G´ eom´ etrie dans l’espace
Exercice 1
ABCD est un t´etra`edre dont toutes les faces sont des triangles ´equilat´eraux.
D´emontrer que les arˆetes oppos´ees (celles qui ne se coupent pas) sont orthogonales.
Fiche issue dehttp://www.ilemaths.net 1
Correction
Exercice 1
Pour d´emontrer que l’arˆete (AB) est orthogonale `a l’arˆete (CD), il suffit de montrer que (CD) est orthogonale
`a un plan P qui contient (AB).
Mais quel plan P choisir ?
Comment trouver des droites orthogonales `a la droite (CD) ?
Le fait que toutes les faces soient des triangles ´equilat´eraux devant ˆetre utilis´e, consid´erons le milieu M de [CD].
ACD est un triangle ´equilat´eral, donc la m´ediane (AM) est aussi hauteur, donc (AM) perpendiculaire `a (CD).
De mˆeme, puisque le triangle BCD est ´equilat´eral, on a : (BM) perpendiculaire `a (CD).
Le plan (ABM) contient donc deux droites s´ecantes perpendiculaires `a (CD) ; il est par cons´equent perpen- diculaire `a (CD).
Puisque (AB) est dans ce plan, (AB) est orthogonale `a (CD).
Une d´emonstration identique montrerait que (BC) et (AD), ainsi que (AC) et (BD) sont orthogonales.
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