Feuille d’exercices n˚2 G´ eom´ etrie dans le plan

(1)

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1−2011-2012

D. Blotti`ere Math´ematiques

Feuille d’exercices n˚2 G´ eom´ etrie dans le plan

Exercice 12 : Soit (−→ i ,−→

j) une base du plan. On consid`ere les vecteurs :−→u(−1,4), −→v

1,−1 2

,−→w

2 3,2

. 1. Calculer les coordonn´ees des vecteurs −→u −2−→v et 1

6

−

→u +1 3

−

→v +1 2

−

→w. 2. Montrer que (−→u ,−→v) est une base du plan.

3. D´emontrer qu’il existe un unique couple de r´eels (x, y) tels que :

−

→w =x−→u +y−→v . 4. Que peut-on dire du couple (x, y) de la question 3 ?

Exercice 13 : Soit (O;−→ i ,−→

j) un rep`ere du plan. On introduit les points :A(4,5), B(3,2),C(1,−4).

1. Montrer que les pointsA,B et C sont align´es.

2. D´emontrer que la droite (AB) coupe l’axe des abscisses en un unique point. On donnera les coordonn´ees de ce point.

3. Démontrer que la droite (AB) coupe l’axe des ordonnées en un unique point. On donnera les coordonnées de ce point.

4. Calculer les coordonn´ees du milieu du segment [AC].

5. Calculer les coordonnées du symétrique A⁰ deApar rapport à B.

F Exercice 14 : Soit (O₁;−u→₁,−→v₁) un rep`ere du plan. On introduit le point O₂(−1,4) et les vecteurs −u→₂(1,1),

−

→v₂(−1,2).

1. Montrer que (−u→2,−→v2) est une base du plan.

2. Soit−→wun vecteur du plan. On note (x1, y1) ses coordonn´ees dans la base (−→u1,−→v1) et (x2, y2) ses coordonn´ees dans la base (−→u2,−→v2).

(a) Donner une expression dex1 et dey1 en fonction dex2 et dey2.

(b) Calculer de deux fa¸cons une expression de x2 et dey2en fonction dex1 et de y1.

3. Soit A un point du plan. On note (x1, y1) ses coordonnées dans le repère (O1;−→u1,−→v1) et (x2, y2) ses coordonnées dans le repère (O2;−→u2,−→v2).

(a) Donner une expression dex1 et dey1 en fonction dex2 et dey2.

(b) Calculer de deux fa¸cons une expression de x2 et dey2en fonction dex1 et de y1. Exercice 15 : Soit (−→

i ,−→

j) une base du plan. `A touta∈R, on associe les vecteurs−u→_a(a,1−a) et−→v_a(2+a, a−3).

Déterminer l’ensemble des réels a∈Rtels que−u→a et−→va soient colinéaires.

j) un rep`ere du plan. On consid`ere les pointsA(−1,9),B(5,−3),C(10,4),D(−6,2).

1. En appliquant judicieusement le critère de colinéarité, déterminer une équation (E₁) d’inconnue (x, y) telle que :

M(x, y)∈(AB) si et seulement si (x, y) est solution de (E1).

2. Toujours en appliquant judicieusement le critère de colinéarité, déterminer une équation (E2) d’inconnue (x, y) telle que :

M(x, y)∈(CD) si et seulement si (x, y) est solution de (E2).

3. En d´eduire que les deux droites (AB) et (CD) se coupent en un unique point. On donnera les coordonn´ees de ce point.

1

(2)

j) une base orthonorm´ee du plan. On consid`ere les vecteurs : −→u(2,−1), −→v 2

5,3

,

−

→w

−1 2,3

2

. Calculer les produits scalaires suivants.

a) −→u .−→v b) −→u .−→w c) −→v .−→w d) −→u .−→u

e) −→v .−→v f) −→w .−→w g) (−→u +−→v).−→w h) (2−→u −5−→v).−→w i) (−→u +−→v)² j) (−→u − −→v).(−→u +−→v) k)

−1 2

−

→u + 5−→v

.(2−→u −2−→w)

j) une base orthonorm´ee du plan. Pour tout a∈R, on d´efinit les vecteurs −→ua et −→va

par :

−→

ua(2a−1, a−2) ; −→va(3−a, a).

