G´ eom´ etrie dans l’espace

(1)

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2011-2012

D. Blotti`ere Math´ematiques

Chapitre VII

G´ eom´ etrie dans l’espace

Table des mati` eres

1 Vecteurs colin´eaires 2

2 Vecteurs coplanaires 2

3 Bases et coordonn´ees d’un vecteur dans une base 3

4 Repères et coordonnées d’un point dans un repère 4

5 Orthogonalit´e 5

6 Produit scalaire dans R³ 5

7 Repr´esentations param´etriques d’une droite 7

8 Repr´esentations param´etriques d’un plan 7

9 Position relative de deux plans 8

10 Position relative d’un plan et d’une droite 9

11 ´Equations cart´esiennes d’un plan 10

12 ´Equations cart´esiennes d’une droite 10

13 Projet´e orthogonal d’un point sur un plan 11

14 Équations cartésiennes de sphères 11

(2)

1 Vecteurs colin´ eaires

On définit la colinéarité de deux vecteurs de l’espace de fa¸con analogue à ce que l’on a fait pour deux vecteurs du plan. On s’appuie sur l’opération^≪multiplication d’un vecteur par un nombre réel^≫ pour cela.

D´efinition (vecteurs colin´eaires) :Soit−→u un vecteur de l’espace.

1. Si −→u 6=−→0 , alors on dit qu’un vecteur−→v du plan est colinéaire à −→u s’il existek∈Rtel que −→v =k−→u. 2. Si −→u =−→0 , alors tout vecteur−→v du plan est colinéaire à−→u.

Remarque :Soient−→u et−→v deux vecteurs de l’espace tels que−→v est colinéaire à−→u. Alors on peut vérifier que

−

→u est colinéaire à −→v. Aussi dira-t-on simplement, dans ce cas, que les vecteurs−→u et −→v sont colinéaires, sans nécessairement privilégier un vecteur par rapport à l’autre.

Notation :−→u //−→v signifie que−→u et −→v sont colin´eaires.

2 Vecteurs coplanaires

D´efinition (vecteurs coplanaires) : Soient−u→1,−u→2, . . . ,−u→n des vecteurs de l’espace (n≥2), soit A un point quelconque de l’espace. On note −−→

AA1,−−→

AA2, . . . ,−−→

AAⁿ les repr´esentants respectifs des vecteurs −→u1,−→u2, . . . ,−u→ⁿ d’origineA. On a donc :

−−→AA1=−u→1 −−→

AA2=−→u2 . . . −−→

AAⁿ=−u→ⁿ.

On dit que les vecteurs −→u1,−→u2, . . . ,−→vn sont coplanaires si les points A, A1, A2, . . . , An sont situ´es sur un mˆeme plan.

Remarque 1

1. Soit A^′ un point de l’espace distinct de A et si −−−→

A^′A^′1,−−−→

A^′A^′2, . . . ,−−−→

A^′A^′n les repr´esentants respectifs des vecteurs −→u1,−→u2, . . . ,−u→n d’origineA^′. Alors on a l’´equivalence :

les points A, A1, A2, . . . , An

sont situ´es sur un mˆeme plan ⇐⇒ les points A^′, A^′1, A^′2, . . . , A^′n

sont situés sur un même plan . La coplanarité des vecteurs−u→1,−u→2, . . . ,−u→n ne dépend donc pas du choix du pointA.

2. Deux vecteurs sont toujours coplanaires. En effet, trois points de l’espace sont toujours situ´es sur un mˆeme plan.

3. En pratique, on aura souvent à considérer la coplanarité de 3 vecteurs (cas où n= 3 dans la définition).

Il faut dans ce cas étudier si quatre points de l’espace sont situés sur un même plan, ce qui peut ou non être vrai.

