Corrig´ e du TD 8

(1)

Analyse Num´ erique

Corrig´ e du TD 8

EXERCICE 1

Convergence de méthodes itératives linéaires

1.1 Relation entre le rayon spectral et les normes matricielles Soit A une matrice carr´ee d’ordre n >0,A= (a_ij)_i,j=1,...,n.

Pour 1≤p≤+∞, on note par k k_p la norme matricielle calcul´ee `a partir de la norme vectorielle k k_p i.e.

kAk_p= sup

kxk_p=1

kAxk_p= sup

kxk_p≤1

kAxk_p = sup

x6=0

kAxk_p kxk_p . a. Montrer que son rayon spectral ρ(A) v´erifie

ρ(A)≤ kAk_p, ∀1≤p≤+∞.

Pour le corps K=Cou R, on noteMn(K) l’ensemble des matrices carr´ees d’ordre n >0

`

a valeurs dansK.

Pour montrer que ρ(A) ≤ kAk_p, on s´epare le cas A ∈ Mn(C) qui est ´evident, du cas A∈ M_n(R) qui est plus subtil.

•Cas A∈ M_n(C)

CommeA ∈ Mn(C) est diagonalisable, il existe un vecteur proprex⁰ ∈ Cⁿ associé à la plus grande valeur propre en module|λ|=ρ(A) :Ax⁰ =ρ(A)x⁰. On en déduit

ρ(A)kx⁰k_p=kλx⁰k_p =kAx⁰k_p ≤ kAk_pkx⁰k_p, d’o`u

ρ(A)≤ kAk_p, (1.1)

puisquex⁰6= 0.

•Cas A∈ M_n(R)

Le problème est que la matrice A n’a pas forcément ses valeurs propres dans R et donc ses vecteurs propres sont en toute généralité dansCⁿ. Comme pourA∈ Mn(R), la norme matricielle k k_p utilisée pour évaluer kAk_p est calculée à partir de la norme vectorielle k k_p i.e.du typekxk_p pourx∈Rⁿ. De ce fait commex⁰, vecteur propre associé à la plus grande valeur propre en module|λ|=ρ(A), peut être dansCⁿ, la quantitékx⁰k_p peut ne pas avoir de sens. Pour contourner cette difficulté, on peut procéder comme suit.

(2)

On choisit une norme vectorielle N sur Cⁿ. On note N la norme matricielle calculée sur Mn(C) à partir de la norme vectorielle. On note encore N sa restriction surMn(R), qui est bien sûr une norme.

Comme M_n(R) est de dimension finie, deux quelconques normes sont ´equivalentes : il existe C > 0 tel que N(B) ≤ CkBk_p pour toute matrice B ∈ Mn(R). Par r´ecurrence sur m ∈ N, on a

ρ(A)

m

= ρ(A^m) et kA^mk_p ≤

kAk_p m

, et l’on obtient grˆace au r´esultat (1.1) la majoration suivante :

ρ(A)

m

=ρ(A^m)≤N(A^m)≤CkA^mk_p ≤C

kAk_p m

. Ce qui implique

ρ(A)≤C¹^/mkAk_p. (1.2)

En faisantm→+∞ dans (1.2), et avec lim

m→+∞C¹^/m= 1, on obtient

ρ(A)≤ kAk_p. (1.3)

D’o`u le r´esultat.

b. Soitε >0. Montrer qu’il existe une norme matricielle k k d´ependant de ε et A, tel que

kAk ≤ρ(A) +ε . (1.4)

Il existe une matrice U inversible tel que T =U⁻¹AU soit une matrice triangulaire,

T =







λ1 t12 · · · t1j t1n−1 t1n

λ2 t2n−1 t2n

. .. ...

λ_i t_ij t_in

0

_{. ..} ^.._.

λ_n−1 t_n−1n

λ_n





 ,

(3)

Pour toutδ, on d´efinit une matrice diagonaleD_δ=diag(1, δ , δ², ... , δⁿ⁻¹) i.e.

D_δ =







1 0 0 · · · 0

0 δ 0 . .. ...

0 . .. ... ... ... ... ... . .. 0 δⁱ⁻¹ . .. ... ... . .. ... ... ... 0

0 . .. 0 δⁿ⁻²

0 · · · 0 0 δⁿ⁻¹





 .

