M1G – G´ eom´ etrie

Universit´e Claude Bernard Lyon 1

M1G – G´ eom´ etrie

Contrˆole final - Mercredi 9 janvier 2019 - dur´ee 2h

Les documents sont autoris´es mais les calculettes et les portables sont interdits. Il sera tenu compte de la qualit´e de la r´edaction pour l’attri- bution d’une note.

Exercice. – [7 pts] Soit F : R³ → R une submersion de classe C^∞. On note S =F⁻¹(0) et on suppose S 6=∅.

1) L’ensembleSest-il une sous-vari´et´e deR³? On justifiera la r´eponse.

2) Soit M₀ = (x₀, y₀, z₀) un point de S. Montrer que si ^∂F_∂z(M₀)6= 0 alors il existe un voisinage V₁ de (x₀, y₀), un voisinage V₂ de z₀ et une application ϕ:V₁ →V₂ telle que

(x, y, z)∈(V₁×V₂)∩S ⇐⇒ (x, y)∈V₁ et z =ϕ(x, y) .

3) Montrer queϕ estC^∞ sur V₁ et que pour tout (x, y)∈V₁ on a dϕ_(x,y)=−F_x(x, y, ϕ(x, y))

Fz(x, y, ϕ(x, y))dx−F_y(x, y, ϕ(x, y)) Fz(x, y, ϕ(x, y))dy

4) Soit f :V₁ →R³ la param´etrisation d’un voisinage de M₀ dans S donn´ee par

f(x, y) = (x, y, ϕ(x, y)) Montrer que f est r´eguli`ere.

5) Montrer qu’une ´equation cart´esienne du plan tangent `a S en M0

est donn´ee par

F_x(M₀)(X−x₀) +F_y(M₀)(Y −y₀) +F_z(M₀)(Z−z₀) = 0.

Probl`eme. – [13 pts] SoitR >0. On consid`ere la surface param´etr´ee donn´ee par

f : ]0,+∞[×R −→ R³

(u, v) 7−→ R

cosv chu ,sinv

chu,(u−thu)

1

2

Le support de cette param´etrisation est appel´e la pseudo-sph`ere de rayon R. On pose

eu(u, v) =

−cosv

chu ,−sinv chu ,thu

et ev(u, v) = (−sinv,cosv,0). et on rappelle que pour tout u∈R

ch²u−sh²u= 1,ch⁰u= shu,sh⁰u= chu et thu= shu chu

La pseudo-sph`ere 1) i) ´Ecrire f_u etf_v en fonction de e_u ete_v.

ii) D´eterminer les coefficients E, F et G de la premi`ere forme fonda- mentale I def dans la base (f_u, f_v).

2) i) Montrer que l’´el´ement d’aire vaut dS =R² shu

ch²ududv ii) En d´eduire que f est r´eguli`ere.

iii) Montrer que

X→+∞lim Z X

0

shu

ch²udu = 1 et en d´eduire l’aire de f restreinte `a ]0,+∞[×[0,2π].

3) SoitR_θ la rotation d’angle θ par rapport `a l’axe (Oz). Montrer que le support S de f est stable parR_θ i. e. R_θ(S)⊂S.

4) i) D´eterminer une normale unitaire N aux points o`u f est r´eguli`ere (on choisira celle pour laquelle la coordonn´ee en z est positive)

5) i) D´eterminer les coordonn´ees du vecteur w = (cosv,sinv,0) dans la base orthonorm´ee (e_u, e_v, N).

3

ii) D´ecomposerfuu, fuv et fvv dans la base (eu, ev, N).

iii) D´eterminer les coefficients L,M et N de la seconde forme fonda- mentale de f dans la base (f_u, f_v).

iv) Montrer que la courbure de Gauss K(u, v) de f est constante et n´egative.

v) ´Ecrire la matrice A de l’op´erateur de Weingarten W de f dans la base (f_u, f_v) et d´eterminer les courbures principalesλ₁ et λ₂.

6) Soit γ(u) = _R¹(u, u). On consid`ere la courbeu7→γ(u) = f◦γ(u).

i) Montrer que γ est param´etr´ee par la longueur d’arc.

ii) Exprimer γ⁰⁰ dans la base (e_u, e_v, N).

iii) Montrer que la courbure principale k_γ deγ ne s’annule jamais.

iv) Montrer que la normal principale n_princ(u) deγ(u) est incluse dans le plan tangent `a f enγ(u).

v) En d´eduire que γ est une courbe asymptotique.

Suggestion.– Utiliser le th´eor`eme de Meusnier.

7) Soient I ⊂R etϕ:I →]0,+∞[ et

γ : I −→ ]0,+∞[×R t 7−→ γ(t) = _R¹(ϕ(t), t)

D´eterminer ϕ pour que γ =f◦γ soit une courbe asymptotique.

8) SoientI ⊂Retδ:I →]0,+∞[×[0,2π],t 7→(u(t), v(t)),une courbe param´etr´ee. On note δ=f◦δ.

i) D´eterminer les coordonn´ees deδ⁰⁰(t) dans la base (e_u, e_v, N) en fonc- tion de R, u, v,u⁰,v⁰,u⁰⁰ etv⁰⁰.

ii) On suppose d´esormais que δ est une g´eod´esique param´etr´ee par la longueur d’arc. Montrer que







u⁰⁰shu+ 1

chu(u⁰²+v⁰²) = 0 (1) v⁰⁰−2u⁰v⁰thu= 0 (2)

iii) On suppose en outre que v⁰(t) 6= 0 pour tout t ∈ I. Montrer qu’il existek ∈R^∗ tel que

∀t∈I, v⁰(t) =k ch²u(t)

Suggestion.– Remarquer que l’´equation (2) est `a variables s´epar´ees.

iv) Soitρ(t) la distance deδ(t) `a l’axe (Oz) etθ(t) l’angle entre δ⁰(t) et e_v. D´eduire de la question pr´ec´edente que la fonction t 7→ ρ(t) cosθ(t) est constante (c’est larelation de Clairaut).