Int´egration et probabilit´es
ENS Paris, 2012-2013TD – Bouillon math´ematique `a ma fac¸on – Corrig´e
0 – Exercice ayant ´et´e pr´epar´e
E
xercice 0. (Spoiler : convolution inside)SoitK un compact deRdetΩun ouvert deRdavecK⊂Ω. Montrer qu’il existef une fonctionC∞ `a valeurs dans[,]telle quef =surK, f =surΩc.
Corrig´e :PuisqueKest un compact,d(K,Ωc) =c >. Siφest une fonction positive,C∞ `a support inclus dans [−c/, c/]det d’int´egrale, alors
f =K+[−c/;c/]d∗φ convient. En effet, l’´ecriture
f(x) = Z
K+[−c/;c/]d(x−u)φ(u)du= Z
[−c/;c/]dK+[−c/;c/]d(x−u)φ(u)du
montre ais´ement quef(x) =six∈K etf(x) =six∈Ωc. D’apr`es l’exercice,f estC∞.
1 – Ap´eritif – Petites questions
0)Quels sont les th´eor`emes vus en cours avec une hypoth`eseσ-fini?
Corrig´e : Th´eor`emes de Radon-Nikodym, Th´eor`emes de Fubini et dualit´e L−L∞, utilisation du lemme des classes monotones pour prouver que deux mesures sont ´egales (application `a la preuve de l’unicit´e de la mesure de Lebesgue et de la mesure produit).
1)Pour quels espaces fonionnelsF, Gpeut-on d´efinir la convol´eef ∗gavecf ∈F, g∈G? Corrig´e :Pour (R,B(R), dx) :
- Lp∗Lq. R´egularit´e de la convol´ee : uniform´ement continue, et lorsquep, q,, tendant vers en
±∞.
- L∗Lp. R´egularit´e de la convol´ee : d´efinie presque partout, appartenant `aLp. - L
loc∗C∞(voir Exercice). R´egularit´e de la convol´ee :C∞.
Pour des queions, demande de pr´ecisions ou explications, n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail `a igor.kortchemski@ens.fr , ou bien `a venir me voir au bureau V.
2 – Entr´ee – Convolution
E
xercice 1. (ApproximationC∞). Soientf une fonion localement int´egrable surR(c’e-`a-dire int´egrable sur tout compadeR) etϕ une fonion de classeC∞ `a support compa. Montrer que la fonionf ∗ϕ ed´efiniepour toutx∈Ret ede classeC∞.
. Soitφ:x7→exp
−
−x
1|x|<, montrer que cette fonion eune fonionC∞ `a support compa.
. En d´eduire que pour toutp∈[,∞[, l’ensemble des fonions de classeC∞ sur Redense dans Lp(R).
Corrig´e :
. On noteK un compatel que supp(ϕ)⊂K. Soitx∈R. On a
|ϕ(x−y)f(y)| ≤ kϕk∞|f(y)|1x−K(y).
Or la foniony7→ |f(y)|1x−K(y) eint´egrable. Doncϕ∗f ed´efinie pourx. SoitM >. On note KM= [−M, M]−K. On a pourx∈[−M, M],
ϕ∗f(x) = Z
R
ϕ(x−y)f(y)1x−K(y)dy= Z
R
ϕ(x−y)f(y)1KM(y)dy.
En appliquant le th´eor`eme de continuit´e sous le signe int´egrale, on montre queϕ∗f econtinue sur [−M, M]. Ceci ´etant vrai pour toutM >la fonionϕ∗f econtinue surR. Puis on montre de mˆeme que la fonionϕ∗f ede classeC∞surR.
. Il suffit de montrer quef :x7→exp−
x
x>ede classeC∞. Pour cela, on applique le th´eor`eme de la limite de la d´eriv´ee en, en remarquant que
∀n≥, ∂n
∂xnf(x)−→
x→.
. Sif ∈Lp(R) alorsf elocalement int´egrable surR. De plus on peut conruire (ρn)n≥ une ap- proximation de l’unit´e telle que chaqueρnede classeC∞. Ainsif∗ρnede classeC∞etf∗ρn→f dansLp.
3 – Plat de viande – Dualit´e L
p− L
qE
xercice 2. (S´equentielle compacit´e faible) Soitp∈],∞[ etqson exposant conjugu´e,Ω⊂Run ouvert de Retµla mesure de Lebesgue. Soit (fn) une suite born´ee deLp(Ω) (c-`a-dque la suite (kfnkp)n≥ e born´ee).. Montrer queLq(Ω) es´eparable (c’e`a dire qu’il contient une partie d´enombrable dense).