Définition (combinaison linéaire de n vecteurs) : Soient −→u1,−→u2, . . . ,−→vⁿ des vecteurs de l’espace. Soient λ1, λ2, . . . , λⁿ des nombres réels. Alors :

λ1−u→1+λ2−u→2+. . .+λn−u→n

est appel´ee combinaison lin´eaire des vecteurs−→u1,−u→2, . . . ,−→vn de coefficients λ1, λ2, . . . , λn. Exemple 1 :Soient −→u1,−u→2,−u→3 trois vecteurs de l’espace. Alors les vecteurs :

−

→0 −→u1 −5−→u2 −→u1− −u→2 2−→u1− −u→2+ 7−→u3

sont des combinaisons lin´eaires de−→u1,−→u2,−→u3.

Théorème 1 (critère de non coplanarité pour trois vecteurs) :Soient−u→1,−→u2,−→u3trois vecteurs de l’espace.

Les vecteurs−→u1,−→u2,−→u3ne sont pas coplanaires si et seulement si :

∀λ1, λ2, λ3∈R (λ1−u→1+λ2−→u2+λ3−→u3=−→0 =⇒λ1=λ2=λ3= 0).

Remarque 2 : On reformule ci-dessous de deux fa¸cons le théorème 1 à l’aide de la notion de combinaison linéaire.

(3)

1. Les vecteurs−→u1,−→u2,−→u3ne sont pas coplanaires si et seulement si la seule combinaison lin´eaire de−→u1,−→u2,−→u3

qui est nulle est celle qui a tous ses coefficients nuls.

2. Les vecteurs −→u1,−→u2,−→u3 sont coplanaires si et seulement si il existe une combinaison lin´eaire de−→u1,−→u2,−→u3

qui est nulle avec au moins un coefficient non nul.

Terminologie :Soient−→u1,−→u2,−→u3trois vecteurs de l’espace. Une relation du type : λ1−u→1+λ2−→u2+λ3−→u3=−→0

avec au moins un des coefficientsλ1, λ2, λ3 non nul est appelée relation de dépendance linéaire. Si une relation de dépendance linéaire existe, on dit que les vecteurs−→u1,−→u2,−→u3sont linéairement dépendants. On dit qu’ils sont linéairement indépendants sinon. D’après le théorème 1, on a donc :

−

→u1,−→u2,−→u3sont lin´eairement ind´ependants ⇐⇒ −u→1,−→u2,−→u3sont non coplanaires.

Exemple 2 : Soient A, B, C, D quatre points de l’espace tels que −−→AB−2−→AC = 3−−→CD. En décomposant le vecteur−−→CD à l’aide du pointA(cf. relation de Chasles), on en déduit que :

−−→AB+−→AC−3−−→AD=−→0.

C’est une combinaison linéaire des vecteurs−−→AB,−→AC,−−→ADdont au moins un coefficient n’est pas nul (en fait tous les coefficients (1,1,−3) sont non nuls). La famille (−−→AB,−→AC,−−→AD) est donc liée, i.e. les trois vecteurs−−→AB,−→AC,−−→AD sont coplanaires. Par suite, les quatre pointsA, B, C, D sont situés sur un même plan.

3 Bases et coordonn´ ees d’un vecteur dans une base

Définition (base de l’espace) : Une base de l’espace est un triplet (−→i ,−→j ,−→k) de vecteurs non coplanaires (ou linéairement indépendants).

Définition/Propriété (coordonnées d’un vecteur relativement à une base) :Soit (−→i ,−→j ,−→k) une base de l’espace. Alors, pour tout vecteur−→u de l’espace, il existe un unique triplet (x, y, z) de réels tels que

−

→u =x−→i +y−→j +z−→k .

Le réelxest appelé l’abscisse de−→u,yl’ordonnée de−→u,zla cote de−→u et le triplet (x, y, z) forme les coordonnées de−→u dans la base (−→i ,−→j ,−→k).

⋄ D´emonstration de l’unicit´e

Un point de m´ethode :Soit (−→i ,−→j ,−→

k) une base de l’espace. Soient−u→1 et−u→2 deux vecteurs de coordonn´ees respectives (x1, y1, z1) et (x2, y2, z2) dans la base (−→i ,−→j ,−→

k). Alors, grâce à l’unicité des coordonnées d’un vecteur dans la base (−→i ,−→j ,−→k), on montre l’équivalence :

−

→u1=−→u2 ⇐⇒



 x1

y1

z1



=



 x2

y2

z2



.

