M1G – G´ eom´ etrie

M1G – G´ eom´ etrie

Corrig´e du contrˆole final du vendredi 15 janvier 2021

Les documents sont autoris´es mais les calculettes et les portables sont interdits. Il sera tenu compte de la qualit´e de la r´edaction pour l’attri- bution d’une note.

Notations.– Comme toujours, toutes les applications sont suppos´ees C^∞. Pour all´eger les ´ecritures, on note parfois dans ce sujet ∂_x et ∂_y pour _∂x^∂ et _∂y^∂ ;fx etfy pour ^∂f_∂x et ^∂f_∂y.

Premi`ere partie : Le lemme de Poincar´e.– Soit U un ouvert deR² etη =P dx+Qdy une 1-forme sur U. On dit que la formeη est exacte s’il existeψ :U →Rtel que η=dψ.On dit que η estferm´ee si dη= 0, autrement dit si ∂_xQ−∂_yP = 0.

1) On suppose que la 1-forme η est exacte. Montrer qu’elle est ferm´ee.

R´ep.– Siη=∂xψ+∂yψalors∂yP =∂y∂xψet∂xQ=∂x∂yψ. D’apr`es le th´eor`eme de Schwartz, on a

∂y∂xψ=∂x∂yψ ainsidη= 0.

On dit qu’un ouvert U est ´etoil´ee par rapport `a l’origine si pour tout point (x, y)∈U, le segment joignant l’origine `a ce point est inclus dans U. On suppose d´esormais que U est ´etoil´ee par rapport `a l’origine.

2) Pour tout point (x, y)∈U on note γ_x,y = (γ_x,y¹ , γ_x,y² ) la courbe plane param´etr´ee joignant lin´eairement l’origine `a (x, y) :

γ_x,y : [0,1] → U

t 7→ (γ¹_x,y(t), γ_x,y² (t)) = (tx, ty).

et on consid`ere la compos´eeg_x,y =P ◦γ_x,y. a) Montrer que

P(x, y) = Z 1

0

g_x,y(t) +tg_x,y⁰ (t)dt.

b) Montrer que

g⁰_x,y(t) =x(∂xP)(tx, ty) +y(∂yP)(tx, ty).

1

R´ep.– a) On a Z 1

0

g_x,y(t) +tg_x,y⁰ (t)dt= Z 1

0

(tg_x,y(t))⁰(t)dt= [tg_x,y(t)]¹₀=g_x,y(1) =P(x, y).

b) La r`egle de diff´erentiation d’une compos´ee s’´ecrit ici g_x,y⁰ (t) =dP_γx,y(t)(γ_x,y⁰ (t)).

OrdP_(x,y)= (∂_xP)(x, y)dx+ (∂_yP)(x, y)dy,on a donc

dP_γx,y(t)(γ_x,y⁰ (t)) = (∂_xP)(γ_x,y(t))dx(γ_x,y⁰ (t)) + (∂_yP)(γ_x,y(t))dy(γ_x,y⁰ (t)).

Par d´efinition dedx etdy :

dx(γ⁰_x,y(t)) = (γ_x,y¹ )⁰(t) =x dy(γ⁰_x,y(t)) = (γ_x,y² )⁰(t) =y d’o`u

g⁰_x,y(t) =dP_γx,y(t)(γ_x,y⁰ (t)) = (∂xP)(tx, ty)x+ (∂yP)(tx, ty)y.

3) On consid`ere la fonctionξ :U →R d´efinie par ξ(x, y) :=

Z

γx,y

η.

a) Montrer que ξ(x, y) := x

Z 1

0

P(tx, ty)dt+y Z 1

0

Q(tx, ty)dt

b) Montrer que

∂xξ(x, y) = Z 1

0

P(tx, ty) +tx(∂xP)(tx, ty) +ty(∂xQ)(tx, ty)dt c) Puis que

∂xξ(x, y) = Z 1

0

gx,y(t) +tg⁰_x,y(t)dt+y Z 1

0

t(∂xQ−∂yP) (tx, ty)dt d) On suppose que la 1-forme η est ferm´ee. En d´eduire que pour tout (x, y)∈U, on a

∂_xξ(x, y) =P(x, y).

e) Montrer que si η est ferm´ee sur U alors dξ =η.

En particulier,ηest exacte. Ce r´esultat est connu sous le nom delemme de Poincar´e pour les ouverts ´etoil´ees.