La matrice T_δ d´efinie par

T_δ= (U D_δ)⁻¹A(U D_δ) =D_δ⁻¹T D_δ v´erifie

T_δ=







λ1 δt12 · · · δ^j−¹t1j δⁿ⁻²t1n−1 δⁿ⁻¹t1n

λ2 δⁿ⁻³t2n−1 δⁿ⁻²t2n

. .. ...

λ_i δ^j−it_ij δⁿ⁻ⁱt_in

0

_{. ..} ^.._.

λ_n−1 δt_n−1n

λn





 ,

Etant donné ε > 0, on peut choisir δ suffisamment petit pour que les éléments extra- diagonaux deT_δ soient très petits aussi, par exemple pour que, pour tout 1≤i≤n−1,

n

X

j=i+1

δ^j−it_ij ≤ε .

Alors l’application B7→ k(U D_δ)⁻¹B(U D_δ)k_∞ est une norme matricielle, qui d´epend deε etA, v´erifie

kAk ≤ρ(A) +ε .

On vérifieB 7→ k(U D_δ)⁻¹B(U D_δ)k_∞est la norme matricielle calculée à partir de la norme vectorielle v∈Kⁿ7→ k(U D_δ)⁻¹vk_∞.

c. Montrer que

m→lim+∞kA^mk 1

m =ρ(A).

(4)

A la questiona. de 1.1, on a montr´e que ρ(A)≤ kAk.

En appliquant la relation ci-dessus `a la matrice A^m, on obtient ρ(A^m)≤ kA^mk.

Par r´ecurrence surm∈N on obtient ρ(A^m) =

ρ(A)

m

. Ce qui entraˆıne

ρ(A)

m

≤ kA^mk_p, ou bien encore

ρ(A)≤ kA^mk¹_p^/m. (1.5)

Pour la seconde partie inégalité, on procède comme suit.

Soitε >0, on pose A_ε= A ρ(A) +ε. On a

ρ(A_ε) = ρ(A) ρ(A) +ε

< ρ(A) +ε ρ(A) +ε

<1.

Commeρ(A_ε)<1, la suite puissance de matrices (A^m_ε )_m≥₀ converge vers la matrice nulle (la d´emonstration est faite dans l’exercice 1.2a.). Ce qui signifie que la suite des normes (kA^m_ε kp)_m≥₀ est de limite nulle. Donc

∃m0 ∈N,∀m≥m0,kA^m_ε kp ≤1, c’est-`a-dire

∃m0∈N,∀m≥m0,kA^mk¹_p^/m≤ρ(A) +ε , (1.6) En regroupant (1.5) et (1.6), on obtient

∃m0 ∈N,∀m≥m0, ρ(A)≤ kA^mk¹_p^/m≤ρ(A) +ε . (1.7) On fait ε→0 dans (1.7), et on a

m→lim+∞kA^mk¹_p^/m=ρ(A). (1.8)

(5)

1.2 Suite et s´erie de matrices

D´efinition 1.1. Convergence d’une suite de matrices

On dit qu’une suite de matrices (A_m)_m≥0 converge vers la matrice A si

m→lim+∞kAm−Ak_p = 0.

a. Montrer que

m→lim+∞A^m = 0⇐⇒ρ(A)<1.

Montrons que lim

m→+∞A^m= 0 =⇒ρ(A)<1.

Supposons que lim

m→+∞A^m = 0. Si ρ(A) ≥ 1 alors comme kA^mk_p ≥

ρ(A) m

, on aurait kA^mk_p ≥1. Par suite la suite de nombres positifs (kA^mk_p)_m≥₀ ne converge pas, et donc la suite de matrices (A^m)m≥0 ne converge pas. N´ecessairement on a ρ(A)<1.

Montrons queρ(A)<1 =⇒ lim

m→+∞A^m= 0.

Commeρ(A)<1, il existeε >0 tel queρ(A)+ε <1 (il suffit de prendreε= (1−ρ(A))/2).

La questionb. de l’exercice 1.1 dit qu’il existe une norme matricielle k k (d´ependant de εetA) telle que

kAk ≤ρ(A) +ε <1.