On peut ainsi passer d’une égalité entre vecteurs du plan à une égalité dans R³. Grâce à cette propriété, une fois une base de l’espace fixée, on peut ramener l’étude de la colinéarité de deux vecteurs et de la coplanarité de trois vecteurs à l’étude d’un système linéaire (cf. deux théorèmes suivants).

Théorème 2 (colinéarité en coordonnées) : Soit (−→i ,−→j ,−→

k) une base de l’espace. Soient −→u1(x1, y1, z1) et

−

→u2(x2, y2, z2) deux vecteurs de l’espace. On suppose que le vecteur−u→2 est non nul. Alors on a l’´equivalence :

−

→u1//−→u2 ⇐⇒ ∃k∈Rtel que







x1=kx2

y1=ky2

z1=kz2

.

(4)

Autrement dit, les vecteurs−→u1et −→u2 sont colin´eaires si et seulement si le syst`eme







x1=kx2

y1=ky2

z1=kz2

à trois équations, d’inconnuek∈R, possède une solution.

Exemple 3 :Cf. exercice 87 pour des études de colinéarité de vecteurs.

Théorème 3 (coplanarité de trois vecteurs en coordonnées) : Soit (−→i ,−→j ,−→

k) une base de l’espace.

Soient−u→1(a1, b1, c1),−→u2(a2, b2, c2),−→u3(a3, b3, c3) trois vecteurs de l’espace. On a les ´equivalences :

−

→u1,−u→1,−u→3 non coplanaires ⇐⇒











le syst`eme





a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3







 x y z



=



 0 0 0



 d’inconnue x, y, z∈R admet une unique solution :x=y=z= 0.

⇐⇒ le rang du syst`eme





a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3







 x y z



=



 0 0 0



 est 3.

⋄ Démonstration du théorème 3

Exemple 4 : Cf. exercice 89 pour des exemples de familles de trois vecteurs de l’espace qui sont ou non des bases de l’espace.

Remarque 3 :On dispose, comme dans le plan (cf. partie 4 du coursGéométrie dans le plan), d’un théorème de changement de base. L’énoncé et la démonstration sont analogues.

Exemple 5 : Cf. exercice 90 pour des exemples de calculs de coordonnées dans différentes bases et un cas particulier du théorème de changement de base.

4 Rep` eres et coordonn´ ees d’un point dans un rep` ere

Définition (repère de l’espace)Un repère de l’espace est un quadruplet (O;−→i ,−→j ,→−

k), oùOest un point de l’espace (l’origine du repère) et où (−→i ,−→j ,−→

k) est une base de l’espace.

Définition/Propriété (coordonnées d’un point relativement à un repère) : Soit (O;−→i ,−→j ,−→k) un repère de l’espace. Alors pour tout pointM de l’espace, il existe un unique triplet (x, y, z) de réels tels que

−−→OM =x−→i +y−→j +z−→ k .

Le réelxest appelé l’abscisse deM,yl’ordonnée deM,zla cote deM et le triplet (x, y, z) forme les coordonnées deM dans le repère (O;−→i ,→−j ,−→

k).

Démonstration :On déduit immédiatement ce résultat de la Définition/Propriété portant sur les coordonnées d’un vecteur relativement à une base.

⋄ Exemple 6 :Soit (O;−→i ,−→j ,−→

k) un rep`ere de l’espace. Soit le pointA(1,2,3) et soient les vecteurs−→u1(0,−1,1),

−

→u2(1,1,−1),−u→3(−1,0,1).

1. Montrer que les vecteurs−u→1,−u→2,−→u3sont lin´eairement ind´ependants.

2. Soit M un point de l’espace. On note (x, y, z) ses coordonnées dans le repère (O;−→i ,−→j ,−→k). Déterminer les coordonnées deM dans le repère (A;−→u1,−→u2,−→u3).

