Feuille d’exercices n˚3 G´ eom´ etrie dans le plan

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L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1−2010-2011

D. Blotti`ere Math´ematiques

Feuille d’exercices n˚3 G´ eom´ etrie dans le plan

Exercice 23 : On munit le plan d’une base (−→ i ,−→

j). On se donne trois vecteurs par leurs coordonn´ees dans la base (−→

i ,−→

j) :−→v1(1; 3),−→v2(−3; 0),−→v3(−1; 1).

1. D´eterminer les coordonn´ees du vecteur−→w = 3−→v₁−2−→v₂+ 5−→v₃ dans la base (−→ i ,−→

j).

2. Justifier que (−→v2;−→v3) est une base du plan.

3. D´eterminer les coordonn´ees de−→v1 dans la base (−→v2;−→v3).

Exercice 24 : Dans le plan rapporté à un repère (O;−→ i ,−→

j), on consid`ere les pointsA(1; 2) etB(−21; 35).

1. Déterminer les coordonnées du pointC symétrique deApar rapport à B.

2. SoitD un point de la droite (AB), d’ordonn´ee 125. D´eterminer l’abscisse deD.

Exercice 25 : Soit (O;−→ i ,−→

j) un rep`ere du plan. Soit le pointA(−2; 1) et soient les vecteurs−→u1(3; 4) et−u→2(2; 3).

1. Justifier que (−→u₁,−→u₂) est une base du plan.

2. Soit −→v le vecteur de coordonn´ees (5;−6) dans la base (−→ i ,−→

j). Calculer les coordonn´ees de −→v dans la base (−→u1,−u→2).

3. Soit−→w le vecteur de coordonn´ees (1,3) dans la base (−u→₁,−u→₂). Calculer les coordonn´ees de−→w dans la base (−→

i ,−→ j).

4. SoitM le point de coordonn´ees (−1; 4) dans le rep`ere (O;−→ i ,−→

j). Calculer les coordonn´ees deM dans le rep`ere (A;−→u1,−→u2).

5. Soit N le point de coordonnées (2; 2) dans le repère (A;−→u1,−→u2). Calculer les coordonnées de N dans le repère (O;−→

i ,−→ j).

Exercice 26 : On fixe un rep`ere orthonorm´e (O;−→ i ,−→

j) du plan et on consid`ere les vecteurs −w→1(1; 2) et

−→

w2(4;−3). Calculer les produits scalaires de :−w→1 et −w→2; −w→1 et−−w→2;−−w→1 et −−w→2; 2−w→1− −w→2 et −4−w→1+ 7−w→2.

Exercice 27 : Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O;−→ i ,−→

j). Dans les cas suivants, étudier, en fonction du réel k, la colinéarité et l’orthogonalité des vecteurs−→u et−→v.

a) −→u(5; 2k) et −→v(3; 1) b) −→u(2;k) et−→v(3; 1−2k) c)−→u(2 +k;−1) et−→v(5 + 2k;−k)

F Exercice 28 : Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O;−→ i ,−→

j). Soient−→u et−→v deux vecteurs du plan.

1. (a) D´emontrer que||−→u +−→v||²+||−→u − −→v||²= 2(||−→u||²+|| −→v||²).

(b) En déduire une identité mettant en jeu les longueurs des côtés et les longueurs des diagonales d’un parallélogramme.

2. (a) D´emontrer que (−→u +−→v).(−→u − −→v) =||−→u||²− || −→v||².

(b) En déduire qu’un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires si et seulement si ses côtés sont

´ egaux.

Exercice 29 : On munit le plan d’un rep`ere orthonorm´e (O;−→ i ,−→

j). Donner les mesures des angles du triangle de sommetsA(4; 5),B(6; 2), C(3; 0).

F Exercice 30 : Soit (O;−→ i;−→

j) un rep`ere orthonorm´e du plan. Soit A(−2; 2) et soitB(1; 1).

