Universit´e Lille I L3 Maths
2013-2014 M-52
DS1 - Lundi 4 novembre 2013 Dur´ee 2h
Les documents et les calculatrices ne sont pas autoris´es.
La correction tiendra compte de la r´edaction. En particulier, tous les th´eor`emes utilis´es doivent ˆetre
´enonc´es pr´ecis´ement. Le bar`eme donn´e est indicatif.
Vrai/Faux
Pour chaque question : +1 point par r´eponse juste, -1 point par r´eponse fausse (on ne demande pas de justifier).
a) Les ouverts non vides deRsont les intervalles de la forme ]a;b[, ]a; +∞[, ]− ∞;b[ et ]− ∞; +∞[.
b) Sif : (E, dE)→(F, dF) est continue et siK est un compact dansE, alorsf(K) est complet.
c) L’image d’une suite convergente par une application continue entre espaces m´etriques est une suite de Cauchy.
Exercice 1 (8,5 points)
Soit (E,k · k) unK-espace vectoriel norm´e, etu:E→Rune application lin´eaire. On note H son noyau : H ={x∈E |u(x) = 0}
a) Montrer que siuest continue, alorsH est ferm´e.
b) On suppose queun’est pas continue sur E.
i) Justifier l’existence deε0>0 et d’une suite (zn)n d’´el´ements deE tels que
∀n∈N∗,
kznk< 1
n et |u(zn)| ≥ε0
Pour x ∈ E, montrer que la suite de terme g´en´eral xn = x− u(x)
u(zn)zn converge et donner sa limite.
ii) Montrer queH est dense dansE.
c) SoitE=C([−1; 1],R). Pourf ∈E, on poseN∞(f) = Sup
t∈[−1;1]
|f(t)|etN1(f) = Z 1
−1
|f(t)|dt.
i) V´erifier que l’applicationud´efinie surE paru(f) =f(0) est lin´eaire.
ii) Montrer queu: (E, N∞)→Rest continue, et d´eterminerkukop dans ce cas.
iii) Montrer queu: (E, N1)→Rn’est pas continue.
iv) En d´eduire queH ={f ∈ E | f(0) = 0} est ferm´e dans (E, N∞), mais pas dans (E, N1). Que peut-on dire des normesN∞et N1 surE?
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Exercice 2 (9,5 points)
Soit (E,k · k) un R-espace vectoriel norm´e. On suppose queE est de dimension sup´erieure ou ´egale `a deux.
On noteBF(0, r) la boule ferm´ee de centre 0 et de rayonretS(0, r) la sph`ere de centre 0 et de rayonr.
a) Montrer que dans Rn, {x ∈ Rn | 1 ≤ kxk ≤ 2} est compact et que son compl´ementaire n’est pas connexe.
b) SiR >0, prouver que ]R; +∞[×S(0,1) est connexe par arcs. En d´eduire que cBF(0, R) est connexe (indication : on pourra introduire l’application ϕd´efinie sur[0; +∞[×S(0,1)parϕ(ρ, w) =ρw).
SoitK un compact deE.
c) Montrer qu’il existeR >0 tel queK ⊂BF(0, R), et que cBF(0, R) est inclus dans une composante connexe de cK. On notera C∞ cette composante connexe, appel´ee composante connexe non born´ee de cK.
d) On suppose ici qu’il existex0∈ cK\C∞.
i) Soitw∈S(0,1) : montrer que la demi-droite{x0+tw|t≥0} est connexe et rencontreC∞. En d´eduire qu’il existex∈K ett >0 tels quex0+tw=x. V´erifier qu’alorst=kx−x0k.
ii) Montrer que l’application x 7→ x−x0
kx−x0k est surjective de K sur S(0,1), puis que S(0,1) est compacte.
iii) A l’aide de l’application ϕ, en d´eduire que BF(0,1) est compacte.
e) On suppose queEest de dimension infinie et on rappelle que dans ce cas, d’apr`es leth´eor`eme de Riesz, BF(0,1) n’est pas compacte : montrer que le compl´ementaire d’un compact est toujours connexe. Ce r´esultat est-il vrai en dimension finie ?
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