Remarque 4 :On dispose, comme dans le plan (cf. partie 6 du coursGéométrie dans le plan), d’un théorème de changement de repère. L’énoncé et la démonstration sont analogues.

(5)

Théorème 4 (coordonnées de−−→

AB et du milieu d’un segment) :Soit (O;−→i ,−→j ,−→

k) un rep`ere de l’espace.

SoientA(xA, yA, zA) etB(xB, yB, zB) deux points de l’espace.

1. Les coordonn´ees du vecteur −−→AB dans la base (−→i ,−→j ,−→k) sont donn´ees par :

−−→AB(xB−xA, yB−yA, zB−zA).

2. Les coordonn´ees du milieuI du segment [AB] sont donn´ees par : I

xA+xB

2 ,yA+yB

2 ,zA+zB

2

.

⋄ Exemple 7 : Soit (O;−→i ,−→j ,−→

k) un rep`ere de l’espace. SoientA(−1,0,−1),B(0,4,6),C(1,5,7) et D(2,6,8) quatre points de l’espace.

1. Calculer les coordonn´ees des vecteurs −−→AB,−→AC,−−→AD.

2. ´Etudier la coplanarit´e des vecteurs −−→AB,−→AC et−−→AD.

3. Que peut-on déduire de l’étude faite à la question 2 pour les pointsA, B, C, D?

5 Orthogonalit´ e

D´efinition (vecteurs orthogonaux)

1. Soient −→u et −→v deux vecteurs non nuls du plan. On peut alors parler de la direction de chacun des deux vecteurs. On dit alors que −→u et −→v sont orthogonaux, si les directions de−→u et−→v sont perpendiculaires.

2. Si au moins l’un des deux vecteurs −→u et −→v du plan est nul, alors on dit que les deux vecteurs−→u et −→v sont orthogonaux.

Notation :−→u ⊥ −→v signifie que−→u et−→v sont orthogonaux.

6 Produit scalaire dans R

³

D´efinition (produit scalaire dans R³) : Soient



 x1

y1

z1



,



 x2

y2

z2



 ∈ R³. Le produit scalaire de



 x1

y1

z1



 et



 x2

y2

z2



, not´e



 x1

y1

z1



.



 x2

y2

z2



, est le nombre r´eel d´efini par :



 x1

y1

z1



.



 x2

y2

z2



=x1x2+y1y2+z1z2.

Contexte :Dans toute la suite de cette partie, on fixe une base orthonorm´ee (−→i ,−→j ,−→k) de l’espace, i.e. telle que les vecteurs −→i ,−→j ,−→

k sont deux à deux orthogonaux et de même norme. Ce choix induit une unité de longueur, i.e. une longueur étalon : la norme du vecteur−→i. Les vecteurs−→i ,−→j ,−→

k ont ainsi une norme ´egale `a 1.

Définition (produit scalaire) : Soient −→u1(x1, y1, z1) et −→u2(x2, y2, z2) deux vecteurs de l’espace. Le produit scalaire de−u→1et −→u2 est le nombre réel noté−u→1.−→u2 défini par :

−

→u1.−u→2=



 x1

y1

z1



.



 x2

y2

z2



=x1x2+y1y2+z1z2.

Exemple 8 : Soient−u→1(1,−1,2) et−→u2(2,1,−1). Le produit scalaire−→u1.−→u2 est donn´e par :

−→

u1.−→u2= 1.2 + (−1).1 + 2.(−1) =−1.

(6)

Propriétés (algébriques du produit scalaire) 1. Soient −→u1 et−u→2 deux vecteurs de l’espace. Alors :

−→

u1.−→u2=−→u2.−u→1

2. Soient −→u1,−→u2et −→u3 trois vecteurs de l’espace. Alors :

−

→u1.(−→u2+−u→3) =−u→1.−→u2+−u→1.−→u3

3. Soient −→u1 et−u→2 deux vecteurs de l’espace et soitk∈R. Alors : (k−→u1).−→u2=k(−→u1.−u→2)

Théorème 5 (norme d’un vecteur et longueur d’un segment) 1. Soit−→u(x, y, z) un vecteur de l’espace. Sa norme||−→u||est donnée par :

||−→u||=p

x²+y²+z².