R´ep.– a) On a

ξ(x, y) = Z

γx,y

η= Z

γx,y

P dx+Qdy

or Z

γ_x,y

P dx+Qdy = Z 1

0

P(γ_x,y(t))dx(γ_x,y⁰ (t)) +Q(γ_x,y(t))dy(γ_x,y⁰ (t))dt

= Z 1

0

P(tx, ty)x+Q(tx, ty)y dt

= x

Z 1 0

P(tx, ty)dt+y Z 1

0

Q(tx, ty)dt.

b) On a

∂xξ(x, y) = Z 1

0

∂x(P(tx, ty)x+Q(tx, ty)y)dt

= Z 1

0

P(tx, ty)dt+x Z 1

0

∂x(P(tx, ty))dt+y Z 1

0

∂x(Q(tx, ty))dt Notonsδ: [0,1]→R², x7→(tx, ty),et Φ =P◦δ.On a

Φ⁰(x) =∂x(P(tx, ty)) =dPδ(x)(δ⁰(x)).

Or

dP_δ(x)(δ⁰(x)) = (∂xP)(tx, ty)dx(δ⁰(x)) + (∂yP)(tx, ty)dy(δ⁰(x)) etδ⁰(x) = (t,0) donc

dP_δ(x)(δ⁰(x)) = (∂xP)(tx, ty)t.

Au bilan

∂x(P(tx, ty)) = (∂xP)(tx, ty)t et similairement

∂x(Q(tx, ty)) = (∂xQ)(tx, ty)t d’o`u

∂xξ(x, y) = Z 1

0

P(tx, ty) +tx(∂xP)(tx, ty) +ty(∂xQ)(tx, ty)dt.

c) D’apr`es ce que l’on a fait plus haut que

gx,y(t) +tg⁰_x,y(t) =P(tx, ty) +tx(∂xP)(tx, ty) +ty(∂yP)(tx, ty) d’o`u la relation demand´ee.

d) Si η est ferm´ee alors ∂_xQ−∂_yP = 0 et la relation de la question pr´ec´edente s’´ecrit

∂xξ(x, y) = Z 1

0

gx,y(t) +tg⁰_x,y(t)dt.

On a montr´e plus haut que cette int´egrale valaitP(x, y).

e) Les variablesxety jouant des rˆoles sym´etriques, on aura ´egalement

∂_yξ(x, y) =Q(x, y) d’o`udξ=η.

Seconde partie : Coordonn´ees isothermes.– Soit f : U −→ R³

(x, y) 7−→ (x, y, h(x, y))

une param´etrisation cart´esienne o`u h : U → R est C<sup>∞</sup> et U est un ouvert de R<sup>2</sup> ´etoil´ee par rapport `a l’origine. On note

p=h_x et q=h_y. La premi`ere forme fondamentale de f s’´ecrit donc

E =hf_x, f_xi= 1 +p², F =hf_x, f_yi=pq et G=hf_y, f_yi= 1 +q² Une telle param´etrisation est r´eguli`ere sur U. Son ´el´ement d’aire est donn´ee par

d²S =W dxdy avec W = (1 +p²+q²)^1/2.

Sa courbure de Gauss et sa courbure moyenne ont pour expression K = p_xq_y−p_yq_x

W⁴ et H= (1 +q²)p_x−pq(p_y+q_x) + (1 +p²)q_y

2W³ .

Notons que dans ces ´ecritures on peut rempla¸cer indiff´eremmentp_y par qx ou inversement (th´eor`eme de Schwarz).

4) On consid`ere la 1-forme diff´erentielle α∈Ω¹(U) d´efinie par α:= 1 +p²

W dx+ pq Wdy.

i) Montrer que dα= (qA₁+pA₂)dx∧dy avec A₁ = (W²−p²)p_x+ (1 +p²)q_y −qpq_x

W³ et A₂ = (q_x−2p_y)W²+ (1 +p²)p_y W³

ii) En rempla¸cant q_x par p_y dans A₂ puis W² par sa valeur, montrer que

dα = 2qHdx∧dy.

R´ep.– i) On a

dα=

∂x

pq W

−∂y

1 +p² W

dx∧dy d’o`u

dα=(p_xq+pq_x)W −pq∂_xW−2p_ypW+ (1 +p²)∂_yW

W² dx∧dy

Ecrivons´ dαsous la formeAdx∧dy. Puisque

∂xW =ppx+qqx

W et ∂yW = ppy+qqy

W la fonctionA s’´ecrit

W³A= (pxq+pqx)W²−pq(ppx+qqx)−2pypW²+ (1 +p²)(ppy+qqy).

En rassemblant tous les termes ayantqen facteur, on obtient

W³A=q(pxW²−p(ppx+qqx) + (1 +p²)qy) +p(qxW²−2pyW²+ (1 +p²)py) soit encore

W³A=q(p_x(W²−p²)−pqq_x) + (1 +p²)q_y) +p((q_x−2p_y)W²+ (1 +p²)p_y)

d’o`u

dα= (qA1+pA2)dx∧dy avec les fonctionsA1 etA2introduites dans l’´enonc´e.

ii) En rempla¸cantqxparpy dansA2, il vient

A2= (1 +p²)py−pyW²=py((1 +p²)−(1 +p²+q²)) =−pyq² d’o`u

dα=q(W²−p²)p_x+ (1 +p²)q_y−qp(q_x+p_y)

W³ .

