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TD  – Bouillon math´ematique `a ma fac¸on – Corrig´e

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Texte intégral

(1)

Int´egration et probabilit´es

ENS Paris, 2012-2013

TD  – Bouillon math´ematique `a ma fac¸on – Corrig´e

0 – Exercice ayant ´et´e pr´epar´e

E

xercice 0. (Spoiler : convolution inside)SoitK un compact deRdetΩun ouvert deRdavecK⊂Ω. Montrer qu’il existef une fonctionC `a valeurs dans[,]telle que

f =surK, f =surΩc.

Corrig´e :PuisqueKest un compact,d(K,Ωc) =c >. Siφest une fonction positive,C `a support inclus dans [−c/, c/]det d’int´egrale, alors

f =K+[c/;c/]dφ convient. En effet, l’´ecriture

f(x) = Z

K+[c/;c/]d(x−u)φ(u)du= Z

[c/;c/]dK+[c/;c/]d(x−u)φ(u)du

montre ais´ement quef(x) =sixK etf(x) =six∈Ωc. D’apr`es l’exercice,f estC.

1 – Ap´eritif – Petites questions

0)Quels sont les th´eor`emes vus en cours avec une hypoth`eseσ-fini?

Corrig´e : Th´eor`emes de Radon-Nikodym, Th´eor`emes de Fubini et dualit´e L−L, utilisation du lemme des classes monotones pour prouver que deux mesures sont ´egales (application `a la preuve de l’unicit´e de la mesure de Lebesgue et de la mesure produit).

1)Pour quels espaces fonionnelsF, Gpeut-on d´efinir la convol´eefgavecfF, gG? Corrig´e :Pour (R,B(R), dx) :

- Lp∗Lq. R´egularit´e de la convol´ee : uniform´ement continue, et lorsquep, q,, tendant vers en

±∞.

- L∗Lp. R´egularit´e de la convol´ee : d´efinie presque partout, appartenant `aLp. - L

loc∗C(voir Exercice). R´egularit´e de la convol´ee :C.

Pour des queions, demande de pr´ecisions ou explications, n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail `a igor.kortchemski@ens.fr , ou bien `a venir me voir au bureau V.

(2)

2 – Entr´ee – Convolution

E

xercice 1. (ApproximationC)

. Soientf une fonion localement int´egrable surR(c’e-`a-dire int´egrable sur tout compadeR) etϕ une fonion de classeC `a support compa. Montrer que la fonionfϕ ed´efiniepour toutx∈Ret ede classeC.

. Soitφ:x7→exp

− 

−x

1|x|<, montrer que cette fonion eune fonionC `a support compa.

. En d´eduire que pour toutp∈[,∞[, l’ensemble des fonions de classeC sur Redense dans Lp(R).

Corrig´e :

. On noteK un compatel que supp(ϕ)⊂K. Soitx∈R. On a

|ϕ(xy)f(y)| ≤ kϕk|f(y)|1xK(y).

Or la foniony7→ |f(y)|1xK(y) eint´egrable. Doncϕf ed´efinie pourx. SoitM >. On note KM= [−M, M]K. On a pourx∈[−M, M],

ϕf(x) = Z

R

ϕ(xy)f(y)1xK(y)dy= Z

R

ϕ(xy)f(y)1KM(y)dy.

En appliquant le th´eor`eme de continuit´e sous le signe int´egrale, on montre queϕf econtinue sur [−M, M]. Ceci ´etant vrai pour toutM >la fonionϕf econtinue surR. Puis on montre de mˆeme que la fonionϕf ede classeCsurR.

. Il suffit de montrer quef :x7→exp

x

x>ede classeC. Pour cela, on applique le th´eor`eme de la limite de la d´eriv´ee en, en remarquant que

n≥, n

∂xnf(x)−→

x.

. Sif ∈Lp(R) alorsf elocalement int´egrable surR. De plus on peut conruire (ρn)n une ap- proximation de l’unit´e telle que chaqueρnede classeC. Ainsifρnede classeCetfρnf dansLp.