2. On fixe ici un pointOde l’espace, d’où un repère orthonormé de l’espace : (O;−→i ,−→j ,−→

k). SoientA(xA, yA, zA) et B(xB, yB, zB) trois points de l’espace. La longueur du segment [AB], not´eeAB, qui co¨ıncide avec la norme du vecteur−−→

AB, est donn´ee par : AB=||−−→AB||=p

(xB−xA)²+ (yB−yA)²+ (zB−zA)².

⋄ Exemple 9 :On considère le cubeABCDEF GH représenté ci-dessous.

bA

b B

b

F

b

E

b b

G

b C

b

D

b

H

On considère ici le repère orthonormé (A;−−→AB,−−→AD,−→AE) de l’espace.

1. Calculer la longueur de la grande diagonale [BH].

2. On note Ile milieu du segment [HG]. Calculer la longueur du segment [BI].

Théorème 6 (critère d’orthogonalité) : Soient −u→1 et −→u2 deux vecteurs de l’espace. On a l’équivalence suivante.

−

→u1⊥ −→u2 ⇐⇒ −u→1.−→u2= 0

⋄ Exemple 9 (suite) : Les droites (AG) et (BH) sont-elles orthogonales ?

Théorème 7 (produit scalaire et cosinus) :Soient−→u1et−u→2deux vecteurs non nuls de l’espace. On a l’égalité suivante.

−

→u1.−→u2=||−→u1|| × ||−u→2|| ×cos(−→u1,−→u2)

(7)

7 Repr´ esentations param´ etriques d’une droite

D´efinition (vecteur directeur d’une droite) : SoitDune droite de l’espace et soientA6=B deux points deD. Alors−−→AB est appel´e vecteur directeur deD.

Remarque :Un vecteur directeur d’une droite est non nul.

Propriété : Deux vecteurs directeurs d’une même droiteDsont colinéaires.

⋄ D´emonstration

Propriété (caractérisation d’une droite par un point et un vecteur directeur) : SoitD une droite, soitA un point deDet soit−→u un vecteur directeur deD. Alors

D=n

M appartenant `a l’espace tels que−−→

AM //−→uo .

D´efinition (droite passant par un point, dirig´ee par un vecteur non nul) :SoitAun point de l’espace et soit−→u un vecteur non nul de l’espace. Alors

nM appartenant `a l’espace tels que−−→AM //−→uo .

est une droite et −→u en est un vecteur directeur. On l’appelle^≪la droite passant parA, de vecteur directeur

−

→u ^≫.

Théorème 8 (représentation paramétrique d’une droite de l’espace) :On fixe un repère (O;−→i ,−→j ,−→k) de l’espace.

1. SoitDune droite, soitA(a, b, c) un point deDet soit−→u(α, β, γ) un vecteur directeur deD. Alors D=







M(x, y, z)

∃t∈R







x = a+tα y = b+tβ z = c+tγ





 .

On dit que le syst`eme







est une représentation paramétrique deD, de paramètret∈R.

2. R´eciproquement, si a, b, c, α, β, γsont des r´eels tels queα, β, γ ne sont pas tous les trois nuls, alors







M(x, y, z)

∃t∈R













est une droite de l’espace. C’est la droite qui passe parA(a, b, c) de vecteur directeur−→u (α, β, γ).

⋄ Exemple 10 : Soit (O;−→i ,−→j ,−→

k) un rep`ere de l’espace.

1. Donner une représentation paramétrique de la droite D passant par le point A(1,0,1) et dirigée par le vecteur −→u(2,1,3).

2. En déduire qu’il existe un unique point de la droite D dont la distance à l’origine O est minimale. On donnera les coordonnées de ce point.

