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Exercice 1. (4 pts) Soit f : D ⊂ R

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Academic year: 2021

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(1)

M33 Compl´ ements d’int´ egration, S3 2011-2012 Interrogation ´ Ecrite II, 15 novembre 2011

Dur´ ee 1 heure

Documents, calculettes et t´ el´ ephones portables ne sont pas autoris´ es.

R´ epondre dans les espaces pr´ evus ` a cet effet.

Exercice 1. (4 pts) Soit f : D ⊂ R

2

→ R.

(a) (1,5 pts) Donner la d´ efinition de “f est continue sur D.”

(b) (1,5 pts) Donner la d´ efinition de “f est uniform´ ement continue sur D.”

(c) (1 pt) Donner une condition suffisante sur D pour que toute fonction continue sur D soit aussi uniform´ ement continue.

Exercice 2. (6 pts) On consid` ere la fonction ϕ :]0, +∞[→ R d´ efinie par

ϕ(x) =

Z 1 0

cos (t(2 − x))

t + x dt.

(2)

(a) (3 pts) Montrer ` a l’aide d’un th´ eor` eme du cours, que l’on ´ enoncera clairement et compl` etement, que cette fonction est d´ erivable. Exprimer la d´ eriv´ ee sous la forme d’une int´ egrale.

(b) (3 pts) Calculer ϕ

0

(2).

(c) (2 pts bonus) Montrer que lim

x→+∞

ϕ(x) = 0. Indication: On ne

peut pas calculer explicitement ϕ(x), il faut faire une majoration de |ϕ(x)|.

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