (Fn−1 mod 10, Fnmod 10) prend au plus 100 valeurs distinctes ; il finira par coïncider avec un couple déjà obtenu (Fn−1−pmod 10, Fn−p mod 10), et les termes suivants vont reproduire les précédents avec une périodep.
De fait la période est 60, car on peut voir que la période modulo 2 est 3, et la période modulo 5 est 20.
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