8 Repr´ esentations param´ etriques d’un plan

Propriété (caractérisation d’un plan par un point et deux vecteurs générateurs) :SoitP un plan, soitAun point deP et soient−→u ,−→v deux vecteurs non colinéaires deP (^≪deP^≫ signifie que les représentants

−−→AB et −→AC d’origineA de−→u et −→v sont tels queB, C ∈ P). Alors (A;−→u ,−→v) est un repère de P et donc pour tout pointM deP, il existet1, t2∈Rtels que−−→AM =t1−→u+t2−→u (le couple (t1;t2) forme les coordonnées deM dans le repère (A;−→u ,→−v)). Réciproquement, tout point M de l’espace pour lequel il existe t1, t2∈ Rtels que

−−→AM=t1−→u +t2−→u appartient au planP. On a donc :

P ={M appartenant `a l’espace v´erifiant :∃t1, t2∈R −−→AM =t1−→u +t2−→v}.

(8)

Définition (plan passant par un point, engendré par deux vecteurs non colinéaires) : Soit A un point de l’espace et soient−→u ,−→v deux vecteurs non colinéaires de l’espace. Alors

P ={M appartenant à l’espace vérifiant :∃t1, t2∈R −−→AM =t1−→u +t2−→v} est un plan appelé plan passant parAet engendré par les vecteurs−→u et−→v.

Théorème 9 (représentation paramétrique d’un plan de l’espace) :On fixe un repère (O;−→i ,−→j ,−→ k) de l’espace.

1. SoitPun plan, soitA(a, b, c) un point dePet soient−→u(α, β, γ),−→v(α^′, β^′, γ^′) deux vecteurs non colin´eaires deP Alors

P =







M(x, y, z)

∃t1, t2∈R







x = a+t1α+t2α^′ y = b+t1β+t2β^′ z = c+t1γ+t2γ^′





 .

On dit que le syst`eme







est une représentation paramétrique deP, de paramètres t1, t2∈R.

2. Réciproquement, si a, b, c, α, β, γ, α^′, β^′, γ^′ sont des réels tels que les vecteurs (α, β, γ) et (α^′, β^′, γ^′) deR³ ne sont pas colinéaires, alors







M(x, y, z)

∃t∈R













est un plan de l’espace. C’est le plan passant parA(a, b, c) et engendr´e par−→u(α, β, γ) et−→v(α^′, β^′, γ^′).

Exemple 11 : :Soit (O;−→i ,−→j ,−→k) un repère de l’espace. Soient les pointsA(1,1,1), B(1,2,0). Vérifier que les pointO, A, Bne sont pas alignés, puis donner une représentation paramétrique du plan (OAB).

9 Position relative de deux plans

Propriété/Définition (vecteur normal à un plan) : SoitP un plan et soit−→n un vecteur de l’espace.

1. Le vecteur−→n est orthogonal à tout vecteur deP si et seulement si−→n est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de P.

2. Si −→n est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de P (et donc orthogonal à tous les vecteurs de P d’après 1.), alors−→n est appelé vecteur normal àP.

⋄ D´emonstration de la partie 1 en introduisant un rep`ere ad hoc du plan P Figure illustrant la notion de vecteur normal

P

−

→n

Propriété (des vecteurs normaux à un plan) 1. Tout plan admet un vecteur normal.

2. Deux vecteurs normaux à un même plan sont colinéaires.

Th´eor`eme 10 (position relative de deux plans) :SoientP¹etP²deux plans. Soient−→n1un vecteur normal

`

a P¹ et soit−n→2 un vecteur normal `aP². On a les ´equivalences suivantes.

P¹//P² ⇐⇒ −n→1//−n→2 et P¹⊥ P² ⇐⇒ −n→1⊥ −n→2.