1. CalculerAB².

2. SoitM un point du plan et soit (x;y) ses coordonn´ees. ExprimerAM²et BM² en fonction dexety.

3. En déduire l’ensemble des pointsM du plan tels que le triangleABM soit équilatéral.

(2)

F Exercice 31 : Le plan est muni d’un rep`ere orthonorm´e (O;−→ i ,−→

j). On consid`ere un triangleABCet l’on pose a=BC,b=AC et c=AB.

1. Démontrer l’identité suivante, due à Al-Kashi :a²=b²+c²−2bccos(\BAC).

2. Calculer une mesure de l’angle \BAC, dans le cas o`uAB= 2√

2,AC= 6 etBC= 2√ 5.

j). Soient les points A(1; 4), B(4; 1), C(−2; 5),D(6; 1).

1. Donner une représentation paramétrique et une équation cartésienne de la droite (AB).

2. Donner une représentation paramétrique et une équation cartésienne de la droite (CD).

3. Justifier que (AB) et (CD) se coupent en un unique point.

4. Déterminer les coordonnées du point commun à (AB) et à (CD).

Exercice 33 : SoitDla droite d’´equation 3x+ 2y−5 = 0 dans un rep`ere orthonormal (O;−→ i ,−→

j) du plan.

1. Donner les coordonn´ees d’un vecteur normal `a D.

2. En déduire une équation cartésienne de la droiteD⁰ passant par A(1; 5) et perpendiculaire à D.

F Exercice 34 : Le plan est rapporté à un repère orthonormal. À chaque nombre réel m ∈R, on associe une droite, notéeD_m, d’équation (2m−1)x+ (3−m)y+m+ 1 = 0.Soit ∆ la droite d’équationx+y−1 = 0.

1. D´eterminer l’ensemble des r´eelsmtels queDm⊥∆.

2. D´eterminer l’ensemble des r´eelsmtels queDm//∆.

Exercice 35 : On se place dans un rep`ere orthonorm´e (O;−→ i ,−→

j) du plan et on introduit un triangle de sommetsA(−1; 2),B(3; 1),C(2; 4).

1. Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice du segment [AB].

2. Déterminer une équation cartésienne de la hauteur issue deAdans le triangleABC.

j) un repère orthonormé du plan. On considère les droites D et D⁰ d’équations respectivesx+ 2y−5 = 0 etx−y−1 = 0 et le pointB(5; 2).

1. (a) Donner une équation cartésienne de la perpendiculaire àDpassant par B, droite notée ∆.

(b) Déterminer les coordonnées du pointB⁰ commun à Det à ∆. Que peut-on dire deB⁰? 2. (a) Donner une équation cartésienne de la parallèle à D⁰ passant parB, droite notée ∆⁰.

(b) Justifier que les droites D et ∆⁰ se coupent en un point unique. Soit B⁰⁰ ce point. D´eterminer les coordonn´ees deB⁰⁰.

j) et soientA(1; 2),B(7;−1) etC(4; 3).

1. Donner une ´equation cart´esienne de (AB).

2. D´eterminer le projet´e orthogonal de Csur la droite (AB).

3. Calculer la distance deC `a la droite (AB).

j) un repère orthonormé. Calculer la distance du point Aà la droite D dans les cas suivants.

1. A a pour coordonnées (1; 1) etD a pour équation 2x+y−1 = 0 ; 2. A a pour coordonnées (2;−1) etD a pour équation 3x−2y+ 4 = 0 ; 3. A a pour coordonnées (3; 3) etD a pour équation−x+ 3y+ 2 = 0.

Exercice 39 : Dans un rep`ere orthonorm´e (O;−→ i ,−→

j) du plan, donner une équation du cercleCde centre (1; 2) et de rayon 3 et déterminer les coordonnées des points d’intersection deC avec les axes de coordonnées.

Exercice 40 : On fixe un rep`ere orthonorm´e (O;−→ i ,−→

j) du plan. D´eterminer le centre et le rayon du cercleC d’´equation x²+ 4x+y²−8y−5 = 0.

F Exercice 41 : Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O;−→ i ,−→

j). Déterminer une équation du cercleC passant par les pointsA(2; 1) etB(1; 3) et dont le centre Ω est situé sur la droite d’équationx+y+ 1 = 0.