A362. Les réversibles
Un entier n est appelé réversible s'il est un multiple k de l'entier m obtenu en lisant n de droite à gauche.Comme on écarte toute écriture non standard des entiers m et n commençant par un zéro, les entiers m et n ont le même nombre de chiffres.
Si k = 1, l'entier n est un palindrome. On s'intéresse ci-après aux seuls nombres réversibles qui ne sont pas des nombres palindromes.
Q1 Déterminer les valeurs possibles de k.
Q2 Pour chacune des valeurs de k précédemment déterminées, trouver tous les entiers réversibles de 10 chiffres.
Q1) Le nombre k ne dépasse pas 9 sinon n aurait plus de chiffres que m.
Soit a est le chiffre des unités de m , b = (k.a) mod 10 est le chiffre des unités de n.
m = b...a et n = k.m = k.(b...a) = a...b et a ≥ k.b.
L'inventaire pour k de 2 à 8, et a de 1 à 9 , et b > 0 conduit à trois éventualités : ou 2(2...6) = 6...2, ou 3(1...7) = 7...1 ou 4(2...8) =8...1
Premier cas impossible car les retenues successives ne dépassent pas 1, 4 + une retenue < 6.
Deuxième cas impossible car les retenues successives ne dépassent pas 3, 3 + une retenue < 7.
Les valeurs possibles de k sont éventuellement 4 ou 9, aucune autre valeur de k n'est possible.
Q2) Étude de 4(2y...x8) = 8x...y2, 4*8=32 : retenue de 3, d'une part 4x+3 ≡ y modulo dix, et d'autre part 4y < 10 donc y vaut 1 ou 2.
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
4x+3 ≡ 7 1 5 9 3 7 1 5 9
(x, y) = (2, 1) ou (7, 1)
On n'a pas 4(21..28) = 82...12 car 4*21 + une retenue est supérieur à 82.
Si 4(21z...t78) = 87t...z12, 4t+3 ≡ z modulo dix, et 40 > (4z + la retenue) ≥ 30, z ≥ 7
t 1 4 6 9
4t+3 ≡ 7 9 7 9
On doit donc essayer 4.(217..178) = 871..712, 4.(217...678) = 876...712, et 4(219...478) = 874...912, et 4.(219...978) = 879...912
On exclut 4.(217...678) = 876...712, car passer de 4*217=868 à 876 nécessiterait une retenue de 8, et aussi 4(219...478) = 874...912, car 4*219 = 876 > 874.
Si 4.(217u...v178) = 871v...u712, 4v ≡ u modulo dix, et (4u + la retenue) = 30 + v, 4u >27, u = 7, 8, ou 9. Mais ''4v ≡ u modulo dix'' interdit u=7 ou 9, donc u=8 et (u,v)=(8,2) ou (8,7) (u,v)=(8,2)
4.(2178xy2178) = 8712yx8712, 4.(xy) = yx, xy est un multiple de 9 inférieur à 25, xy=00, 09, ou18, mais 4*09 ≠ 90 et 4*18 ≠ 81 : exclure, seul xy = 00 convient.
Une solution est 4.(2178002178) = 8712008712.
(u,v)=(8,7)
4.(2178xy7178) = 8717yx8712, 4.(7178) = 28712, 4.(xy) + 2 = 500 + yx : impossible.
Si 4.(219u...v978) = 879v...u912, 4*978 = 3912, 4v + 3 ≡ u modulo dix,
879 – 4*219 = 3, pour une retenue de 3 il faut comme précédemment u =7, 8, ou 9.
Mais ''4v + 3 ≡ u modulo dix'' interdit u=8. Donc u=7 ou u=9.
Si u=7, 4v + 3 ≡ 7 implique v=1 ou v=6 .
Si (u,v)=(7,1), 4.(2197xy1978) = 8791yx7912, 4*(xy) = 300 + yx, xy > 75, et 3*xy ≡ 3 mod 9, xy ≡ 1 mod 3 ; xy est à choisir parmi {76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, 97} et seul xy=82 convient.
Une solution est 4.(2197821978) = 8791287912
Si (u,v) = (7,6), 4.(2197xy6978) = 8796yx7912, 4*(xy) + 2 = 800 + yx impossible.
Si u=9, 4v + 3 ≡ 9, 4v ≡ 6 mod 10, 2v ≡ 3 mod 5, v=4 ou v=9
si (u,v)=(9,4), 4.(2199xy4978) = 8794yx9912, impossible car 4*2199 > 8794
si (u,v)=(9,9), 4.(2199xy9978) = 8799yx9912, 4*(xy) + 3 = 300 + yx, xy ≡ 0 mod 9, et xy >75 hk est à choisir parmi {81, 90, 99} et seul xy = 99 convient.
Une solution est 4.(2199999978) = 8799999912 Ce qui achève l'étude des réversibles associés à k = 4.
Réversibles associés à k = 9 : les premiers chiffres à gauche dans m et n sont nécessairement 1 et 9, 9.(1u...v9) = 9v...u1, 9u + une retenue < 10, donc u=0 ou u=1
si u=1, 9.(11..v9) = 9v..11 → (9v + 8 ≡ 1 mod 10) → v = 7 mais 9(11x...y79) = 97y...x11 est exclus car 9*11 > 97.
si u=0, on passe à 9.(10...v9) = 9v...01 → (9v + 8 ≡ 0 mod 10 ) → v=8 9.(10r..s89) = 98s..r01 → (9r + la retenue = 80 + s ) → r=8 ou r=9 si r=8 9.(108..s89) = 98s..801 → s=0, 9.(108f..g089) = 980g..f801
9*108 = 972 < 980, donc 9f + la retenue = 80 + g donc f=8 ou f=9, et 9g ≡ f mod 10 si f=8, g=2 et si f=9, g=1 d'où deux essais :
9.(1088xy2089) = 9802yx8801 impossible car quel que soit xy, 9.(1088xy2089) < 9802yx8801 et 9.(1089xy1089) = 9801yx9801 → 9*(xy) = yx → xy est multiple de 9 et inférieur à 12 → xy=00 ou xy = 09, mais 00 convient tandis que 09 ne convient pas.
Une solution est 9.(1089001089) = 9801009801 .
si r=9 9.(109..s89) = 98s..901 → (9s + 8 ≡ 9 mod 10 ) → s=9
9.(109u...v989) = 989v...u901 → (9u + la retenue = 80 +v ) donc u=8 ou u=9 et 9v + 8 ≡ u mod 10 (u,v) = (8,0) ou (u,v) = (9,9) d'où deux essais : 9.(1098xy0989) = 9890yx8901 et 9.(1099xy9989) = 9899yx9901
dans le premier cas, 9*(xy) = 800 + yx, 8*(xy)≡ 8 mod 9, xy est supérieur à 89 donc xy = 91 . On vérifie qu' une solution est 9.(1098910989) = 9890198901.
dans le deuxième cas 9*(xy) + 8 = 800 +yx, 8*(xy)≡ 0 mod 9, xy est supérieur à 88 donc xy=99 On vérifie qu' une solution est 9.(1099999989) = 9899999901.
Les entiers réversibles de 10 chiffres sont :
2178002178, 2197821978, 2199999978, 1089001089, 1098910989, 1099999989