. SoitDune partie d´enombrable dense deLq(Ω). Montrer qu’il exie une sous-suite (fϕ(n)) telle que pour touth∈D,
nlim→∞
Z
Ω
fϕ(n)hdµexie dansR.
. Montrer que pour toutg∈Lq(Ω),
φ(g) = lim
n→∞
Z
Ω
fϕ(n)gdµexie dansR.
. En d´eduire qu’il exief ∈Lp(Ω) telle que l’on aitconvergence faibledansLp(Ω) de la suite (fϕ(n)) versf, c’e-`a-dire :
∀g∈Lq(Ω), lim
n→∞
Z
Ω
fϕ(n)gdµ= Z
Ω
f gdµ.
. Le r´esultat pr´ec´edent subsie-t-il pourp=? Corrig´e :
. On sait d´eja que les fonions en escalier sont denses dansLq, il suffit donc d’en trouver une sous famille d´enombrable qui soit dense dans les fonions en escalier. Par exemple, celles qui v´erifient :
”les intervalles ]xi, xi+[ sur lesquelles la fonion econantes sont `a bornes rationnelles, et les valeursαi de la fonion sur ces intervalles sont aussi rationnelles” conituent bien une famille d´enombrable.
. Il s’agit d’un simple proc´ed´e diagonal : on commence par num´eroter tous les fonions de D : h, h, . . .. Consid´erons h, par H¨older, la suite R
fnhdµ
n eborn´ee par khkqsupnkfnkp, donc comme il s’agit d’une suite de r´eels, on peut trouver une extrarice ψ telle que R
fψ(n)hdµ converge. Ensuite en consid´erant la suiteR
fψ(n)hdµ
n on conruit une extrariceψ telle que Rfψ◦ψ(n)hdµconverge, et par r´ecurrence on conruit une suite d’extrarice (ψk)kqui v´erifie que pour toutk
Z
fψ◦···◦ψk(n)hkdµ converge quandn→ ∞.
Si la famille (hk) ´etait finie, il suffirait de prendreψ◦ · · · ◦ψN et on aurait ce qu’il faut, mais avec une famille infinie il faut ruser. on d´efinit
ϕ(n) =ψ◦ · · · ◦ψn(n).
Je laisse au leeur le soin de v´erifier que pour toutn > k, il exieM ≥ntel queϕ(m) =ψ◦ · · · ◦ ψk(M) et d’en d´eduire queR
fϕ(n)hkdµconverge quandn→ ∞pour toutk.
. Le plus simple pour montrer que la suiteR
fϕ(n)gdµconverge ede montrer qu’elle ede Cauchy.
Soitε >, et soithune fonion deD qui v´erifiekg−hkq< ε. Soientn, m≥,
Z
fϕ(n)gdµ− Z
fϕ(m)gdµ
<
Z
fϕ(n)(g−h)dµ
+ Z
fϕ(m)(g−h)dµ
+ Z
fϕ(n)hdµ− Z
fϕ(m)hdµ .
Par H¨older les deux premiers termes sont inf´erieurs `a (supkfnkp)ε et comme la suite R
fϕ(n)hdµ converge (par la queion pr´ec´edente) elle ede Cauchy, donc il exientel que sin, m > n,
Z
fϕ(n)gdµ− Z
fϕ(m)gdµ
<(supkfnkp+)ε, ce qui montre que la suite ede Cauchy.
. `A la queion pr´ec´edente on a d´efinie une fonion deLqdansR: φ(g) = lim
n→∞
Z
fϕ(n)gdµ.
Ici on veut utiliser le th´eor`eme de dualit´e entreLpetLq: siµeσ-finie etp <∞alors il y a bijeion entreLq(µ) et les formes lin´eaires continues surLp(µ) et cette bijeion ef 7→ψf :g 7→R
f gdµ.
Donc pour r´epondre `a la queion il suffit de montrer que φeune forme lin´eaire continue. La lin´earit´e efacile `a montrer et la continuit´e d´ecoule de H¨older :φ(g)≤(supkfnkp)kgkq. Et voila !