D´eterminer l’ensemble des r´eels a∈Rtels que−u→a et−→va soient orthogonaux.

j) un repère orthonormé du plan. On considère les pointsA(3,8), B(9,6),C(1,2).

1. Calculer les produits scalaires suivants.

−−→ AB.−−→

AB ; −→

AC.−→

AC ; −−→ BC.−−→

BC ; −−→ AB.−→

AC ; −−→ BA.−−→

BC ; −→

CA.−−→ CB

2. Que peut-on en d´eduire pour le triangleABC?

F Exercice 20 : Soit (O;−→ i ,−→

j) un repère orthonormé du plan. On considère les points A(1,3) et B(5,1).

Déterminer tous les points M du plan tel que le triangleABM soit équilatéral.

j) un rep`ere orthonorm´e du plan.

1. Montrer que pour tous pointsA, B, C du plan, on a : BC²=AB²+AC²−2×AB×AC×cos(−−→

AB,−→

AC) (formule d’Al-Kashi).

Indication : On pourra commencer par remarquer que BC²=−−→ BC.−−→

BC et penser `a utiliser la relation de Chasles.

2. Déterminer des mesures des angles d’un triangleABC dont on connaˆıt les longueurs des trois côtés : BC=√

6 ; CA= 2 ; AB= 1 +√

3.

F Exercice 22 : Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O;−→ i ,−→

j). Soient−→u et−→v deux vecteurs du plan.

1. (a) D´emontrer que||−→u +−→v||²+||−→u − −→v||²= 2(||−→u||²+|| −→v||²).

(b) En déduire une identité mettant en jeu les longueurs des côtés et les longueurs des diagonales d’un parallélogramme.

2. (a) D´emontrer que (−→u +−→v).(−→u − −→v) =||−→u||²− || −→v||².

(b) En déduire qu’un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires si et seulement si ses côtés ont même longueur.

Indication : On pourra utiliser l’identité du cours ||−→w||² =−→w .−→w, valable pour tout vecteur −→w du plan, et les propriétés algébriques du produit scalaire.

j) un repère orthonormé du plan. On considère les pointsA(1,5) etB(7,1).

1. Donner une repr´esentation param´etrique de la droite (AB).

2. Montrer que le pointC(10,−1) est sur la droite (AB).

3. Donner une représentation paramétrique de la médiatriceMdu segment [AB].

4. Montrer que le pointD(−2,−6) est sur la droite M.

2

(3)

j) un repère du plan. SoientD1 etD2les droites de représentations paramétriques respectives :

x = 2 + 4t

y = 4 + t ;

( x = −2 − 2t

y = 3 − 1

2t de param`etret∈R. Montrer que les droitesD1 etD2 sont confondues.

j) un repère orthonormé du plan. On considère les points A(1,−1), B(2,−2), C(−1,3). À chaque réela, on associe le vecteur−→ua(1, a) et la droiteDa passant parAet dirigée par le vecteur

−→ ua.

1. Déterminer l’ensembleS des nombres réels atels que les droitesDa et (BC) soient sécantes.

2. Soient a∈ S. D´eterminerDa∩(BC).

3. D´eterminer l’ensembleOdes nombres r´eels atels que les droitesD_a et (BC) soient perpendiculaires.

j) un repère orthonormé du plan. Donner une équation cartésienne de la droite passant par les pointsA(4,−5) etB

−1,1 2

.

Exercice 27 : SoitDla droite d’équation 3x+ 2y−5 = 0 dans un repère orthonormé (O;−→ i ,−→

j) du plan.

1. Donner les coordonn´ees d’un vecteur normal `a D.

2. Donner les coordonn´ees d’un vecteur directeur deD.

3. En déduire une équation cartésienne de la droiteD⁰ passant par A(1,5) et perpendiculaire à D.

Exercice 28 : Le plan est rapporté à un repère orthonormé. À chaque nombre réel m ∈ R, on associe une droite, notéeDm, d’équation (2m−1)x+ (3−m)y+m+ 1 = 0.Soit ∆ la droite d’équationx+y−1 = 0.

