Universit´e Lille I L3 Maths
2012-2013 M-52
DS1 - Vendredi 9 novembre 2012 Dur´ee 2h
Les documents et les calculatrices ne sont pas autoris´es.
La correction tiendra compte de la r´edaction. En particulier, tous les th´eor`emes utilis´es doivent ˆetre
´enonc´es pr´ecis´ement. Le bar`eme donn´e est indicatif.
Vrai/Faux
Pour chaque question : +1 point par r´eponse juste, -1 point par r´eponse fausse (on ne demande pas de justifier).
a) L’image d’un ouvert par une application continue est un ouvert.
b) SiAet B sont connexes et siA∩B6=∅, alorsA∪B est connexe.
c) Zest dense dansR.
Exercice 1 (8 points)
a) Soit (E, d) un espace m´etrique, et A, B deux parties born´ees non vides de E. On rappelle que par d´efinition,
d(A, B) = inf{d(a, b)| a∈A, b∈B}.
i) Soitx∈Aety∈B. Montrer que∀a∈A, ∀b∈B, d(x, y)≤diamA+ diamB+d(a, b).
ii) Montrer queA∪B est born´e et que
diam(A∪B)≤diamA+ diamB+d(A, B). (1)
iii) On suppose de plus que A etB sont des compacts deE. Montrer qu’il existea∈A, b∈B tels qued(A, B) =d(a, b).
b) DansE =R, donner un exemple de parties ferm´ees born´ees non vides Aet B pour lesquelles il y a
´egalit´e dans (1).
c) On suppose maintenantE=M2(R) muni de la normeN∞. Soit A=
cosθ −sinθ sinθ cosθ
|θ∈R
et B=
λ1 0 0 λ2
| −1≤λ1≤1, −1≤λ2≤1
.
i) Montrer queAetBsont ferm´es et born´es dansE, et queI2=
1 0 0 1
et−I2sont dansA∩B.
ii) Montrer que diamA= diamB= 2. En d´eduire une majoration de diam(A∪B) `a l’aide de (1).
iii) V´erifier que pour toutM ∈A∪B, on aN∞(M)≤1, puis calculer diam(A∪B). A-t-on toujours
´egalit´e dans (1) ?
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Exercice 2 (10 points)
a) Soit E un espace m´etrique complet, et ϕ : E → E. On suppose que ϕ2 = ϕ◦ϕ est strictement contractante.
i) Montrer queϕ2 a un unique point fixe dansE, not´eαet v´erifier queϕ2(ϕ(α)) =ϕ(α).
ii) Montrer que tout point fixe deϕest un point fixe deϕ2. En d´eduire queϕadmet un unique point fixe dansE.
b) Dans la suite, on consid`ereE=C([0; 1],R) muni de la normek · k∞ : ∀f ∈E, kfk∞ = Max
x∈[0;1]|f(x)|.
Pour toute fonctionf ∈ C([0; 1],R), on d´efinit une fonctionT f de [0; 1] dansRpar
∀x∈[0; 1], T f(x) = Z x
0
f 1
1 +t2
dt On notera id la fonction identit´e et1la fonction constante ´egale `a 1 :
∀x∈[0; 1], id(x) =x et 1(x) = 1.
i) D´eterminerT1(x) pour tout x∈[0; 1], puiskT1k∞. V´erifier queTid(x) = Arctan(x).
ii) V´erifier que l’applicationT :f 7→T f est lin´eaire deE dansE et que pour toutf ∈E,
∀x∈[0; 1], |T f(x)| ≤xkfk∞. iii) En d´eduire que T ∈ Lc(E) et quekTkop≤1, puis calculerkTkop. iv) Montrer que pour toutf ∈E,∀x∈[0; 1], |T2f(x)|=
Rx
0 T f
1 1+t2
dt ≤Rx
0 1
1+t2kfk∞dtet en d´eduire que
kT2kop≤ Z 1
0
1 1 +t2dt.
c) Soitc∈Retϕ:E→E d´efinie parϕ(f) =c+T f pour f ∈E.
i) V´erifier que pour toutf, g∈E,
kϕ(f)−ϕ(g)k∞=kT(f−g)k∞ et kϕ2(f)−ϕ2(g)k∞=kT2(f−g)k∞.
ii) En d´eduire que ϕ est 1-lipschitzienne et que ϕ2 est π4-lipschitzienne. L’application ϕ est-elle strictement contractante ?
iii) Montrer en utilisant a) qu’il existe une unique fonctionf ∈Etelle que
∀x∈[0; 1], f(x) =c+ Z x
0
f 1
1 +t2
dt
Exercice 3 (1 point)
Soit (un)n et (vn)n deux suites r´eelles. Montrer que limsup
n→+∞ (un+vn) ≤ limsup
n→+∞
un + limsup
n→+∞
vn. En consid´erantun= (−1)n etvn = (−1)n+1, montrer que l’in´egalit´e pr´ec´edente peut ˆetre stricte.
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