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Exercice. – [7 pts ?] Soit F : R

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

M1G – G´ eom´ etrie

Corrig´ e du contrˆ ole final du mercredi 9 janvier 2019

Les documents sont autoris´ es mais les calculettes et les portables sont interdits. Il sera tenu compte de la qualit´ e de la r´ edaction pour l’attri- bution d’une note.

Exercice. – [7 pts ?] Soit F : R

3

→ R une submersion de classe C

. On note S = F

−1

(0) et on suppose S 6= ∅.

1) L’ensemble S est-il une sous-vari´ et´ e de R

3

? On justifiera la r´ eponse.

R´ep.– L’ensemble S est une sous-vari´et´e de dimension 2 deR3. Cela r´esulte du th´eor`eme de la submersion (CM sur les sous-vari´et´es).

2) Soit M

0

= (x

0

, y

0

, z

0

) un point de S. Montrer que si

∂F∂z

(M

0

) 6= 0 alors il existe un voisinage V

1

de (x

0

, y

0

), un voisinage V

2

de z

0

et une application ϕ : V

1

→ V

2

telle que

(x, y, z) ∈ (V

1

× V

2

) ∩ S ⇐⇒ (x, y) ∈ V

1

et z = ϕ(x, y) .

R´ep.– C’est une application directe du th´eor`eme des fonctions implicites.

3) Montrer que ϕ est C

sur V

1

et que pour tout (x, y) ∈ V

1

on a dϕ

(x,y)

= − F

x

(x, y, ϕ(x, y))

F

z

(x, y, ϕ(x, y)) dx − F

y

(x, y, ϕ(x, y)) F

z

(x, y, ϕ(x, y)) dy

R´ep.– Le th´eor`eme des fonctions implicites assure aussi que siF estC alors il est de mˆeme pourϕ. De plus on a

(x,y)=− ∂F

∂z −1

◦ ∂F

∂(x, y) (x, y, ϕ(x, y)) o`u ∂(x,y)∂F d´esigne la diff´erentielle de (x, y)7→F(x, y, z). Ici on a

∂F

∂(x, y)(x, y, ϕ(x, y)) =Fx(x, y, ϕ(x, y))dx+Fy(x, y, ϕ(x, y))dy d’o`u l’expression demand´ee.

1

(2)

(fx∧fy)(x, y) = Fx(x, y, ϕ(x, y))

Fz(x, y, ϕ(x, y)),Fx(x, y, ϕ(x, y)) Fz(x, y, ϕ(x, y)),1

Ce vecteur n’est jamais nul puisque sa troisi`eme composante vaut 1. Ainsi f est r´eguli`ere.

5) Montrer qu’une ´ equation cart´ esienne du plan tangent ` a S en M

0

est donn´ ee par

F

x

(M

0

)(X − x

0

) + F

y

(M

0

)(Y − y

0

) + F

z

(M

0

)(Z − z

0

) = 0.

R´ep.– Notons queN(x0, y0) = (Fx(M0), Fy(M0), Fz(M0)) est un vecteur normal

`

aS enM0 puisqu’il est proportionnel `a (fx∧fy)(x0, y0).Par cons´equent, un point M = (X, Y, Z) est dansTM0S si et seulement si

h−−−→

M0M , N(x0, y0)i= 0.

L’´ecriture de cette condition fournit l’´equation demand´ee.

Probl` eme. – [13 pts ?] Soit R > 0. On consid` ere la surface param´ etr´ ee donn´ ee par

f : ]0, +∞[× R −→ R

3

(u, v) 7−→ R

cos v chu , sin v

chu , (u − th u)

Le support de cette param´ etrisation est appel´ e la pseudo-sph` ere de rayon R. On pose

e

u

(u, v) =

− cos v

chu , − sin v chu , thu

et e

v

(u, v) = (− sin v, cos v, 0) . et on rappelle que pour tout u ∈ R

ch

2

u − sh

2

u = 1, ch

0

u = shu, sh

0

u = chu et thu = shu

chu

(3)

La pseudo-sph`ere

1) i) ´ Ecrire f

u

et f

v

en fonction de e

u

et e

v

.

ii) D´ eterminer les coefficients E, F et G de la premi` ere forme fonda- mentale I de f dans la base (f

u

, f

v

).

