Math´ematiques, MAB 2`eme ann´ee Objectifs g´eom´etrie vect. et ana. de l’espace
Objectifs : g´ eom´ etrie vectorielle et analytique de l’espace, g´ eom´ e- trie
A la fin de ce cours (et pour r´eussir l’´epreuve sur celui-ci), vous devriez ˆetre capable de : 1. D´efinir, illustrer, comprendre et utiliser le vocabulaire li´e au chapitre trait´e :
– vecteur, direction, sens, intensit´e, ´equivalence de vecteurs, repr´esentant, bipoint,
´equipollence de bipoints,addition de vecteurs,multiplication d’un vecteur par un nombre r´eel, espace vectoriel r´eel, dimension, combinaison lin´eaire, base, composante scalaire, coefficient, vecteurs colin´eaires, vecteurs coplanaires ; – espace affine, rep`ere, origine, coordonn´ees, abscisse, ordonn´ee, cote ;
– droite, vecteur directeur, point d’ancrage, ´equations param´etriques, traces d’un droite ;
– plan, vecteurs directeurs, ´equations param´etriques, ´equation cart´esienne, trace d’un plan ;
– produit scalaire (d´efinition, expression analytique, expression g´eom´etrique), norme, vecteurs orthogonaux, droites orthogonales, droites perpendiculaires, vecteur normal `a un plan, droite normale (ou orthogonale) `a un plan, plans perpendiculaires ;
– distance entre deux points, distance entre un point et une droite, distance entre un point et un plan, distance de deux droites gauches, plan m´ediateur, plan bissecteur ;
– angle de deux vecteurs, angle de deux droites s´ecantes, angle de deux plans s´ecants, angle d’une droite et d’un plan s´ecants ;
– sph`ere, centre, rayon, droite tangente, plan tangent, point de tangence, position relative d’une droite et d’une sph`ere, position relative d’un plan et d’une sph`ere, position relative de deux sph`eres ;
– produit vectoriel (d´efinition, expression analytique), produite mixte (d´efi- nition, expression analytique).
1. Vecteurs
2. D´eterminer si deux bipoints sont ´equipollents ou si deux vecteurs sont ´egaux.
Exercice(s) : 1.1; 1.2; 1.5
3. Enoncer les propri´et´es que doivent v´erifier les deux lois associ´ees `a un espace vec- toriel r´eel et les appliquer correctement.
4. Simplifier l’´ecriture d’une somme de vecteurs en utilisant les formules du cours, notamment la r`egle de Chasles.
Exercice(s) : 1.1; 1.2
5. D´eterminer les composantes scalaires d’un vecteur dans une base (e~1, ~e2, ~e3) don-n´ee.
Exercice(s) : 1.2; 1.5
6. Additionner deux vecteurs ou multiplier un vecteur par un nombre r´eel dans le cas o`u les vecteurs sont donn´es par leurs composantes scalaires dans une base (e~1, ~e2, ~e3).
Exercice(s) : 1.6
7. Prouver que trois vecteurs forment une base de l’espace vectoriel V3. Exercice(s) : 1.3; 1.4; 1.5
page 1
Math´ematiques, MAB 2`eme ann´ee Objectifs g´eom´etrie vect. et ana. de l’espace
2. Rep`ere de l’espace
8. D´eterminer alg´ebriquement ou graphiquement les coordonn´ees d’un point dans un rep`ere affine (O, ~e1, ~e2, ~e3) et construire un point donn´ee par ces coordonn´ees dans ce rep`ere.
Exercice(s) : 2.1; 2.2
9. D´eterminer les composantes scalaires d’un vecteur d´efini par les extr´emit´es (≡
points) d’un de ses repr´esentants, dans un rep`ere affine (O, ~e1, ~e2, ~e3).
Exercice(s) : 2.3; 2.4; 2.5; 2.7
10. Calculer les coordonn´ees du milieu d’un segment ou le centre de gravit´e d’un tri- angle, dans un rep`ere affine (O, ~e1, ~e2, ~e3).
Exercice(s) : 2.4
11. V´erifier que 3 points sont align´es ou que 4 points sont coplanaires.
Exercice(s) : 2.8; 3.1; 4.1
3. La droite
12. Donner les ´equations parmam´etriques d’une droite d `a partir de deux points ou d’un point et d’un vecteur directeur de d (ou d’informations ´equivalentes).
Exercice(s) : 3.2; 3.3; 3.4; 3.5; 3.12; 4.16; 4.17; 4.18
13. D´eterminer quelques points et un vecteur directeur d’une droite `a partir des ´equa- tions param´etriques de celle-ci et v´erifier si un point appartient `a cette droite.
Exercice(s) : 3.1; 3.2; 3.3; 3.6
14. Calculer les coordonn´ees du (ou des) point(s) d’intersection de deux droites det d′ donn´ees par des ´equations param´etriques et indiquer la position relative ded etd′. Exercice(s) : 3.7; 3.8; 3.9
15. Repr´esenter graphiquement une droited donn´ee par des ´equations param´etriques.
Exercice(s) : 3.10; 3.11
16. D´eterminer les traces d’une droite.
Exercice(s) : 3.10; 3.11
4. Le plan
17. Donner les ´equations parmam´etriques ou cart´esiennes d’un plan π `a partir de trois points non align´es ou d’un point et de deux vecteurs directeurs deπ (ou d’informa- tions ´equivalentes).