3 – Plat de viande – Dualit´e L

p

L

q

E

xercice 2. (S´equentielle compacit´e faible) Soitp∈],∞[ etqson exposant conjugu´e,Ω⊂Run ouvert de Retµla mesure de Lebesgue. Soit (fn) une suite born´ee deLp(Ω) (c-`a-dque la suite (kfnkp)n e born´ee).

. Montrer queLq(Ω) es´eparable (c’e`a dire qu’il contient une partie d´enombrable dense).

(3)

. SoitDune partie d´enombrable dense deLq(Ω). Montrer qu’il exie une sous-suite (fϕ(n)) telle que pour touthD,

nlim→∞

Z

fϕ(n)hdµexie dansR.

. Montrer que pour toutg∈Lq(Ω),

φ(g) = lim

n→∞

Z

fϕ(n)gdµexie dansR.

. En d´eduire qu’il exief ∈Lp(Ω) telle que l’on aitconvergence faibledansLp(Ω) de la suite (fϕ(n)) versf, c’e-`a-dire :

g∈Lq(Ω), lim

n→∞

Z

fϕ(n)gdµ= Z

f gdµ.

. Le r´esultat pr´ec´edent subsie-t-il pourp=? Corrig´e :

. On sait d´eja que les fonions en escalier sont denses dansLq, il suffit donc d’en trouver une sous famille d´enombrable qui soit dense dans les fonions en escalier. Par exemple, celles qui v´erifient :

”les intervalles ]xi, xi+[ sur lesquelles la fonion econantes sont `a bornes rationnelles, et les valeursαi de la fonion sur ces intervalles sont aussi rationnelles” conituent bien une famille d´enombrable.

. Il s’agit d’un simple proc´ed´e diagonal : on commence par num´eroter tous les fonions de D : h, h, . . .. Consid´erons h, par H¨older, la suite R

fnh

n eborn´ee par khkqsupnkfnkp, donc comme il s’agit d’une suite de r´eels, on peut trouver une extrarice ψ telle que R

fψ(n)h converge. Ensuite en consid´erant la suiteR

fψ(n)h

n on conruit une extrariceψ telle que Rfψψ(n)hconverge, et par r´ecurrence on conruit une suite d’extrarice (ψk)kqui v´erifie que pour toutk

Z

fψ◦···◦ψk(n)hk converge quandn→ ∞.

Si la famille (hk) ´etait finie, il suffirait de prendreψ◦ · · · ◦ψN et on aurait ce qu’il faut, mais avec une famille infinie il faut ruser. on d´efinit

ϕ(n) =ψ◦ · · · ◦ψn(n).

Je laisse au leeur le soin de v´erifier que pour toutn > k, il exieMntel queϕ(m) =ψ◦ · · · ◦ ψk(M) et d’en d´eduire queR

fϕ(n)hkconverge quandn→ ∞pour toutk.

. Le plus simple pour montrer que la suiteR

fϕ(n)gdµconverge ede montrer qu’elle ede Cauchy.

Soitε >, et soithune fonion deD qui v´erifiekghkq< ε. Soientn, m≥,

Z

fϕ(n)gdµ− Z

fϕ(m)gdµ

<

Z

fϕ(n)(g−h)dµ

+ Z

fϕ(m)(g−h)dµ

+ Z

fϕ(n)hdµ− Z

fϕ(m)hdµ .

Par H¨older les deux premiers termes sont inf´erieurs `a (supkfnkp)ε et comme la suite R

fϕ(n)hdµ converge (par la queion pr´ec´edente) elle ede Cauchy, donc il exientel que sin, m > n,

Z

fϕ(n)gdµ− Z

fϕ(m)gdµ

<(supkfnkp+)ε, ce qui montre que la suite ede Cauchy.

(4)

. `A la queion pr´ec´edente on a d´efinie une fonion deLqdansR: φ(g) = lim

n→∞

Z

fϕ(n)gdµ.