CommekAk<1, la suite de nombres positives (kAk^m)_m≥₀ converge vers le nombre r´eel 0.

Puisque kA^mk ≤ kAk^m (par r´ecurrence surm), la suite de nombres positives (kA^mk)_m≥₀ converge vers le nombre r´eel 0, ce qui signifie que la suite de matrices (A^m)_m≥0 converge vers la matrice nulle : lim

m→+∞A^m= 0.

b. Monter que

la s´erie

+∞

X

m=0

A^m converge ⇐⇒ρ(A)<1.

Montrer dans ce cas que lim

m→+∞ +∞

X

m=0

A^m = (I−A)⁻¹.

Montrons que la s´erie

+∞

X

m=0

A^m converge =⇒ρ(A)<1.

Si la s´erie

+∞

X

m=0

A^m converge alors la s´erie de nombres positifs

+∞

X

m=0

kA^mk_p converge, donc la suite de nombres positifs (kA^mk)_m≥₀ tend vers 0. D’apr`es la question b. ci-dessus, ρ(A)<1.

(6)

Montrons queρ(A)<1 =⇒ la s´erie

+∞

X

m=0

A^m converge.

Supposons que le rayon spectral ρ(A) <1. Les valeurs propres de la matrice I −A sont 1−λ(A) o`uλ(A) sont les valeurs propres deA. Les valeurs propres deI−Asont non nuls et donc la matriceI−Aest inversible.

Posons

B_m =I+A+...+A^m. (1.9)

Alors

AB_m =A+A²+...+A^m⁺¹ (1.10)

La diff´erence des ´equations (1.9) et (1.10) donne (I −A)B_m =I−A^m⁺¹

En faisantm→+∞dans l’´equation ci-dessus, et en utilisant lim

m→+∞A^m⁺¹ = 0, on obtient (I−A) lim

m→+∞B_m=I , ou encore

m→lim+∞B_m= (I−A)⁻¹, ou bien encore

+∞

X

m=0

A^m = (I−A)⁻¹.

EXERCICE 2

Un exemple de m´ethode it´erative

Soit A une matrice carrée d’ordre n >0, A= (aij)i,j=1,...,n régulière et b∈Rⁿ. On veut résoudre le système linéaire

Ax=b .

On note D la matrice diagonale constitu´ee de la diagonale de A. Soit α6= 0, on

étudie la méthode itérative

x^k⁺¹ = (I −αD⁻¹A)x^k+αD⁻¹b . (2.1) a. Montrer que la m´ethode est consistante i.e. si (x^k)_k≥0 converge vers x alors x est solution.

On fait k→+∞dans (2.1) et on obtient

x= (I −αD⁻¹A)x+αD⁻¹b ,

(7)

ou encore

αD⁻¹Ax=αD⁻¹b .

En multipliant `a gauche par Dl’´equation ci-dessus, et en simplifiant par α6= 0 on a Ax=b .

b. Exprimer les coefficients de la matrice D⁻¹A en fonction de ceux de A.

Soienti , j ∈ {1, ..., n}. Alors le coefficient (D⁻¹A)_ij est donn´e par (D⁻¹A)_ij =

n

X

k=1

(D⁻¹)_ik(A)_kj

= (D⁻¹)_ii(A)_ij

= a_ij a_ii , ou encore

(D⁻¹A)_ij =

( 1 si i=j , a_ij

a_ii si i6=j . (2.2)

c. On suppose que 0< α≤1 et que A satisfait la propri´et´e suivante

∀i ,1≤i≤ n ,|a_ii|>

n

X

j=1 j6=i

|a_ij|.

Montrer que la m´ethode est bien d´efinie et kI−αD⁻¹Ak_∞<1.

La m´ethode est bien d´efinie⇐⇒D⁻¹existe,

⇐⇒a_ii6= 0 ∀1≤i≤ n . Or,∀i ,1≤i≤ n ,|a_ii|>

n

X

j=1 j6=i

|a_ij| ≥0 , c’est-à-dire ∀i ,1≤i≤ n ,|a_ii|>0. D’où la méthode est bien définie.