Enfin, puisqueW²= 1 +p²+q², on obtient dα=q(1 +q²)px+ (1 +p²)qy−qp(qx+py)

(1 +p²+q²)^3/2 dx∧dy= 2qHdx∧dy.

On introduit une seconde forme diff´erentielle β ∈Ω¹(U) d´efinie par β := pq

Wdx+ 1 +q² W dy.

et on admet que dβ = −2pHdx∧dy. On suppose que f est la pa- ram´etrisation d’une surface minimale, autrement dit que la fonction courbure moyenneH est identiquement nulle. Ainsiα etβ sont toutes les deux des formes ferm´ees sur U donc exactes d’apr`es le lemme de Poincar´e.

5) Soient ξ_α :U →R etξ_β :U →R telles que dξ_α =α et dξ_β =β. On d´efinit ϕ:U ^C

∞

→ R² par

ϕ(x, y) = (ϕ¹(x, y), ϕ²(x, y)) = (x+ξ_α(x, y), y+ξ_β(x, y)).

a) Soit

J ϕ= ϕ¹_x ϕ¹_y ϕ²_x ϕ²_y

!

la matrice jacobienne de ϕ. Montrer que J ϕ= 1

W

W + 1 +p² pq pq W + 1 +q²

b) Montrer que son d´eterminant vaut det J ϕ = (W + 1)²

W .

c) En d´eduire qu’il existe un ouvert U0 ⊂U contenant l’origine tel que ϕ:U₀ →ϕ(U₀) soit un diff´eomorphime.

R´ep.– a) On a

∂_xϕ=

1 +∂_xξ_α 0 +∂xξβ

=







1 + 1 +p² pqW W







et

∂yϕ=

0 +∂_yξ_α 1 +∂_yξ_β

=





 pq W 1 + 1 +q²

W







Ainsi

J ϕ=







1 + 1 +p² W

pq W pq

W 1 + 1 +q² W





= 1 W

W + 1 +p² pq pq W+ 1 +q²

!

b) On a donc

W²det J ϕ = (W+ 1 +p²)(W+ 1 +q²)−p²q²

= W²+ (1 +p²+ 1 +q²)W+ (1 +p²)(1 +q²)−p²q²

= W²+ (1 +W²)W + (1 +p²+q²+p²q²)−p²q²

= W²+ (1 +W²)W +W²

= W(2W+ 1 +W²).

d’o`u l’on d´eduit

det J ϕ= (W+ 1)²

W .

c) PuisqueW = (1 +p²+q²)^1/2, on a W ≥1 et det J ϕ= ^(W_W⁺¹⁾² >0. En tout point deU, et donc en particulier en l’origine, on adet J ϕ6= 0.Le th´eor`eme d’in- version locale assure l’existence d’un ouvert U₀ ⊂ U contenant l’origine tel que ϕ_|U0 :U0→ϕ(U0) soit unC^∞-diff´eomorphisme.

6) On note

ψ : ϕ(U₀) −→ U₀

(u, v) 7−→ (x, y) = (ψ¹(u, v), ψ²(u, v))

l’inverse de ϕ et on consid`ere la reparam´etrisation g =f ◦ψ def. a) Montrer que

g_u(u, v) = ψ_u¹(u, v)f_x(ψ(u, v)) +ψ²_u(u, v)f_y(ψ(u, v)) g_v(u, v) = ψ_v¹(u, v)f_x(ψ(u, v)) +ψ_v²(u, v)f_y(ψ(u, v)) b) Montrer que

(J ψ)(ϕ(x, y)) = 1 (1 +W)²

W + 1 +q² −pq

−pq W + 1 +p²

.

On rappelle que

a b c d

−1

= 1

ad−bc

d −b

−c a

R´ep.– a) La r`egle de diff´erentiation de la compos´ee g=f◦ψ au point (u, v)∈ ϕ(U0) s’´ecrit

dg_(u,v)=df_ψ(u,v)◦dψ_(u,v) soit, en passant aux matrices jacobiennes,

(∂_ug, ∂_vg)(u, v) = (∂_xf, ∂_yf)(ψ(u, v))·(J ψ)(u, v)

= (∂xf, ∂yf)(ψ(u, v))· ψ_u¹(u, v) ψ_v¹(u, v) ψ_u²(u, v) ψ_v²(u, v)

!

