Condensateurs et circuits RC
I. Le condensateur : d´ efinition et propri´ et´ es
D´ efinition :
Le condensateur est constitu´e de deux armatures m´etalliques s´epar´ees par un isolant appel´e di´electrique.
Repr´ esentation dans un montage
L’intensit´e arrive sur l’armature positive et sort par l’armature n´egative.
II. Le dipˆ ole RC :
Relation entre la charge et l’intensit´ e du courant :
L’intensit´e ´electrique correspond `a la quantit´e de charges electriques qui traverse une section de conduc- teur par unit´e de temps.
i dq dt
La charge s’exprime en coulomb (C), l’intensit´e en amp`ere (A) et le temps en seconde (s).
L’intensit´e est une grandeur alg´ebrique. Selon le sens du courant, elle peut ˆetre positive (charge) ou n´egative (d´echarge).
Relation entre charge, capacit´ e du condensateur et tension ` a ses bornes
Soit un montage contenant un g´en´erateur de courant constant, une r´esistance et un condensateur.
Le graphique repr´esentant la tension en fonction du temps du condensateur (Uc) `a courant constant est une droite passant par l’origine.
Ainsi, on a Uc(t)=kt avec k, un r´eel.
On sait notamment que idq
On int`egre pour trouver la primitve ce qui nous donne q(t)=it+Adt
Pour trouver A (constante d’int´egration), on utilise les conditions initiales.
A t=0, on a q=0
Soit 0i0 AðñA0
Egalisons les deux derni`eres ´egalit´es, on trouve que U c k
q i Soitq i
kU c On noteC i
k; C est la capcit´e du condensateur et s’exprime en Farads (F) On a la relation suivante : qCUc
Constante de temps
Elle d´epend de la valeur de la r´esistance R du conducteur ohmique et de la valeur de la capacit´e C du condensateur.
τ RC
D´etermination de la dimension de
Pour d´eterminer la dimension de RC, on fait une analyse dimensionnelle.
Rappel des grandeurs fondamentales :
Grandeur Dimension Unit´e (Syst`eme International)
Temps T seconde (s)
Intensit´e I Amp`ere (A)
On cherche `a d´eterminer la dimension de RC : τ RC ðñτ rQs
rUs ðñτ rQs
rIs
Or rIs rQs
rTs ðñ
rQs
rIs rTsd’o`uτ rTs RC est donc homog`ene `a une dur´ee.
III. R´ eponse du dipˆ ole RC ` a un ´ echelon de tension : ´ etablissement des ´ equations diff´ erentielles
Cas de la charge d’un condensateur :
On r´ealise le circuit RC suivant (le condensateur est initialement d´echarg´e) :
On cherche `a mod´eliser l’´equation diff´erentielle de la charge du condensateur.
]Mise en ´equation diff´erentielle : A t=0, on ferme l’interrupteur K On a la relationUc UrE.
On sait queUrRiet quei dq dt. D’o`u UrRdq
dt.
De plus, on a la relation qCUc. DoncUrRdCU c
dt ðñUrRCdUc
dt car C est constante.
On a finalement l’´equation suivante :RCdUc
dt Uc E.
Puis en divisant le tout par RC, on obtient : dUc
dt Uc
RC E RC
Solution de l’´equation diff´erentielle :
La solution de cette ´equation diff´erentielle est : UcptqE
1e
t RC . ]V´erification :
dUc
dt 0p1e
t RC
q E 1 RCe
t RC
ðñ
dUc
dt E RCe
t RC
dU c dt
Uc
RC E
RCeRCt E RC
E
RCeRCt E La solution est juste. RC
En ce qui concerne l’intensit´e : On a la relationi dq
dt soitiCdUc
dt
En remplacant Uc par son expression, on trouve que iptqE
Re
t RC
Cas de la d´ echarge d’un condensateur :
On r´ealise le circuit suivant (le condensateur est initialement charg´e) :
Mise en ´equation diff´erentielle : On a la relationUc Ur0.
En proc´edant exactement de la mˆeme mani`ere pour la tension aux bornes de la r´esistance durant la charge, on trouve que l’´equation diff´erentielle est :
uc RCduc
dt 0 .
Solution de l’´equation diff´erentielle :
La solution de cette ´equation diff´erentielle est : UcptqEeRCt . V´erification :
EeRCt RC
dUc
dt EeRCt
RC
EeRCt RC 0.
La solution est juste.
En ce qui concerne l’intensit´e : On a la relationi dq
dt soitiCdUc
dt
En remplacant Uc par son expression, on trouve que iptqE
R eRCt
IV. R´ esolutions graphiques des tensions du condensateur et intensit´ e dans le circuit
Tension du condensateur intensit´ e du courant pendant la charge en fonction du temps :
La constanteτ du circuit RC caract´erise la vitesse de la charge du condensateur.
Il y a 3 m´ethodes pour la retrouver.
1er : On utilise la relationτRC
2`eme : On trace la tangente `a l’origine.τ est l’absicsse de l’intersection entre la tangente et la droite E.
3`eme : Pendant la charge, on a U cptqEp1eτtq. Quandtτ, on aU cpτq0,63E
Lorsque tτ, la tension du condensateur a atteint 63% de la tension du g´en´erateur (E).
Apr`es de brefs calculs, on peut voir que lorsque t 5τ, la tension du condensateur a quasiment atteint E (quasiment car la droite E est asymptote horizontale `a la courbe).
On peut aper¸cevoir une discontinuit´e au temps t=0.
Tension du condensateur et intensit´ e du courant pendant la d´ echarge en fonction du temps :
La constanteτ du circuit RC caract´erise la vitesse de la charge du condensateur.
Il y a 3 m´ethodes pour la retrouver.
1er : On utilise la relationτRC
2`eme : On trace la tangente `a l’origine.τest l’absicsse de l’intersection entre la tangente et l’axe des abscisses.
3`eme : Pendant la d´echarge, on a U cptqEeτt Quandtτ, on aU cpτq0,37E
Lorsque tτ, la tension du condensateur a atteint 37% de la tension du g´en´erateur (E)
Apr`es de brefs calculs, on peut voir que lorsque t5τ, la tension du condensateur a quasiment atteint 0.
(quasiment car l’axe des absicsses est asymptote horizontale `a la courbe).
On aper¸coit une nouvelle fois la discontinuit´e au temps t=0.
La tension d’un condensateur est une fonction continue du temps.
L’intensit´e du courant dans un circuit RC est une fonction discontinue du temps.
V. Energie enmagasin´ e dans un condensateur.
L’´energie E enmagasin´e dans un condensateur de capacit´e C et de tension U `a ses bornes est donn´e par la relation :
Ec
1 2CU2
L’´energie s’exprime en Joule, la capacit´e du condensateur en Farads et la tension en Volt. [b]
D´emonstration (hors programme) : P dE
dEdtPdt
dEU idt dEUdq
dt dt dEUdq dEUdpCUq dEUCdU
dE dU
UCdU dU
dE dU U C D’o`u E1
2CU2