Ici on veut utiliser le th´eor`eme de dualit´e entreLpetLq: siµeσ-finie etp <∞alors il y a bijeion entreLq(µ) et les formes lin´eaires continues surLp(µ) et cette bijeion ef 7→ψf :g 7→R

f gdµ.

Donc pour r´epondre `a la queion il suffit de montrer que φeune forme lin´eaire continue. La lin´earit´e efacile `a montrer et la continuit´e d´ecoule de H¨older :φ(g)≤(supkfnkp)kgkq. Et voila !

. Non, le r´esultat n’eplus vrai pourp=: prenons la suite de fonion fn =1[n,n+] qui ebien born´ee dansL, et supposons qu’il exie une extrariceϕet une fonionf ∈Ltelle que pour toute foniong∈L, limR

fϕ(n)gdµ=R

f gdµ. Regardons des fonions particuli`eres : – la fonionsg=1Rmontre queR

Rf dµ= – la suite de foniongk=1[k,k+]montre queRk+

k f dµ=pour toutk

Ces deux r´esultats sont contradioires, ce qui conclut la preuve par l’absurde.

E

xercice 3. (Petit contre-exemple) Soient E ={a, b} etµ la mesure d´efinie sur P(E) par µ({a}) = et µ({b}) =µ(E) = +∞. Cara´eriserL(µ) et le dual topologique deL(µ). Conclure.

Corrig´e : On aL ={f :E →R}etL ={f :E→R|f(b) =}. Donc le dual topologique deL e (L)0 ={f ∈L7→αf(a) :α ∈R}. On voit ici que l’applicationg ∈L 7→Φg ∈(L)0 (o `uΦg :f ∈L7→

R

Ef g dµ) esurjeive mais pas injeive. La mesureµ n’epasσ-finie et le th´eor`eme de dualit´e (avec

p=etq= +∞) ne s’applique pas dans ce cas.

4 – Plat de poisson – Mesures sign´ees

E

xercice 4. (L’espaceM(R))

(i) Montrer que M(R) l’espace des des mesures bor´eliennes sign´ees sur R e un espace de Banach pour la norme

µ7→ kµk, o `ukµk=|µ|(R).

(ii) Soit (X,A, µ) un espace mesur´e fini. Montrer que pour toutf ∈L(X,A, µ) : kfk=kf ·µk,

o `u (f ·µ) ela mesure absolument continue par rapport `aµde densit´ef. Corrig´e :

(i) Soit (µn)nune suite de Cauchy pour la normek · k.

´Etape:pour tout bor´elienAdeRetn, p≥, on a|µn(A)−µp(A)| ≤ kµnµpk, ce qui implique que la suite (µn(A))nede Cauchy dansR, et converge donc vers une limite not´eeµ(A).

´Etape:montrons queµeune mesure. Prouvons tout d’abord que :

nlim→∞sup{|µ(A)µn(A)|;A∈ B(R)}=. ()

(5)

A cet e` ffet, soient >etn>tels quekµnµkk ≤pourn, kn. SoitA∈ B(R). On choisitk > n tel que|µ(A)µk(A)|< . Alors pourn > n:

|µ(A)µn(A)| ≤ |µ(A)µk(A)|+|µk(A)−µn(A)| ≤+kµnµkk ≤, ce qui prouve ().

Ensuite, les mesuresµn sont en particulier finiment additives, ce qui implique ais´ement que µ efiniment additive. Montrons maintenant queµeσ-finie. Soient (Ai)ides bor´eliens disjoints et >. D’apr`es (), il exien>tel que pournn:

sup{|µ(A)µn(A)|;A∈ B(R)} ≤. On choisit ensuitek>tel que pour toutkk:

µn





 [

ik+

Ai







.

En particulier, ceci implique que pourkk: µ





 [

ik+

Ai







≤.

Par additivit´e (finie) deµ, on obtient finalement pour toutkk:

µ





 [

i

Ai







− Xk

i=

µ(Ai)

=µ





 [

ik+

Ai







≤.

Ceci ´etant vrai pour tout >, laσ-additivit´e deµen d´ecoule, ce qui prouve queµeune mesure.