Finalement

gu(u, v) =ψ_u¹(u, v)fx(ψ(u, v)) +ψ²_u(u, v)fy(ψ(u, v)) gv(u, v) =ψ_v¹(u, v)fx(ψ(u, v)) +ψ_v²(u, v)fy(ψ(u, v)) b) D’apr`es le th´eor`eme d’inversion locale, pour tout (x, y)∈U₀on a

(J ψ)(ϕ(x, y)) = ((J ϕ)(x, y))⁻¹.

L’expression de (J ϕ)(x, y) obtenue plus haut et la formule d’inversion d’une matrice 2x2 permettent d’´ecrire

((J ϕ)(x, y))⁻¹= W (1 +W)²

1 W

W + 1 +q² −pq

−pq W + 1 +p²

!

d’o`u l’expression demand´ee.

7) On pose Z :=W + 1.

a) Montrer que

p²+q² =Z(Z−2).

b) Montrer que

hg_u, g_vi= pq

Z⁴(Z²−2Z−p²−q²) c) En d´eduire que g_u et g_v sont orthogonaux.

R´ep.– a) De W²= 1 +p²+q², on tire

p²+q²=W²−1 = (W −1)(W+ 1) = (Z−2)Z.

b) On a

hgu, g_vi = ψ_u¹ψ¹_vhfx◦ψ, f_x◦ψi+ψ²_uψ_v²hfy◦ψ, f_y◦ψi +(ψ¹_uψ_v²+ψ_u²ψ¹_v)hfx◦ψ, fy◦ψi

D’apr`es l’´enonc´e,E=hfx, fxi= 1 +p<sup>2</sup>,F =hfx, fyi=pq etG=hfy, fyi= 1 +q<sup>2</sup> d’o`u

(1 +W)⁴hgu, gvi = W+ 1 +q²

(−pq) (1 +p²) + W+ 1 +p²

(−pq) (1 +q²) + W + 1 +p²

W + 1 +q²

+p²q² pq

= pqC avec

C = −(Z+q²)(1 +p²)−(Z+p²)(1 +q²) + (Z+p²)(Z+q²) +p²q²

= Z²−2Z−(p²+q²).

c) D’apr`es le a) la quantit´e Z²−2Z−(p²+q²) vaut z´ero. Ainsi gu et gv sont orthogonaux.

8) a) Montrer que

Z⁴hg_u, g_ui= (1 +p²)Z²+ 2q²Z+q²(q²+p²) b) En d´eduire que : kg_uk² = _(W+1)^W2 2.

c) Montrer ´egalement que kg_vk² = _(W^W₊₁₎² 2.

R´ep.– a) On a

hgu, gui = (ψ_u¹)²hfx◦ψ, fx◦ψi+ (ψ²_u)²hfy◦ψ, fy◦ψi +2ψ_u¹ψ²_uhfx◦ψ, f_y◦ψi

d’o`u

Z⁴hgu, g_ui = Z+q²²

(1 +p²) +p²q²(1 +q²)−2pq Z+q² pq

= Z²(1 +p²) + 2q²Z(1 +p²) +q⁴(1 +p²) +p²q²(1 +q²)−2p²q²Z−2p²q⁴

= Z²(1 +p²) + 2q²Z+q⁴(1 +p²) +p²q²(1 +q²)−2p²q⁴

= Z²(1 +p²) + 2q²Z+q⁴+p²q² b) On a donc

Z⁴hgu, g_ui=Z²(1 +p²) +q²(2Z+q²+p²) or 2Z+p²+q²=Z² d’apr`es ce qui a ´et´e prouv´e plus haut. Donc

Z⁴hgu, g_ui=Z²(1 +p²+q²) c’est-`a-dire kguk²= ^W_Z2².

c) Les variablespet q jouent des rˆoles sym´etriques. On a n´ecessairementkgvk²=

W² Z².

9) Soit S ⊂ R³ le support d’une surface param´etr´ee r´eguli`ere. On dit qu’une param´etrisation g deS estisothermale si

kg_uk=kg_vk et hg_u, g_vi= 0.

Montrer que siS est minimale alors elle admet au voisinage de chacun de ses points une param´etrisation isothermale.

R´ep.– D’apr`es le cours, sim<sub>0</sub> ∈S est un point r´egulier, alorsS admet au voi- sinage de ce point un param´etrage cart´esienf. D’apr`es ce que l’on vient de faire, il existe un reparam´etrageg de f (sur un voisinage eventuellement plus petit) tel quegsoit une param´etrisation isothermale.

Culture.– En r´ealit´e, toute surface param´etr´ee r´eguli`ere admet au voisinage de chacun de ses points une reparam´etrisation isothermale.

En g´en´eral, cette reparam´etrisation est obtenue en r´esolvant une EDP : l’´equation de Beltrami. L’hypoth`eseH ≡0 permet une autre approche.

Dans ce cas, il se trouve que l’on peut construire une reparam´etrisation explicite au moyen des primitives des formes α et β.