PanaMaths
[1 - 2]Mai 2006
Démontrer par récurrence que l’on a : , 2
3n1
∀ ∈ n ` − est un multiple de 7
Analyse
Une démonstration par récurrence assez « mécanique » où il convient de manipuler les puissances avec soin.
Résolution
Soit Pn la proposition « 23n−1 est un multiple de 7 ».
Pour n=0, on a : 23n− =1 20− = − = = ×1 1 1 0 7 0.
On a bien obtenu un multiple de 7. La proposition Pn est donc vraie au rang 0.
Supposons désormais que Pn soit vraie. On suppose donc que 23n−1 est un multiple de 7.
On s’intéresse à 23(n+1)−1.
On a :
( )
( )
( ) ( )
3 1 3 3
3 3
3 3
2 1 2 1
2 2 1 règle de calcul sur les puissances
8 2 1
8 2 1 7 on fait apparaître l'expression de l'hypothèse de récurrence
n n
n n
n
+ − = + −
= × −
= × −
= × − +
Puisque 23n−1 est un multiple de 7, on peut écrire : 23n− =1 7k, k étant un entier naturel.
Il vient alors :
( )
( )
( )
3 1 3
2 1 8 2 1 7
8 7 7
7 8 1
n n
k k
+ − = × − +
= × +
= × +
Cette dernière égalité établit que 23(n+1)−1 est bien un multiple de 7.
La propriété est ainsi vérifiée au rang n+1.
PanaMaths
[2 - 2]Mai 2006
On en déduit ainsi qu’elle est vraie pour tout entier naturel n.
Résultat final
,
∀ ∈n ` 23n−1 est un multiple de 7.