(9)

Figures illustrant le th´eor`eme 10

P¹

P² P¹

P²

−→

n1 −→n2

−

→n1

−

→n2

Exemple 12 : : Soit (O;−→i ,−→j ,−→

k) un rep`ere orthonorm´e de l’espace. Soient les pointsA(1,1,1), B(1,2,1), C(1,1,4),D(2,2,3),E(2,3,4),F(2,1,3).

1. V´erifier que les pointsA, B, C ne sont pas align´es et donner un vecteur normal au plan (ABC).

2. V´erifier que les pointsD, E, F ne sont pas align´es et donner un vecteur normal au plan (DEF).

3. ´Etudier la position relative des plans (ABC) et (DEF).

10 Position relative d’un plan et d’une droite

Théorème 11 (position relative d’un plan et d’une droite) : SoientD une droite de l’espace et soitP un plan de l’espace. On introduit un vecteur−→u directeur deDet un vecteur−→n normal àP.

D//P ⇐⇒ −→u ⊥ −→n et D ⊥ P ⇐⇒ −→u //−→n

Figures illustrant le th´eor`eme 11

P P

D

−

→n D

−

→n

−

→u

−

→u

⋄ Exemple 13 :Soit (O;−→i ,−→j ,−→k) un repère de l’espace. SoitDla droite dont une représentation paramétrique de paramètret∈Rest donnée par :

D :







x = 1−t y = 3 +t z = 2t

(10)

et soitP le plan dont une représentation paramétrique de paramètrest1, t2∈Rest donnée par : P :







x = −4 + 2t1+t2

y = 3 +t2

z = 1 +t1

.

D´eterminer un vecteur normal au planP, puis ´etudier la position relative du planP et de la droite D.

11 Equations cart´ ´ esiennes d’un plan

Dans cette partie et jusqu’à la fin de ce chapitre, on fixe un repère orthonormé (O;−→i ,−→j ,−→k) de l’espace.

Théorème 12 (équations cartésiennes d’un plan)

1. SoitP un plan et soit−→n(a, b, c) un vecteur normal `a P. Alors il existe un nombre r´eeldtel que : P ={M(x, y, z)|ax+by+cz+d= 0}.

On dit que l’équationax+by+cz+d= 0 est une équation cartésienne deP.

2. R´eciproquement, si a, b, c, dsont des r´eels tels quea, b, cne sont pas tous les trois nuls, alors {M(x, y, z)|ax+by+cz+d= 0}.

est un plan de l’espace dont−→n(a, b, c) est un vecteur normal.

⋄ Exemple 14 :Soient les pointsA(1,2,1),B(2,2,3) etC(3,5,1). Démontrer que les pointsA, B, Cne sont pas alignés, puis donner une équation cartésienne du plan (ABC).

12 Equations cart´ ´ esiennes d’une droite

Remarque 5 (droites versus intersections de deux plans non parall`eles) 1. L’intersection de deux plans non parall`eles est une droite.

2. R´eciproquement, toute droite de l’espace est l’intersection de deux plans non parall`eles.

En effet, soit Dune droite, soit A un point de D et soit −→u un vecteur directeur deD. Alors il existe¹ deux vecteurs de l’espace −→n1et −→n2tels que :

• −n→1 et−n→2 ne sont pas colin´eaires (en particulier ils sont tous les deux non nuls) ;

• −→u ⊥ −n→1 et−→u ⊥ −n→2.

On introduit pouri= 1 eti= 2 le planPⁱpassant parAet admettant−→ni pour vecteur normal. Alors les plansP¹etP²ne sont pas parallèles (cf. théorème 10) et l’on aP¹ ∩ P²=D, d’après les trois propriétés suivantes.

– Les plansP¹et P² n’´etant pas parall`eles, leur intersectionP¹ ∩ P²est une droite.

– Par construction des plansP¹ etP², la droiteDest incluse dans l’intersectionP¹ ∩ P².

– Si une droite ∆1de l’espace contient une droite ∆2de l’espace, alors les droites ∆1et ∆2sont confondues.

