M1G – G´ eom´ etrie
Corrig´ e du contrˆ ole final du mercredi 9 janvier 2019
Les documents sont autoris´ es mais les calculettes et les portables sont interdits. Il sera tenu compte de la qualit´ e de la r´ edaction pour l’attri- bution d’une note.
Exercice. – [7 pts ?] Soit F : R
3→ R une submersion de classe C
∞. On note S = F
−1(0) et on suppose S 6= ∅.
1) L’ensemble S est-il une sous-vari´ et´ e de R
3? On justifiera la r´ eponse.
R´ep.– L’ensemble S est une sous-vari´et´e de dimension 2 deR3. Cela r´esulte du th´eor`eme de la submersion (CM sur les sous-vari´et´es).
2) Soit M
0= (x
0, y
0, z
0) un point de S. Montrer que si
∂F∂z(M
0) 6= 0 alors il existe un voisinage V
1de (x
0, y
0), un voisinage V
2de z
0et une application ϕ : V
1→ V
2telle que
(x, y, z) ∈ (V
1× V
2) ∩ S ⇐⇒ (x, y) ∈ V
1et z = ϕ(x, y) .
R´ep.– C’est une application directe du th´eor`eme des fonctions implicites.
3) Montrer que ϕ est C
∞sur V
1et que pour tout (x, y) ∈ V
1on a dϕ
(x,y)= − F
x(x, y, ϕ(x, y))
F
z(x, y, ϕ(x, y)) dx − F
y(x, y, ϕ(x, y)) F
z(x, y, ϕ(x, y)) dy
R´ep.– Le th´eor`eme des fonctions implicites assure aussi que siF estC∞ alors il est de mˆeme pourϕ. De plus on a
dϕ(x,y)=− ∂F
∂z −1
◦ ∂F
∂(x, y) (x, y, ϕ(x, y)) o`u ∂(x,y)∂F d´esigne la diff´erentielle de (x, y)7→F(x, y, z). Ici on a
∂F
∂(x, y)(x, y, ϕ(x, y)) =Fx(x, y, ϕ(x, y))dx+Fy(x, y, ϕ(x, y))dy d’o`u l’expression demand´ee.
1
(fx∧fy)(x, y) = Fx(x, y, ϕ(x, y))
Fz(x, y, ϕ(x, y)),Fx(x, y, ϕ(x, y)) Fz(x, y, ϕ(x, y)),1
Ce vecteur n’est jamais nul puisque sa troisi`eme composante vaut 1. Ainsi f est r´eguli`ere.
5) Montrer qu’une ´ equation cart´ esienne du plan tangent ` a S en M
0est donn´ ee par
F
x(M
0)(X − x
0) + F
y(M
0)(Y − y
0) + F
z(M
0)(Z − z
0) = 0.
R´ep.– Notons queN(x0, y0) = (Fx(M0), Fy(M0), Fz(M0)) est un vecteur normal
`
aS enM0 puisqu’il est proportionnel `a (fx∧fy)(x0, y0).Par cons´equent, un point M = (X, Y, Z) est dansTM0S si et seulement si
h−−−→
M0M , N(x0, y0)i= 0.
L’´ecriture de cette condition fournit l’´equation demand´ee.
Probl` eme. – [13 pts ?] Soit R > 0. On consid` ere la surface param´ etr´ ee donn´ ee par
f : ]0, +∞[× R −→ R
3(u, v) 7−→ R
cos v chu , sin v
chu , (u − th u)
Le support de cette param´ etrisation est appel´ e la pseudo-sph` ere de rayon R. On pose
e
u(u, v) =
− cos v
chu , − sin v chu , thu
et e
v(u, v) = (− sin v, cos v, 0) . et on rappelle que pour tout u ∈ R
ch
2u − sh
2u = 1, ch
0u = shu, sh
0u = chu et thu = shu
chu
La pseudo-sph`ere
1) i) ´ Ecrire f
uet f
ven fonction de e
uet e
v.
ii) D´ eterminer les coefficients E, F et G de la premi` ere forme fonda- mentale I de f dans la base (f
u, f
v).
