Corrig´e TD SA 11
Repr´esentation d’´etat d’un pendule
21 d´ecembre 2004
1 Chariot et pendule
1.1 Repr´esentation d’´etat
L’entr´eeU est la forceF appliqu´ee au chariot, la sortieY =h x θ iT. Le vecteur d’´etat est :X=h x θ x˙ θ˙ iT. La repr´esentation d’´etat est :
X˙ =
0 0 1 0
0 0 0 1
0 −mmpg
c 0 0
0 −(mcm+mp)g
clp 0 0
.X+
0 0
1 mc
1 mclp
.F
Y =
"
1 0 0 0 0 1 0 0
# .X L’application num´erique donne :
A=
0 0 1 0
0 0 0 1
0 −5 0 0
0 −30 0 0
B =
0 0 5 10
1.2 Observabilit´e
La matrice d’observabilit´e donne :
OB=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 −5 0 0
0 −30 0 0
0 0 0 −5
0 0 0 −30
1
cette matrice est de rang 4. Si la sortie est seulement l’angle θ, le vecteur C2 est limit´ee `a la deuxi`eme ligne du vecteur C pr´ec´edent et la matrice d’observabilit´e devient :
OB2=
0 1 0 0
0 0 0 1
0 −30 0 0
0 0 0 −30
Cette matrice est de rang 2 et on peut voir que seuls les variables d’´etat 2 et 4 c’est `a direθ et ˙θ sont observables.
1.3 Syst`eme r´eduit
De l’´equation diff´erentielle (2) du syst`eme, on a : T(p) = 10
p2+ 30
On peut en d´eduire une repr´esentation d’´etat d’ordre 2 : X˙ =
"
0 1
−30 0
# .X+
"
0 10
#
.F Y =h 1 0 i.X
1.4 Retour d’´etat
Pour avoir en BF la fonction de transfert H(p) = 10
(p+ 3)(p+ 10) il faut avoir une repr´esentation d’´etat en BF avec
ABF =
"
0 1
−30 −13
#
OrABF =A−B.G. On en d´eduit le retour d’´etat G=h 0 −1.3 i
ce qui signifie un retour sur la vitesse angulaire avec un gain de−1.3.
2