1. D´eterminer l’ensembleOdes r´eelsmtels que Dm⊥∆.

2. D´eterminer l’ensembleP des r´eels mtels queDm//∆.

Exercice 29 : On se place dans un rep`ere orthonorm´e (O;−→ i ,−→

j) du plan et on consid`ere le triangle de sommets A(−1,2),B(3,1), C(2,4).

1. V´erifier que les pointsA,B etC ne sont pas align´es.

2. (a) Déterminer une équation cartésienne des médiatrices des segments [AB], [AC] et [BC].

(b) Montrer que les médiatrices des segments [AB], [AC] et [BC] sont concourantes. On donnera les coordonnées du point de concours de ces trois médiatrices.

3. (a) Déterminer une équation cartésienne de chacune des hauteurs du triangleABC.

(b) Montrer que les trois hauteurs du triangleABC sont concourantes. On donnera les coordonn´ees du point de concours des trois hauteurs.

j) un repère orthonormé du plan. On considère trois droitesD1,D2 etD3 définies comme suit.

• SoitD1la droite du plan passant par les pointsA(7,1) etB(3,−2).

• SoitD2la droite passant par le pointC(6,2) et dirig´ee par le vecteur−→u(1,2).

• SoitD₃la droite d’´equation cart´esienne : 3x+y−13 = 0.

Démontrer que les droites D₁,D₂ et D₃ sont concourantes et donner les coordonnées du point commun àD₁, D₂et D₃.

Exercice 31 : Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O;−→ i ,−→

j) et soientA(1,2),B(7,−1) etC(4,3).

1. Donner une ´equation cart´esienne de (AB).

2. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal de Csur la droite (AB).

3. Calculer de deux fa¸cons la distance deC `a la droite (AB).

3

(4)

j) un repère orthonormé. Calculer la distance du pointAà la droiteDdans les cas suivants.

1. A a pour coordonnées (1,1) etD a pour équation 2x+y−1 = 0 ; 2. A a pour coordonnées (2,−1) etD a pour équation 3x−2y+ 4 = 0 ; 3. A a pour coordonnées (3,3) etD a pour équation−x+ 3y+ 2 = 0.

j) un repère du plan. On considère la droite Dpassant par l’origineO et dirigée par le vecteur−→u(1,2). Soit−→v le vecteur de coordonnées (−3,1).

1. Montrer que les vecteurs−→u et −→v ne sont ni colin´eaires, ni orthogonaux.

2. Montrer que pour tout pointA(a₁, a₂) il existe un unique pointp(A) du plan v´erifiant :







p(A)∈ D et −−−−→

Ap(A)//−→v .

Le pointp(A) est appelé projeté deAsur la droiteDparallèlement à la direction de−→v.

3. SoitA(a1, a2) un point fix´e du plan. D´eterminer l’ensemble des pointsM(x, y) du plan tels quep(M) = p(A).

j) un rep`ere orthonorm´e du plan.

1. D´eterminer l’ensembleE1 des pointsM(x, y) du plan tels que : x²−2x+y²+ 4y−116 = 0.

2. D´eterminer l’ensembleE₂ des pointsM(x, y) du plan tels que : x²+ 6x+y²−2y+ 11 = 0.

3. D´eterminer l’ensembleE3 des pointsM(x, y) du plan tels que : x²−4x+y²−2y+ 5 = 0.

4. D´eterminer l’ensembleE4 des pointsM(x, y) du plan tels que : x²−4x+y²+y+5

4 = 0.

j). Déterminer l’équation du cercle C passant par les pointsA(2,1) etB(1,3) et dont le centre Ω est situé sur la droite d’équationx+y+ 1 = 0.

j). On consid`ere les pointsA(1,1),B(4,7), C(8,5).

1. Montrer que les pointsA, B, C ne sont pas align´es.

2. Déterminer l’équation cartésienne du cercleC passant par les pointsA, B, C.

3. D´eterminer les points deCse trouvant sur les axes du rep`ere.

j) un rep`ere orthonorm´e du plan. Soit C le cercle de centre Ω(9,3) et de rayon

√

29. Donner une équation cartésienne de chacune des tangentes àC passant par le pointA(12,10).

4