R´ep.– i) On a
fu = R
−shucosv
ch2u ,−shusinv ch2u ,th2u
= Rthu
−cosv chu,−sinv
chu,thu
fv = R
chu(−sinv,cosv,0) Ainsi
fu=Rthu eu et fv = R chuev
ii) On constate queeu etev sont unitaires et perpendiculaire entre eux ainsi E=hfu, fui=R2th2u, F =hfu, fvi= 0, G=hfv, fvi= R2
ch2u
2) i) Montrer que l’´ el´ ement d’aire vaut dS = R
2shu
ch
2u dudv ii) En d´ eduire que f est r´ eguli` ere.
iii) Montrer que
X→+∞
lim Z
X0
shu
ch
2u du = 1
et en d´ eduire l’aire de f restreinte ` a ]0, +∞[×[0, 2π].
d’o`u
Z X 0
shuch−2udu= 1− 1 chX et
X→+∞lim Z X
0
shu
ch2udu= 1.
On a
Aire(f) = lim
X→+∞
Z X 0
Z 2π 0
dS= lim
X→+∞
Z X 0
Z 2π 0
R2 shu
ch2ududv= 2πR2
3) Soit R
θla rotation d’angle θ par rapport ` a l’axe (Oz). Montrer que le support S de f est stable par R
θi. e. R
θ(S) ⊂ S.
R´ep.– Soit
Rθ=
cosθ −sinθ 0 sinθ cosθ 0
0 0 1
On v´erifie par un calcul direct que
Rθ(f(u, v)) =f(u, v+θ) ainsiS est stable parRθ
4) i) D´ eterminer une normale unitaire N aux points o` u f est r´ eguli` ere (on choisira celle pour laquelle la coordonn´ ee en z est positive)
R´ep.– i) Un calcul montre que fu∧fv=−shu
ch2u
thucosv,thusinv, 1 chu
A priori, on peut donc choisir indiff´eremment N(u, v) =±
thucosv,thusinv, 1 chu
Pour avoir la coordonn´ee enz est positive, il faut prendre le signe +.
5) i) D´ eterminer les coordonn´ ees du vecteur w = (cos v, sin v, 0) dans la base orthonorm´ ee (e
u, e
v, N ).
ii) D´ ecomposer f
uu, f
uvet f
vvdans la base (e
u, e
v, N ).
iii) D´ eterminer les coefficients L, M et N de la seconde forme fonda- mentale de f dans la base (f
u, f
v).
iv) Montrer que la courbure de Gauss K(u, v) de f est constante et n´ egative.
v) ´ Ecrire la matrice A de l’op´ erateur de Weingarten W de f dans la base (f
u, f
v) et d´ eterminer les courbures principales λ
1et λ
2.
R´ep.– i) On a
hw, eui=h
cosv sinv 0
,
−cosv chu
−sinv chu thu
i=− 1 chu
hw, Ni=h
cosv sinv 0
,
shucosv chu shusinv
chu 1 chu
i= shu chu
ethw, evi= 0.Ainsi
w=− 1
chueu+shu chuev
ii) On a
fuu = R 1 ch2u
−cosv chu,−sinv
chu,thu
+Rthu
shucosv
ch2u ,shusinv ch2u , 1
ch2u
= R 1
ch2ueu+R shu ch2uN fuv = −R shu
ch2u(−sinv,cosv,0)
= −R shu ch2uev fvv = − R
chu(cosv,sinv,0)
= R
ch2ueu−R shu ch2uN iii) On en d´eduit imm´ediatement
L=Rshu
ch2u, M= 0, N =−R shu ch2u iv) D’apr`es une question pr´ec´edente, on a
EG−F2=R4sh2u ch4u
R 0 −shu etλ1= Rshu1 ,λ2=−shuR .
6) Soit γ(u) =
R1(u, u). On consid` ere la courbe u 7→ γ(u) = f ◦ γ(u).
i) Montrer que γ est param´ etr´ ee par la longueur d’arc.
ii) Exprimer γ
00dans la base (e
u, e
v, N ).
iii) Montrer que la courbure principale k
γde γ ne s’annule jamais.
iv) Montrer que la normal principale n
princ(u) de γ(u) est incluse dans le plan tangent ` a f en γ(u).
v) En d´ eduire que γ est une courbe asymptotique.
Suggestion.– Utiliser le th´ eor` eme de Meusnier.