Exercice(s) : 4.2; 4.3; 4.6; 4.7; 4.11
18. D´eterminer quelques points et deux vecteurs directeurs d’un plan `a partir des
´equations param´etriques de celui-ci et v´erifier si un point appartient `a ce plan.
Exercice(s) : 4.2; 4.4
page 2
Math´ematiques, MAB 2`eme ann´ee Objectifs g´eom´etrie vect. et ana. de l’espace
19. Calculer les coordonn´ees du (ou des) point(s) d’intersection d’une droite d don- n´ees par des ´equations param´etriques et d’un plan π donn´ees par une ´equation cart´esienne et indiquer la position relative de d et π.
Exercice(s) : 4.8; 4.9; 4.10
20. D´eterminer les ´equations param´etriques de la droite d’intersection de deux plansπ et π′ donn´es par une ´equation cart´esienne et indiquer la position relative de π et π′.
Exercice(s) : 4.12; 4.14
21. D´eterminer les traces d’un plan.
Exercice(s) : 4.13
5. Produit scalaire
22. Calculer le produit scalaire de deux vecteurs ~u et~v, ~u·~v, ainsi que la norme d’un vecteur w,~ kwk, dans une base orthonorm´ee de~ V3 (expression analytique).
Exercice(s) : 5.1
23. D´eterminer si deux vecteurs, deux droites ou deux plans sont orthogonaux (pour vecteurs et droites) ou perpendiculaires (pour droites et plans) et construire un vecteur (respectivement une droite ou un plan) orthogonal (respectivement per- pendiculaire) `a un vecteur (respectivement `a une droite ou `a un plan) donn´e.
Exercice(s) : 5.2; 5.3; 5.4; 5.5; 5.6; 5.7; 5.8; 5.9; 5.10; 5.11; 5.12
6. Distances
24. Calculer la distance entre deux points, entre un point et un plan ou entre un point et une droite.
Exercice(s) : 6.1; 6.4; 6.5; 6.6; 6.7; 6.11
25. Etablir les ´equations cart´esiennes du plan m´ediateur d’un segment et des plans bissecteurs de deux plans s´ecants.
Exercice(s) : 6.2; 6.3; 6.8; 6.9; 6.10
7. Angles
26. Calculer l’angle de deux vecteurs, de deux droites s´ecantes, de deux plans s´ecants ou d’une droite et d’un plan s´ecant.
Exercice(s) : 7.1; 7.2; 7.3; 7.4; 7.5; 7.6
page 3
Math´ematiques, MAB 2`eme ann´ee Objectifs g´eom´etrie vect. et ana. de l’espace
8 + 9. Produit vectoriel et produit mixte
27. Calculer le produit vectoriel de deux vecteurs ~u et~v,~u∧~v, et le produit mixte de trois vecteurs ~u,~v et w,~ ⌊~u, ~v, ~w⌋, dans une base orthonorm´ee de V3.
Exercice(s) : 8.1; 8.2; 8.4; 9.1; 9.3
28. Enoncer par cœur les propri´et´es du produit vectoriel et du produit mixte.
Exercice(s) : 8.3
29. D´eterminer un vecteur normal `a deux vecteurs donn´ees et une droite perpendiculaire commune `a deux droites gauches en utilisant la notion de produit vectoriel.
Exercice(s) : 8.5; 8.6; 8.10
30. Calculer l’aire d’un parall´elogramme ou d’un triangle construit sur deux vecteurs et la distance d’un point `a une droite en utilisant la notion de produit vectoriel.
Exercice(s) : 8.7; 8.8; 8.9
31. Calculer le volume d’un parall´el´epip`ede ou d’un t´etra`edre construit sur trois vec- teurs et la distance de deux droites gauches en utilisant la notion de produit mixte.
Exercice(s) : 9.4; 9.5; 9.6
10. La sph`ere
32. D´eterminer l’´equation cart´esienne et l’´equation cart´esienne d´evelopp´ee d’une sph`ere en connaissant les coordonn´ees de son centre et son rayon.
Exercice(s) : 10.1; 10.2; 10.4; 10.5; 10.10
33. Retrouver les coordonn´ees du centre et le rayon d’une sph`ere d’apr`es son ´equation cart´esienne ou son ´equation cart´esienne d´evelopp´ee.
Exercice(s) : 10.3
34. Etablir l’´equation d’une droite tangente ou du plan tangent `a une sph`ere en connais- sant le point de tangence.
Exercice(s) : 10.8; 10.9; 10.11; 10.12; 10.13
35. D´eterminer la position relative d’une droite et d’une sph`ere ainsi que leurs ´eventuels points d’intersection.
Exercice(s) : 10.6; 10.7
36. D´eterminer la position relative d’un plan et d’une sph`ere ainsi que leur ´eventuel cercle d’intersection.
Exercice(s) : 10.14
37. D´eterminer la position relative de deux sph`eres.
Exercice(s) : 10.15; 10.16
page 4