´Etape:on v´erifie que|µnµ| →. Ceci d´ecoule imm´ediatement de () et de l’in´egalit´e kνk=ν(X+) +|ν(X)| ≤sup{|ν(A)|;A∈ B(R)}

v´erifi´ee pour une mesure sign´eeνsurR(o `u on a not´eX±les supports deν±).

(ii) Il suffit de remarquer que l’´ecrituref ·µ=f+·µf·µela d´ecomposition de Hahn def ·µ, ce qui implique :

kf ·µk= Z

f++ Z

f=kfk.

 – Fromage – Pour pr´eparer le partiel `a venir

Chercher des exercices des partiels des ann´ees pr´ec´edents (les ´enonc´es sur disponibles sur le site d’en- seignement du DMA –http://www.math.ens.fr/enseignement– partieArchives p´edagogiques, puis Annales d’examens).

(6)

 – Dessert – Compl´ements (hors TD)

E

xercice 5. (Fonions `a variation finie) Soit une fonionf : [a, b]→R.

. Montrer que les conditions suivantes sont ´equivalentes :

(i) f s’´ecrit comme une diff´erence de deux fonions croissantes continues `a droite.

(ii) Il exie une mesure sign´eeµsur [a, b] telle quef(x) =µ([a, x]) pour toutx∈[a, b].

(iii) f econtinue `a droite et `a variation born´ee c’e-`a-dire quef v´erifie la condition suivante sup

n,aa<...<anb n

X

i=

|f(ai+)−f(ai)|<.

. Donner un exemple de fonion continue [,]7−→Rqui ne soit pas `a variation finie.

Corrig´e :

(i)⇒(ii) : On suppose quef =gh+f(a) avecgethcroissantes, continues `a droite etg(a) =h(a) =.

Soitνg (resp.νh) la mesure de Stieljes associ´ee `ag(resp.h). Posons µ=νgνh+f(a)δa.

Alorsµeune mesure sign´ee sur [a, b] telle quef(x) =µ([a, x]) pour toutx∈[a, b].

(ii)⇒(iii) : Il e ´evident quef econtinue `a droite. Soientn≥eta, . . . , anv´erifiantaa< . . . <

anb. Alors

n

X

i=

|f(ai)−f(ai)|=

n

X

i=

|µ(]ai, ai])| ≤

n

X

i=

|µ|(]ai, ai])≤ |µ|([a, b]).

Doncf e`a variation born´ee.

(iii)⇒(i) : Pour toutx∈[a, b], posons

V(x) = sup

n,aa<...<anx n

X

i=

|f(ai+)−f(ai)|.

AlorsV ecroissante. On peut donc d´efinir pour toutx∈[a, b], g(x) = lim

yxV(y).

Ainsi,gecroissante et continue `a droite. Posonsh=gf. Alorshecontinue `a droite. Montrons quehecroissante. Soientax < ybetε >. Pour tousn≥etaa< . . . < anx, on a

V(y+ε)f(y+ε) ≥ |f(y+ε)f(x)|+

n

X

i=

|f(ai+)−f(ai)|+|f(x)−f(an)| −f(y+ε)

n

X

i=

|f(ai+)−f(ai)|+|f(x)−f(an)| −f(x)

V(x)−f(x).

Donc,h(y+ε)h(x) puis en faisant tendreεverson obtienth(y)h(x).

.La fonionf :x∈],]7→xcos(/x), prolong´ee par continuit´e enn’epas `a variation born´ee : consid´erer la subdivision

<

< ... <

π <

π <π <.

(7)

E

xercice 6. (Th´eor`eme de Vitali-Saks)Soit (X,A, µ) un espace mesur´e. Une famille (νi)iI de mesures surAediteabsolument ´equicontinuepar rapport `a la mesureµsi :





>,∃A∈ A, µ(A)<+∞et∀iI, νi(Ac)< ,

>,∃δ >,∀A∈ A, µ(A)< δ=⇒ ∀iI, νi(A)<

On suppose que A=σ(C), o `u C eune classeable par interseion finie contenantX. Le but ede prouver le r´esultat suivant

Th´eor`eme de Vitali-Saks. Soit (νn)n une suite de mesures finies sur A, absolument ´equicontinue par rapport `a µet telle que pour toutC ∈ C, limnνn(C) exie dans R+. Alors pour toutA∈ A,ν(A) = limnνn(A) exie dansR+etνd´efinit une mesure absolument continue par rapport `aµ.