R´ep.– i) On a

fu = R

−shucosv

ch2u ,−shusinv ch2u ,th2u

= Rthu

−cosv chu,−sinv

chu,thu

fv = R

chu(−sinv,cosv,0) Ainsi

fu=Rthu eu et fv = R chuev

ii) On constate queeu etev sont unitaires et perpendiculaire entre eux ainsi E=hfu, fui=R2th2u, F =hfu, fvi= 0, G=hfv, fvi= R2

ch2u

2) i) Montrer que l’´ el´ ement d’aire vaut dS = R

2

shu

ch

2

u dudv ii) En d´ eduire que f est r´ eguli` ere.

iii) Montrer que

X→+∞

lim Z

X

0

shu

ch

2

u du = 1

et en d´ eduire l’aire de f restreinte ` a ]0, +∞[×[0, 2π].

(4)

d’o`u

Z X 0

shuch−2udu= 1− 1 chX et

X→+∞lim Z X

0

shu

ch2udu= 1.

On a

Aire(f) = lim

X→+∞

Z X 0

Z 0

dS= lim

X→+∞

Z X 0

Z 0

R2 shu

ch2ududv= 2πR2

3) Soit R

θ

la rotation d’angle θ par rapport ` a l’axe (Oz). Montrer que le support S de f est stable par R

θ

i. e. R

θ

(S) ⊂ S.

R´ep.– Soit

Rθ=

cosθ −sinθ 0 sinθ cosθ 0

0 0 1

 On v´erifie par un calcul direct que

Rθ(f(u, v)) =f(u, v+θ) ainsiS est stable parRθ

4) i) D´ eterminer une normale unitaire N aux points o` u f est r´ eguli` ere (on choisira celle pour laquelle la coordonn´ ee en z est positive)

R´ep.– i) Un calcul montre que fu∧fv=−shu

ch2u

thucosv,thusinv, 1 chu

A priori, on peut donc choisir indiff´eremment N(u, v) =±

thucosv,thusinv, 1 chu

Pour avoir la coordonn´ee enz est positive, il faut prendre le signe +.

(5)

5) i) D´ eterminer les coordonn´ ees du vecteur w = (cos v, sin v, 0) dans la base orthonorm´ ee (e

u

, e

v

, N ).

ii) D´ ecomposer f

uu

, f

uv

et f

vv

dans la base (e

u

, e

v

, N ).

iii) D´ eterminer les coefficients L, M et N de la seconde forme fonda- mentale de f dans la base (f

u

, f

v

).

iv) Montrer que la courbure de Gauss K(u, v) de f est constante et n´ egative.

v) ´ Ecrire la matrice A de l’op´ erateur de Weingarten W de f dans la base (f

u

, f

v

) et d´ eterminer les courbures principales λ

1

et λ

2

.

R´ep.– i) On a

hw, eui=h

 cosv sinv 0

,

−cosv chu

−sinv chu thu

i=− 1 chu

hw, Ni=h

 cosv sinv 0

,

shucosv chu shusinv

chu 1 chu

i= shu chu

ethw, evi= 0.Ainsi

w=− 1

chueu+shu chuev

ii) On a

fuu = R 1 ch2u

−cosv chu,−sinv

chu,thu

+Rthu

shucosv

ch2u ,shusinv ch2u , 1

ch2u

= R 1

ch2ueu+R shu ch2uN fuv = −R shu

ch2u(−sinv,cosv,0)

= −R shu ch2uev fvv = − R

chu(cosv,sinv,0)

= R

ch2ueu−R shu ch2uN iii) On en d´eduit imm´ediatement

L=Rshu

ch2u, M= 0, N =−R shu ch2u iv) D’apr`es une question pr´ec´edente, on a

EG−F2=R4sh2u ch4u

(6)

R 0 −shu etλ1= Rshu12=−shuR .

6) Soit γ(u) =

R1

(u, u). On consid` ere la courbe u 7→ γ(u) = f ◦ γ(u).

i) Montrer que γ est param´ etr´ ee par la longueur d’arc.

ii) Exprimer γ

00

dans la base (e

u

, e

v

, N ).

iii) Montrer que la courbure principale k

γ

de γ ne s’annule jamais.

iv) Montrer que la normal principale n

princ

(u) de γ(u) est incluse dans le plan tangent ` a f en γ(u).

v) En d´ eduire que γ est une courbe asymptotique.

Suggestion.– Utiliser le th´ eor` eme de Meusnier.