. Non, le r´esultat n’eplus vrai pourp=: prenons la suite de fonion fn =1[n,n+] qui ebien born´ee dansL, et supposons qu’il exie une extrariceϕet une fonionf ∈Ltelle que pour toute foniong∈L∞, limR
fϕ(n)gdµ=R
f gdµ. Regardons des fonions particuli`eres : – la fonionsg=1Rmontre queR
Rf dµ= – la suite de foniongk=1[k,k+]montre queRk+
k f dµ=pour toutk
Ces deux r´esultats sont contradioires, ce qui conclut la preuve par l’absurde.
E
xercice 3. (Petit contre-exemple) Soient E ={a, b} etµ la mesure d´efinie sur P(E) par µ({a}) = et µ({b}) =µ(E) = +∞. Cara´eriserL∞(µ) et le dual topologique deL(µ). Conclure.Corrig´e : On aL∞ ={f :E →R}etL ={f :E→R|f(b) =}. Donc le dual topologique deL e (L)0 ={f ∈L7→αf(a) :α ∈R}. On voit ici que l’applicationg ∈L∞ 7→Φg ∈(L)0 (o `uΦg :f ∈L7→
R
Ef g dµ) esurjeive mais pas injeive. La mesureµ n’epasσ-finie et le th´eor`eme de dualit´e (avec
p=etq= +∞) ne s’applique pas dans ce cas.
4 – Plat de poisson – Mesures sign´ees
E
xercice 4. (L’espaceM(R))(i) Montrer que M(R) l’espace des des mesures bor´eliennes sign´ees sur R e un espace de Banach pour la norme
µ7→ kµk, o `ukµk=|µ|(R).
(ii) Soit (X,A, µ) un espace mesur´e fini. Montrer que pour toutf ∈L(X,A, µ) : kfk=kf ·µk,
o `u (f ·µ) ela mesure absolument continue par rapport `aµde densit´ef. Corrig´e :
(i) Soit (µn)n≥une suite de Cauchy pour la normek · k.
´Etape:pour tout bor´elienAdeRetn, p≥, on a|µn(A)−µp(A)| ≤ kµn−µpk, ce qui implique que la suite (µn(A))n≥ede Cauchy dansR, et converge donc vers une limite not´eeµ(A).
´Etape:montrons queµeune mesure. Prouvons tout d’abord que :
nlim→∞sup{|µ(A)−µn(A)|;A∈ B(R)}=. ()
A cet e` ffet, soient >etn>tels quekµn−µkk ≤pourn, k≥n. SoitA∈ B(R). On choisitk > n tel que|µ(A)−µk(A)|< . Alors pourn > n:
|µ(A)−µn(A)| ≤ |µ(A)−µk(A)|+|µk(A)−µn(A)| ≤+kµn−µkk ≤, ce qui prouve ().
Ensuite, les mesuresµn sont en particulier finiment additives, ce qui implique ais´ement que µ efiniment additive. Montrons maintenant queµeσ-finie. Soient (Ai)i≥des bor´eliens disjoints et >. D’apr`es (), il exien>tel que pourn≥n:
sup{|µ(A)−µn(A)|;A∈ B(R)} ≤. On choisit ensuitek>tel que pour toutk≥k:
µn
[
i≥k+
Ai
≤.
En particulier, ceci implique que pourk≥k: µ
[
i≥k+
Ai
≤.
Par additivit´e (finie) deµ, on obtient finalement pour toutk≥k:
µ
[
i≥
Ai
− Xk
i=
µ(Ai)
=µ
[
i≥k+
Ai
≤.
Ceci ´etant vrai pour tout >, laσ-additivit´e deµen d´ecoule, ce qui prouve queµeune mesure.
´Etape:on v´erifie que|µn−µ| →. Ceci d´ecoule imm´ediatement de () et de l’in´egalit´e kνk=ν(X+) +|ν(X−)| ≤sup{|ν(A)|;A∈ B(R)}
v´erifi´ee pour une mesure sign´eeνsurR(o `u on a not´eX±les supports deν±).
(ii) Il suffit de remarquer que l’´ecrituref ·µ=f+·µ−f−·µela d´ecomposition de Hahn def ·µ, ce qui implique :
kf ·µk= Z
f+dµ+ Z
f−dµ=kfk.
– Fromage – Pour pr´eparer le partiel `a venir
Chercher des exercices des partiels des ann´ees pr´ec´edents (les ´enonc´es sur disponibles sur le site d’en- seignement du DMA –http://www.math.ens.fr/enseignement– partieArchives p´edagogiques, puis Annales d’examens).