Théorème 13 (équations cartésiennes d’une droite)

1. SoitD une droite de l’espace. Alors, il existea, b, c, d, a^′, b^′, c^′, d^′ des r´eels tels que les vecteurs (a, b, c) et (a^′, b^′, c^′) deR³ ne sont pas colin´eaires et tels que

D=

M(x, y, z)

ax + by + cz + d = 0 a^′x + b^′y + c^′z + d^′ = 0

.

2. Réciproquement sia, b, c, d, a^′, b^′, c^′, d^′ sont des réels tels que les vecteurs (a, b, c) et (a^′, b^′, c) deR³ ne sont pas colinéaires alors

M(x, y, z)

ax + by + cz + d = 0 a^′x + b^′y + c^′z + d^′ = 0

. est une droite.

1. Cf. exemple 15 pour un cas particulier.

(11)

Exemple 15 : Soient les pointsA(1,−1,0) etB(3,2,1).

1. Déterminer deux vecteurs −→n1et −→n2non colinéaires et tous deux orthogonaux à−−→AB.

2. En déduire une équation cartésienne de la droite (AB).

13 Projet´ e orthogonal d’un point sur un plan

Théorème 14 (existence et unicité du projeté orthogonal d’un point sur un plan) :SoitP un plan de l’espace, de vecteur normal−→n et soitAun point de l’espace. Alors il existe un unique pointA^′ de l’espace, appelé projeté orthogonal deAsurP, tel que :







A^′∈ P et −−→

AA^′//−→n .

Figure illustrant la d´efinition du projet´e orthogonal d’un point sur un plan

P

b A

b A^′ −→n

Définition (distance d’un point à un plan) :SoitP un plan de l’espace et soitAun point de l’espace. La distance de Aà P, notée d(A,P), est par définition la longueurAA^′, où A^′ est le projeté orthogonal deA sur P. C’est la plus petite des longueursAM, où M est un point deP.

Théorème 15 (formule de la distance d’un point à un plan) : Soit P un plan de l’espace et soit ax+by+cz +d = 0 une équation cartésienne de P. Soit A(xA, yA, zA) un point de l’espace. On a l’égalité suivante.

d(A,P) = |axA√+byA+czA+d| a²+b²+c² .

Remarque 6 : Dans la formule précédente, le dénominateur de la fraction est la norme du vecteur normal

−

→n(a, b, c) au planP, canoniquement associé à l’équation cartésienneax+by+cz+d= 0.

⋄ Exemple 16 : Soit P le plan d’équation cartésienne 3x−2y+ 6z−1 = 0 et soitA(−1,0,2). Calculer les coordonnées du projeté orthogonal deAsurP et, de deux fa¸cons, la distance deAàP.

14 Equations cart´ ´ esiennes de sph` eres

Définition (sphère de centre Ω et de rayon r) : Soit Ω un point de l’espace et soitr∈R⁺^∗ . La sphère S(Ω, r) de centre Ω et de rayonrest l’ensemble des points de l’espace situés à distancerdu point Ω, i.e. :

S(Ω, r) ={M appartenant `a l’espace v´erifiant : ΩM =r}.

(12)

Théorème 16 (équation cartésienne d’une sphère)

1. SoitS une sphère (non réduite à un point), soit Ω (a, b, c) son centre et soitr∈R⁺^∗ son rayon. Alors S=

M(x, y, z)|(x−a)²+ (y−b)²+ (z−c)²=r² .

On dit que (x−a)²+ (y−b)²+ (z−c)²=r² est l’équation cartésienne de la sphèreS.

2. R´eciproquement, soienta, b∈Retr∈R⁺^∗. Alors

M(x, y, z)|(x−a)²+ (y−b)²+ (z−c)²=r² est la sphèreS(Ω, r) où Ω est le point de l’espace de coordonnées (a, b, c).

⋄ D´emonstration

⋄ Exemple 17 : Montrer que l’ensemble des poinsM(x, y, z) de l’espace v´erifiant : x²−4x+y²−y+z²+ 8z= 0

est une sph`ere. On en pr´ecisera le centre et le rayon.