R´ep.– i) Puisque γ=f◦γ, on a

γ0(u) = R1fu(γ(u)) +R1fv(γ(u))

= thu eu+chu1 ev

d’o`u

0(u)k2= sh2u ch2u+ 1

ch2u= 1.

ii) De mˆeme, on a

γ00(u) = R12(fuu(γ(u)) + 2fuv(γ(u)) +fvv(γ(u)))

= R−1 ch12ueu+chshu2uN−2chshu2uev+ch12ueuchshu2uN

= 2R−1 ch12ueuchshu2uev

= Rchu2 chu1 eushuchuev

iii) Puisque chu1 eushuchuev est de norme 1 et que Rchu2 >0 on en d´eduit que kγ(u) = 2

Rchu>0 et nprinc(u) = 1

chueu−shu chuev iv) L’expression denprinc montre quenprinc∈V ect(eu, ev) =V ect(fu, fv).

v) Le th´eor`eme de Meusnier affirme que

kγ0(u)(u) =kγ(u)hN(γ(u)), nprinc(u)i.

(7)

o`u kγ0(u)(u) est la courbure normale dans la direction γ0(u). Puisque nprinc ∈ V ect(eu, ev) on a

hN(γ(u)), nprinc(u)i= 0

d’o`ukγ0(u)(u) pour toutu, ce qui montre queγ est une courbe asymptotique.

7) Soient I ⊂ R et ϕ : I → ]0, +∞[ et

γ : I −→ ]0, +∞[× R t 7−→ γ(t) =

R1

(ϕ(t), t)

D´ eterminer ϕ pour que γ = f ◦ γ soit une courbe asymptotique.

R´ep.– La courbe γest asymptotique si et seulement si

∀t∈I, II(γ0(t), γ0(t)) = 0 Puisqueγ(t) = R1(ϕ(t), t) on a

γ0(t) = 1

0(t)fu(γ(t)) + 1

Rfv(γ(t)) Dans la base (fu, fv), on a doncγ0(t) =R10(t),1) et II(γ0(t), γ0(t)) = 1

R20(t),1)

L M M N

ϕ0(t) 1

= 1

R202(t) + 2Mϕ0(t) +N En rempla¸cantL, Met N par leurs valeurs on obtient

II(γ0(t), γ0(t)) = shϕ(t)

Rch2ϕ(t)(ϕ02(t)−1) Puisqueϕ(t)∈]0,+∞[, on a shϕ(t)>0 et

II(γ0(t), γ0(t)) = 0 ⇐⇒ ϕ02(t)−1 = 0 ⇐⇒ ϕ0(t) =±1 ⇐⇒ ϕ(t) =t+t0 ou−t+t1

avecI= ]−t0,+∞[ ouI= ]− ∞, t1[.

8) Soient I ⊂ R et δ : I → ]0, +∞[×[0, 2π], t 7→ (u(t), v(t)), une courbe param´ etr´ ee. On note δ = f ◦ δ.

i) D´ eterminer les coordonn´ ees de δ

00

(t) dans la base (e

u

, e

v

, N) en fonc- tion de R, u, v, u

0

, v

0

, u

00

et v

00

.

ii) On suppose d´ esormais que δ est une g´ eod´ esique param´ etr´ ee par la longueur d’arc. Montrer que

u

00

shu + 1

chu (u

02

+ v

02

) = 0 (1) v

00

− 2u

0

v

0

thu = 0 (2)

iii) On suppose en outre que v

0

(t) 6= 0 pour tout t ∈ I. Montrer qu’il existe k ∈ R

tel que

∀t ∈ I, v

0

(t) = k ch

2

u(t)

(8)

= u Rthu eu+v chuev+u R ch2ueu+Rch2uN +2u0v0 −Rchshu2uev

+v02 chR2ueu−Rchshu2uN

= R(u00thu+u02ch12u +v02ch12u)eu

+R(v00chu1 −2u0v0chshu2u)ev+Rchshu2u(u02−v02)N

ii) Siδ00est une g´eod´esique alors sa composante tangentielle est nulle ce qui signifie que

u00shu+ 1

chu(u02+v02) = 0 (1) v00−2u0v0thu= 0 (2) iii) Puisque par hypoth`esev0(t)6= 0 pour toutt, on a

(2) ⇐⇒ v00

v0 = 2u0shu

chuu ⇐⇒ lnv0= 2 ln chu+c ⇐⇒ v0 =kch2u iv) Notonsδ(t) = (x(t), y(t), z(t)). On a d’une part

ρ(t) =p

x2(t) +y2(t) = R chu(t) D’autre part, puisqueδ(t) est param´etr´ee par la longueur d’arc

cosθ(t) =hδ0(t), evi=hu0(t)Rthu(t)eu+v0(t) R

chu(t)ev, evi=v0(t) R chu(t) Au bilan

ρ(t) cosθ(t) =v0(t) R2 ch2u(t) D’apr`es la question pr´ec´edentev0=kch2uainsi

ρ(t) cosθ(t) =kR2.

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