– Dessert – Compl´ements (hors TD)
E
xercice 5. (Fonions `a variation finie) Soit une fonionf : [a, b]→R.. Montrer que les conditions suivantes sont ´equivalentes :
(i) f s’´ecrit comme une diff´erence de deux fonions croissantes continues `a droite.
(ii) Il exie une mesure sign´eeµsur [a, b] telle quef(x) =µ([a, x]) pour toutx∈[a, b].
(iii) f econtinue `a droite et `a variation born´ee c’e-`a-dire quef v´erifie la condition suivante sup
n≥,a≤a<...<an≤b n−
X
i=
|f(ai+)−f(ai)|<∞.
. Donner un exemple de fonion continue [,]7−→Rqui ne soit pas `a variation finie.
Corrig´e :
(i)⇒(ii) : On suppose quef =g−h+f(a) avecgethcroissantes, continues `a droite etg(a) =h(a) =.
Soitνg (resp.νh) la mesure de Stieljes associ´ee `ag(resp.h). Posons µ=νg−νh+f(a)δa.
Alorsµeune mesure sign´ee sur [a, b] telle quef(x) =µ([a, x]) pour toutx∈[a, b].
(ii)⇒(iii) : Il e ´evident quef econtinue `a droite. Soientn≥eta, . . . , anv´erifianta≤a< . . . <
an≤b. Alors
n−
X
i=
|f(ai)−f(ai−)|=
n−
X
i=
|µ(]ai−, ai])| ≤
n−
X
i=
|µ|(]ai−, ai])≤ |µ|([a, b]).
Doncf e`a variation born´ee.
(iii)⇒(i) : Pour toutx∈[a, b], posons
V(x) = sup
n≥,a≤a<...<an≤x n−
X
i=
|f(ai+)−f(ai)|.
AlorsV ecroissante. On peut donc d´efinir pour toutx∈[a, b], g(x) = lim
y↓xV(y).
Ainsi,gecroissante et continue `a droite. Posonsh=g−f. Alorshecontinue `a droite. Montrons quehecroissante. Soienta≤x < y≤betε >. Pour tousn≥eta≤a< . . . < an≤x, on a
V(y+ε)−f(y+ε) ≥ |f(y+ε)−f(x)|+
n−
X
i=
|f(ai+)−f(ai)|+|f(x)−f(an)| −f(y+ε)
≥
n−
X
i=
|f(ai+)−f(ai)|+|f(x)−f(an)| −f(x)
≥ V(x)−f(x).
Donc,h(y+ε)≥h(x) puis en faisant tendreεverson obtienth(y)≥h(x).
.La fonionf :x∈],]7→xcos(/x), prolong´ee par continuit´e enn’epas `a variation born´ee : consid´erer la subdivision
<
nπ < ... <
π <
π < π <.
E
xercice 6. (Th´eor`eme de Vitali-Saks)Soit (X,A, µ) un espace mesur´e. Une famille (νi)i∈I de mesures surAediteabsolument ´equicontinuepar rapport `a la mesureµsi :
∀ >,∃A∈ A, µ(A)<+∞et∀i∈I, νi(Ac)< ,
∀ >,∃δ >,∀A∈ A, µ(A)< δ=⇒ ∀i∈I, νi(A)<
On suppose que A=σ(C), o `u C eune classeable par interseion finie contenantX. Le but ede prouver le r´esultat suivant
Th´eor`eme de Vitali-Saks. Soit (νn)n≥ une suite de mesures finies sur A, absolument ´equicontinue par rapport `a µet telle que pour toutC ∈ C, limnνn(C) exie dans R+. Alors pour toutA∈ A,ν(A) = limnνn(A) exie dansR+etνd´efinit une mesure absolument continue par rapport `aµ.
. SoitB={A∈ A;ν(A) = limnνn(A) exie dansR+}. Montrer queBe able par diff´erence propre (c-`a-d siA, B∈ BavecA⊂B, alorsB\A∈ B).
. Soient (Bk)k≥une suite d’´el´ements deux `a deux disjoints deBetBleur r´eunion. Montrer que
nlim→∞νn(B) =X
k≥
nlim→∞νn(Bk).
. En d´eduire queB=A.
. Montrer que l’applicationνeune mesure surA, absolument continue par rapport `a la mesureµ.
Remarque :Contrairement `a l’´enonc´e diribu´e en TD, il fallait lireR+et non pasR+. En effet, si on remplaceR+parR+, l’´enonc´e devient faux. Voici un contre-exemple :X={x, y}(avecx,y),A=P(X), µ d´efinie parµ(∅) = , µ({x}) = , µ({y}) = , µ({x, y}). On prend ensuite C = {{x},{x, y}} et (νn)n≥d´efinies parνn(∅) =, νn({x}) =n−sin(n), νn({y}) = sin(n), νn({x, y}) =n.