Calcul de kI−αD⁻¹Ak_∞ PosonsJ_α =I−αD⁻¹A

Les coefficients deJ_α sont donn´es par

(J_α)_ij = (I−D⁻¹A)_ij = (I)_ij−(D⁻¹A)_ij.

(8)

En utilisant (2.2), on obtient

(J_α)_ij =

( 1−α si i=j ,

−αaij

a_ii si i6=j . Maintenant fixonsidans {1, ... , n}. Alors

n

X

j=1

|(J_α)_ij|=|(J_α)_ii|+

n

X

j=1 j6=i

|(J_α)_ij|

=|1−α|+

n

X

j=1 j6=i

|(J_α)_ij|

=|1−α|+|α|

Pn j=1 j6=i

|a_ij|

|a_ii|

<|1−α|+|α|

= 1−α|+α

= 1 car 0< α≤1.

Donc

max

1≤i≤n n

X

j=1

|(J_α)_ij|<1 c’est-`a-dire

kJαk_∞=kI−αD⁻¹Ak_∞<1.

La repr´esentation de chacune des matrices A,DetJ_α sous forme de tableaux s’´ecrit

A=







a11 a12 a1j · · · a1l a1n−1 a1n

a21 a22 a2n−1 a2n

... . .. . .. ...

a1i aij aii a_il ain

... . .. . .. ...

a_n−1 1 a_n₁2 a_n−1n−1 a_n−1n

a_n1 a_n2 a_{n j} · · · a_{n l} a_{n n−}1 a_{n n}





 ,

(9)

D=







a11 0 0 · · · 0

0 a22 0 . .. ...

0 . .. ... ... ... ...

... . .. 0 a_ii 0 . .. ...

... . .. ... ... . .. 0

0 . .. 0 a_n−1n−1 0

0 · · · 0 0 a_nn





 ,

et

Jα=







1−α −αa12

a11

−α a1j

a11

· · · −α a1l

a11

−αa1n−1

a11

−αa1n

a11

−αa21

a22

1−α −αa2n−1

a22

−αa2n

a22

... . .. . .. ...

−αa1i

a_ii −α a_ij

a_ii 1−α −α a_il

a_ii −αa_in

a_ii

... . .. . .. ...

−α an−1 1

a_n−1n−1

−α an₁2

a_n−1n−1

1−α −α an−1n

a_n−1n−1

−α an1

a_{n n} −α an2

a_{n n} −α an j

a_{n n} · · · −α a_{n l}

a_{n n} −αan n−1

a_{n n} 1−α





 .

En d´eduire que la m´ethode est convergente.

On aρ(Jα)≤ kJαk_∞<1, donc le rayon spectral de la matrice d’itérationJαde la méthode satisfaitρ(J_α)<1, qui montre que la méthode est convergente.

RemarquePour α= 1, la m´ethode ci-dessus est celle de Jacobi.

EXERCICE 3

M´ethodes it´eratives classiques sur une matrice tridiagonale

Soit A = (a_ij)_i,j=1,...,n une matrice carrée d’ordre n >0, du système linéaire Ax=b, définie par

a_ii=i+ 1, i= 1, ..., n;a_i+1i= 1, i= 1, ..., n−1 ;a_{i i}+1=−i , i= 1, ..., n−1, les autres termes ´etant nuls.

a. Calculer la matrice d’it´eration de Jacobi. Prouver que son rayon spectral est <1.

(10)

Calcul de la matrice d’itération de Jacobi La méthode de Jacobi s’écrit

(x0 donn´e,

x^k⁺¹ = (I−D⁻¹A)x^k+D⁻¹b , o`uD est la matrice diagonale constitu´ee de la diagonale deA i.e.

(D)_ij =d_ij =

a_ii si i=j ,

0 si i6=j , ∀i, j= 1, ..., n .

La repr´esentation des matricesA etD sous forme de tableau sont les suivantes

A=







2 −1 0 · · · 0

1 3 −2 . .. 0

0 . .. ... ... ... ... ... . .. 1 i+ 1 −i . .. ... ... . .. ... . .. ... 0

0 . .. 1 n −(n−1)

0 · · · 0 1 n+ 1





 ,

D=







2 0 0 · · · 0

0 3 0 . .. 0

0 . .. ... . .. ... ... ... . .. 0 i+ 1 0 . .. ... ... . .. . .. ... ... 0

0 . .. 0 n 0

0 · · · 0 0 n+ 1





 .