R´ep.– i) Puisque γ=f◦γ, on a
γ0(u) = R1fu(γ(u)) +R1fv(γ(u))
= thu eu+chu1 ev
d’o`u
kγ0(u)k2= sh2u ch2u+ 1
ch2u= 1.
ii) De mˆeme, on a
γ00(u) = R12(fuu(γ(u)) + 2fuv(γ(u)) +fvv(γ(u)))
= R−1 ch12ueu+chshu2uN−2chshu2uev+ch12ueu−chshu2uN
= 2R−1 ch12ueu−chshu2uev
= Rchu2 chu1 eu−shuchuev
iii) Puisque chu1 eu−shuchuev est de norme 1 et que Rchu2 >0 on en d´eduit que kγ(u) = 2
Rchu>0 et nprinc(u) = 1
chueu−shu chuev iv) L’expression denprinc montre quenprinc∈V ect(eu, ev) =V ect(fu, fv).
v) Le th´eor`eme de Meusnier affirme que
kγ0(u)(u) =kγ(u)hN(γ(u)), nprinc(u)i.
o`u kγ0(u)(u) est la courbure normale dans la direction γ0(u). Puisque nprinc ∈ V ect(eu, ev) on a
hN(γ(u)), nprinc(u)i= 0
d’o`ukγ0(u)(u) pour toutu, ce qui montre queγ est une courbe asymptotique.
7) Soient I ⊂ R et ϕ : I → ]0, +∞[ et
γ : I −→ ]0, +∞[× R t 7−→ γ(t) =
R1(ϕ(t), t)
D´ eterminer ϕ pour que γ = f ◦ γ soit une courbe asymptotique.
R´ep.– La courbe γest asymptotique si et seulement si
∀t∈I, II(γ0(t), γ0(t)) = 0 Puisqueγ(t) = R1(ϕ(t), t) on a
γ0(t) = 1
Rϕ0(t)fu(γ(t)) + 1
Rfv(γ(t)) Dans la base (fu, fv), on a doncγ0(t) =R1(ϕ0(t),1) et II(γ0(t), γ0(t)) = 1
R2(ϕ0(t),1)
L M M N
ϕ0(t) 1
= 1
R2 Lϕ02(t) + 2Mϕ0(t) +N En rempla¸cantL, Met N par leurs valeurs on obtient
II(γ0(t), γ0(t)) = shϕ(t)
Rch2ϕ(t)(ϕ02(t)−1) Puisqueϕ(t)∈]0,+∞[, on a shϕ(t)>0 et
II(γ0(t), γ0(t)) = 0 ⇐⇒ ϕ02(t)−1 = 0 ⇐⇒ ϕ0(t) =±1 ⇐⇒ ϕ(t) =t+t0 ou−t+t1
avecI= ]−t0,+∞[ ouI= ]− ∞, t1[.
8) Soient I ⊂ R et δ : I → ]0, +∞[×[0, 2π], t 7→ (u(t), v(t)), une courbe param´ etr´ ee. On note δ = f ◦ δ.
i) D´ eterminer les coordonn´ ees de δ
00(t) dans la base (e
u, e
v, N) en fonc- tion de R, u, v, u
0, v
0, u
00et v
00.
ii) On suppose d´ esormais que δ est une g´ eod´ esique param´ etr´ ee par la longueur d’arc. Montrer que
u
00shu + 1
chu (u
02+ v
02) = 0 (1) v
00− 2u
0v
0thu = 0 (2)
iii) On suppose en outre que v
0(t) 6= 0 pour tout t ∈ I. Montrer qu’il existe k ∈ R
∗tel que
∀t ∈ I, v
0(t) = k ch
2u(t)
= u Rthu eu+v chuev+u R ch2ueu+Rch2uN +2u0v0 −Rchshu2uev
+v02 chR2ueu−Rchshu2uN
= R(u00thu+u02ch12u +v02ch12u)eu
+R(v00chu1 −2u0v0chshu2u)ev+Rchshu2u(u02−v02)N
ii) Siδ00est une g´eod´esique alors sa composante tangentielle est nulle ce qui signifie que
u00shu+ 1
chu(u02+v02) = 0 (1) v00−2u0v0thu= 0 (2) iii) Puisque par hypoth`esev0(t)6= 0 pour toutt, on a
(2) ⇐⇒ v00
v0 = 2u0shu
chuu ⇐⇒ lnv0= 2 ln chu+c ⇐⇒ v0 =kch2u iv) Notonsδ(t) = (x(t), y(t), z(t)). On a d’une part
ρ(t) =p
x2(t) +y2(t) = R chu(t) D’autre part, puisqueδ(t) est param´etr´ee par la longueur d’arc
cosθ(t) =hδ0(t), evi=hu0(t)Rthu(t)eu+v0(t) R
chu(t)ev, evi=v0(t) R chu(t) Au bilan
ρ(t) cosθ(t) =v0(t) R2 ch2u(t) D’apr`es la question pr´ec´edentev0=kch2uainsi
ρ(t) cosθ(t) =kR2.