´Ebauche de corrig´e :
. Pas de difficult´e.
. D’abord voir queX
k≥
nlim→∞νn(Bk)≤lim inf
n→∞ νn(B) en utilisant le lemme de Fatou (pour la mesure de comptage). Pour prouver que lim sup
n→∞
νn(B)≤X
k≥
nlim→∞νn(Bk), ´ecrire pour tout >etn, k≥:
νn(B)≤ Xk
j=
νn(Bj) +νn
A∩\
j>k
Bj
+νn(Ac∩B),
et utiliser le fait queµ
A∩T
j>kBj
→lorsquek→ ∞.
. On voit queBeune classe monotone (on utilise ici l’hypoth`eseX∈ C), ce qui fournit le r´esultat d´esir´e en utilisant le lemme de la classe monotone.
. Pas de difficult´e en utilisant l’´equicontinuit´e.
Dans l’exercice suivant, on note (f ·µ) la mesure absolument continue par rapport `aµde densit´ef.
E
xercice 7. (Exercice dans L : cas particulier du th´eor`eme de Dunford-Pettis) Soit (X,A, µ) un espace mesur´e fini. On suppose queA=σ(C), o `uC eune classe d´enombrableable par interseion finie contenantX.
. Montrer que c’ele cas lorsqueXeun espace m´etrique s´eparable muni de sa tribu bor´elienne.
Soit (fn)n≥une suite born´ee deL(X,A, µ) (c`ad la suite (kfnk)n≥ eborn´ee) telle que la suite de mesures (|fn| ·µ)n≥eabsolument ´equicontinue par rapport `aµ.
. Montrer qu’il exie une sous-suite (fφ(n))n≥ telle que les deux suites de mesures d´efinies par ν±:=fn±·µv´erifient : pour toutC∈ C, limnνφ(n)± (C) exient dansR.
. Montrer qu’il exief ∈L(X,A, µ) v´erifiant pour toutA∈ A: lim
n→∞
Z
A
fφ(n)dµ= Z
A
f dµ.
. En d´eduire laconvergence faibledefφ(n)versf :∀g∈L∞(X,A, µ), lim
n→∞
Z
X
fφ(n)gdµ= Z
X
f gdµ.
. Une suite (fn)n≥qui converge faiblement au sens de d) (mais pour la suite elle-mˆeme) converge-t- elle n´ecessairementµ-p.p. ou en normek · kversf ? Comparer avec l’exercicedu TD.
´Ebauche de corrig´e :
. PrendreU = (Un)n≥ une base d´enombrable d’ouverts de X avecU :=X, puis choisirC comme
´etant compos´ee par les interseions finies d’´el´ements deU.
. Pour toutC∈ C, les suites (νn±(C))n≥sont born´ees, donc admettent une valeur d’adh´erence. Utiliser ensuite le proc´ed´e d’extraion diagonal et la d´enombrabilit´e deC.
. Appliquer l’exercice pr´ec´edent aux suites de mesures (νn±)n≥, puis le th´eor`eme de Radon-Nikodym
`a leur limite (juifier qu’on peut l’appliquer !)
. Sig∈L∞(X,A, µ), voir que pour tout >, il exie une fonion ´etag´eeg telle quekg−gk∞<
(utiliser par exemple les fonionsfnapparaissant dans la preuve de la Proposition..du poly)
. Consid´erer la suite d´efinie sur [,] parfn(x) = sin(nx).
E
xercice 8. Soit (gn) une suite de fonions continues positives sur I = [,]. On note λ la mesure de Lebesgue surI etµune mesure positive de Borel surI telle que(i) lim
n gn(x) =λ-p.p (ii) Z
I
gndλ=pour toutn≥ (iii) lim
n
Z
I
f gndλ= Z
I
f dµpour toutf ∈ C(I).
Peut-on en d´eduire queµe´etrang`ere `aλ?
Corrig´e :Non ! Consid´erer la foniongnqui interpole lin´eairement les points (,); (
n,n); ( n,); (
n;); ( n+
n,n); ( n+
n,), . . . ,(−
n,); (− n+
n,n); (− n+
n,); (,).
Alors cette suite de fonions v´erifient les hypoth`eses avecµ=λ.
Fin