La matrice d’it´eration de Jacobi J est

J =I−D⁻¹A .

Calculons en premier les coefficients de la matrice D⁻¹A en fonction de ceux de A.

Pour i, j∈ {1, ..., n}, on a (D⁻¹A)_ij =

n

X

k=1

(D⁻¹)_ik(A)_kj = (D⁻¹)_ii(A)_ij = a_ij a_ii ,

(11)

d’o`u











(D⁻¹A)_ii = a_ii

a_ii = i+ 1

i+ 1 = 1, i= 1, ..., n , (D⁻¹A)_i+1i = a_i+1i

a_i+1i+1

= −1

i+ 2 = − 1

i+ 2, i= 1, ..., n−1, (D⁻¹A)_{i i}+1 = a_{i i}+1

a_ii = −i

i+ 1 = − i

i+ 1, i= 1, ..., n−1, les autres termes sont nuls.

Les coefficients de la matrice d’it´eration de Jacobi deJ =I−D⁻¹A sont donn´es par











J_ii= (I −D⁻¹A)_ii = 1−(D⁻¹A)_ii = 0, i= 1, ..., n , J_i+1i = (I −D⁻¹A)_i+1i= 0−(D⁻¹A)_i+1i = 1

i+ 2, i= 1, ..., n−1, J_{i i}+1 = (I −D⁻¹A)_{i i}+1= 0−(D⁻¹A)_{i i}+1 = i

i+ 1, i= 1, ..., n−1, les autres termes sont nuls.

On peut repr´esenter la matrice d’it´eration de JacobiJ sous la forme du tableau suivant

J =







0 −1/2 0 · · · 0

−1/3 0 −2/3 . .. 0

0 . .. . .. . .. . .. ...

... . .. −1/(i+ 1) 0 −i/(i+ 1) . .. ...

... . .. . .. . .. . .. 0

0 . .. −1/n 0 −(n−1)/n

0 · · · 0 −1/(n+ 1) 0





 .

Majoration du rayon spectral On a

kJk1 = max

i=2,...,n−1

|−1

3|,|−i−1

i |+|− 1

i+ 2|,|−n−1 n |

<1

car 1

3 <1, n−1

n <1, i−1

i + 1

i+ 2 = i²+ 2i−2

i²+ 2i < i²+ 2i i²+ 2i <1. d’o`u le rayon spectral ρ(J)<1 car

ρ(J)≤ kJk1<1.

(12)

Finalement la m´ethode de Jacobi converge.

b. Calculer la matriceGd’itération de Gauss-Seidel. Montrer que le polynôme caractéristique de G s’écrit

P_G(λ) =λⁿdet(I−L− 1 λU), et si |λ| ≥1 alors det(I −L− 1

λU)6= 0.

Calcul de la matrice d’it´eration de Gauss-Seidel

On d´ecompose la matrice A sous la forme A=D−E−F avec

A=





 . ..

. ..

-F

D -E

_{. ..}

. ..





 .

o`u

– la matrice Dest la matrice diagonale constitu´ee de la diagonale de Ai.e.

(D)_ij =d_ij =

a_ii si i=j ,

0 si i6=j , ∀i, j= 1, ..., n , – la matrice −E est la matrice triangulaire strictement inf´erieure deA i.e.

(−E)_ij =

a_ij si i > j ,

0 si i≤j , ∀i, j = 1, ..., n ,

– la matrice −F est la matrice triangulaire strictement sup´erieure deA i.e.

(−F)_ij =

a_ij si i < j ,

0 si i≥j , ∀i, j= 1, ..., n . On introduit enfin les matricesL etU d´efinies par

L=D⁻¹E et U =D⁻¹F .

(13)

Les matrices LetU peuvent ˆetre repr´esenter sous forme de tableaux suivants

L=





 a021

a22

0 ... . ..

a1i

a_ii

a_ij

a_ii 0

0

. ..

... 0

a_n1

a_{n n}

a_{n j}

a_{n n} · · · a_{n n−}1

a_{n n} 0





 ,

et

U =







0 a12

a11

· · · a1j

a11

a1n−1

a11

a1n

a11

0 a2n−1

a22

a2n

a22

. .. ...

0 aij

a_ii

ain

a_ii

0

_{. ..} ^.._.

0 a_n−1n

a_n−1n−1

0





 .

La méthode de Gauss-Seidel s’écrit (x0 donné,

x^k⁺¹= (D−E)⁻¹F x^k+ (D−E)⁻¹b . La matrice d’it´eration de Gauss-SeidelG est

G= (D−E)⁻¹. Exprimons la matrice Gen fonction des matrices Let U. Des ´egalit´es

L=D⁻¹ E ⇐⇒ E =DL , U =D⁻¹ F ⇐⇒ F =DU ,

(14)

On d´eduit

G= (D−DL)⁻¹DU ,

= (D−DL)⁻¹DU ,

=

D(I−L) −1

DU ,

= (I−L)⁻¹D⁻¹DU , G= (I −L)⁻¹U . Appliqué à la matrice A proposée on trouve

L=







1/2 0 0 · · · 0

0 1/3 0 . .. 0

0 . .. ... . .. . .. ...

... . .. 0 1/(i+ 1) 0 . .. ...

... . .. . .. . .. ... 0

0 . .. 0 1/n 0

0 · · · 0 0 1/(n+ 1)







•







0 0 0 · · · 0

1 0 0 . .. 0

0 . .. ... ... ... ... ... . .. 1 0 0 . .. ...

... . .. ... ... ... 0

0 . .. 1 0 0

0 · · · 0 1 0





 ,

Donc

L=







0 0 0 · · · 0

1/3 0 0 . .. 0

0 . .. . .. . .. ... ...

... . .. 1/(i+ 1) 0 0 . .. ...

... . .. . .. ... . .. 0

0 . .. 1/n 0 0

0 · · · 0 1/(n+ 1) 0





 .

(15)

La matrice U se calcule de la mani`ere suivante :

U =







1/2 0 0 · · · 0

0 1/3 0 . .. 0

0 . .. ... . .. . .. ...

... . .. 0 1/(i+ 1) 0 . .. ...

... . .. . .. . .. ... 0

0 . .. 0 1/n 0

0 · · · 0 0 1/(n+ 1)







•







0 1 0 · · · 0

0 0 2 . .. 0

0 . .. ... ... ... ... ... . .. 0 0 i . .. ... ... . .. ... ... ... 0

0 . .. 0 0 n−1

0 · · · 0 0 0





 .

Donc

U =







0 1/2 0 · · · 0

0 0 2/3 . .. 0

0 . .. ... ... . .. ...

... . .. 0 0 i/(i+ 1) . .. ...

... . .. ... . .. . .. 0

0 . .. 0 0 (n−1)/n

0 · · · 0 0 0





 .

La matrice I−L est donn´ee par

I−L=







1 0 0 · · · 0

−1/3 1 0 . .. 0

0 . .. . .. . .. . .. ...

... . .. −1/(i+ 1) 1 0 . .. ...

... . .. . .. . .. . .. 0

0 . .. −1/n 1 0

0 · · · 0 −1/(n+ 1) 1







. (3.1)

(16)

Calcul du polynˆome caract´eristique de G

On a P_G(λ) = det(λ I −G)

= det

λ I−(I−L)⁻¹U

= det

(I−L)⁻¹

(I−L)λ I−U

=

det(I−L)⁻¹

det

λ(I−L) −U

=

det(I−L)⁻¹ λⁿdet

I−L− 1 λU

=λⁿdet(I−L− 1 λU),

car det(I−L) = 1 (´equation (3.1)) entrainant det(I −L)⁻¹ = 1.

Localisation des valeurs propres de G.

On noteG =I−L− 1 λU

G=







1 −1/(2λ) 0 · · · 0

−1/3 1 −2/(3λ) . .. 0

0 . .. . .. . .. . .. ...

... . .. −1/(i+ 1) 1 −i/((i+ 1)λ) . .. ...

... . .. . .. . .. . .. 0

0 . .. −1/n 1 (n−1)/(n λ)

0 · · · 0 −1/(n+ 1) 1





 .

•Supposons que|λ| ≥1.

D’apr`es l’exercice 4 du TD 6, les valeurs propresσ deG=I−L−1

λU sont localis´ees dans l’un des disques de Gerschg¨orin suivants :

D

1, 1/(2λ)

⊂D

1, 1/2

,pouri= 1, D

1, 1/(i+ 1) +i/((i+ 1)λ)

⊂D

1, 1

,pouri= 2, ..., n−1, D

1, 1/((n+ 1)λ)

⊂D

1, 1/(n+ 1)

,pouri=n . Ces disques sont dessin´es dans la Fig. 1.

(17)

Fig. 1 – Disques de Gerschgörin associés à la matrice G=I−L− 1 λU. Comme 0∈D(1,1), le nombre σ = 0 pourrait être valeur propre deG.

Montrons à présent qu’en fait σ = 0 n’est pas valeur propre de G. Pour cela on utilise le théorème suivant :

Théorème 3.1. Soit M une matrice carrée d’ordre n > 0, à coefficients complexes. On suppose queM estirréductible.

Si une valeur propre σ est située sur la frontière de la réunion des disques de Ger- schgörin, alors tous les cercles de Gerschgörin passent par σ.

Appliquons le théorème 3.1 au réel σ= 0 de G.

– La matrice G est irr´eductible car ∀i= 1, ..., n−1, a_{i i}+1 =−i6= 0 et a_i+1i = 1 6=

0, c’est-à-dire que l’on peut toujours un chemin qui relie deux quelconques des n sommets du graphe associé à la matrice G.

– Le r´eel 0 n’appartient pas au cercle fronti`ere du disqueD(1,1/2).

Donc 0 n’est pas valeur propre deG.

Par cons´equent

si |λ| ≥1 alors detG= det(I−L− 1

λU)6= 0.

(18)

En d´eduire que la m´ethode est convergente.

On regarde le rayon spectral de la matriceG. D’après ce qui précède P_G(λ) = 0⇐⇒λ= 0 ou det(I−L−1

λU) = 0. Siλ= 0 alors |λ|<1.

Si det(I−L− 1

λU) = 0 alors |λ|<1. Sinon on aurait |λ| ≥1 puis det(I −L− 1

λU)6= 0.

Donc le rayon spectral de la matrice d’it´eration G est strictement plus petit que 1 i.e.

ρ(G)<1. D’o`u la m´ethode est convergente.

c. Le fait d’avoir trouvé une méthode itérative (au moins) convergente prouve que la matrice A est inversible. Pourquoi ?

Comme la méthode est convergente, à toutb on trouve un uniquex limite de la suite engendrée par la méthode itérative tel que Ax =b. Ce qui signifie que la matrice A est inversible etx=A⁻¹b.

d. Décrire l’algorithme de Gauss-Seidel appliqué à cet exemple.

L’algorithme proposé s’affranchit du stockage de la matrice A. Cependant il requiert l’écriture d’une fonction qui calcule le produit de la matriceA par un vecteurx donné.

(19)

fonction x= gaussseidel(b , nitermax , taua , taur) //Les arguments d’entrée sont le second membre b //le nombre maximum d’itération à faire nitermax //la tolérance absolue taua et la tolérance relative taur //initialisation

n=taille(b) Xk= 0 residu0 =kbk

residusuiv=residu0

nit= 0 //Compteur du nombre d’it´eration //Cœur de l’algorithme

tantque(residusuiv > taur∗residu0 +taua et nit < nitermax) faire nit=nit+ 1

Xk(1) = b(1) +Xk(2) 2

pour i allant de2 `a n−1 faire

Xk(i) = b(i)−Xk(i−1) +i∗Xk(i+ 1) i+ 1

finpour

Xk(n) = b(n)−Xk(n−1) n+ 1

residusuiv=kb−produitAvect(Xk)k //mise `a jour du r´esidu fintantque

x=Xk finfonction

//Calcul du produit

fonction y= produitAvect(x) n=taille(b)

y(1) = 2∗x(1)−i∗x(2)

pour i allant de2 `a n−1 faire

y(i) =x(i−1) + (i+ 1)∗x(i)−i∗x(i+ 1) finpour

y(n) =x(n−1) + (n+ 1)∗x(n) 19