. SoitB={A∈ A;ν(A) = limnνn(A) exie dansR+}. Montrer queBe able par diff´erence propre (c-`a-d siA, B∈ BavecAB, alorsB\A∈ B).

. Soient (Bk)kune suite d’´el´ements deux `a deux disjoints deBetBleur r´eunion. Montrer que

nlim→∞νn(B) =X

k

nlim→∞νn(Bk).

. En d´eduire queB=A.

. Montrer que l’applicationνeune mesure surA, absolument continue par rapport `a la mesureµ.

Remarque :Contrairement `a l’´enonc´e diribu´e en TD, il fallait lireR+et non pasR+. En effet, si on remplaceR+parR+, l’´enonc´e devient faux. Voici un contre-exemple :X={x, y}(avecx,y),A=P(X), µ d´efinie parµ(∅) = , µ({x}) = , µ({y}) = , µ({x, y}). On prend ensuite C = {{x},{x, y}} et (νn)nd´efinies parνn(∅) =, νn({x}) =n−sin(n), νn({y}) = sin(n), νn({x, y}) =n.

´Ebauche de corrig´e :

. Pas de difficult´e.

. D’abord voir queX

k

nlim→∞νn(Bk)≤lim inf

n→∞ νn(B) en utilisant le lemme de Fatou (pour la mesure de comptage). Pour prouver que lim sup

n→∞

νn(B)≤X

k

nlim→∞νn(Bk), ´ecrire pour tout >etn, k≥:

νn(B)≤ Xk

j=

νn(Bj) +νn







A∩\

j>k

Bj







+νn(AcB),

et utiliser le fait queµ

A∩T

j>kBj

→lorsquek→ ∞.

. On voit queBeune classe monotone (on utilise ici l’hypoth`eseX∈ C), ce qui fournit le r´esultat d´esir´e en utilisant le lemme de la classe monotone.

. Pas de difficult´e en utilisant l’´equicontinuit´e.

Dans l’exercice suivant, on note (f ·µ) la mesure absolument continue par rapport `aµde densit´ef.

E

xercice 7. (Exercice dans L : cas particulier du th´eor`eme de Dunford-Pettis) Soit (X,A, µ) un espace mesur´e fini. On suppose queA=σ(C), o `uC eune classe d´enombrableable par interseion finie contenantX.

(8)

. Montrer que c’ele cas lorsqueXeun espace m´etrique s´eparable muni de sa tribu bor´elienne.

Soit (fn)nune suite born´ee deL(X,A, µ) (c`ad la suite (kfnk)n eborn´ee) telle que la suite de mesures (|fn| ·µ)neabsolument ´equicontinue par rapport `aµ.

. Montrer qu’il exie une sous-suite (fφ(n))n telle que les deux suites de mesures d´efinies par ν±:=fn±·µv´erifient : pour toutC∈ C, limnνφ(n)± (C) exient dansR.

. Montrer qu’il exief ∈L(X,A, µ) v´erifiant pour toutA∈ A: lim

n→∞

Z

A

fφ(n)= Z

A

f dµ.

. En d´eduire laconvergence faibledefφ(n)versf :∀g∈L(X,A, µ), lim

n→∞

Z

X

fφ(n)gdµ= Z

X

f gdµ.

. Une suite (fn)nqui converge faiblement au sens de d) (mais pour la suite elle-mˆeme) converge-t- elle n´ecessairementµ-p.p. ou en normek · kversf ? Comparer avec l’exercicedu TD.

´Ebauche de corrig´e :

. PrendreU = (Un)n une base d´enombrable d’ouverts de X avecU :=X, puis choisirC comme

´etant compos´ee par les interseions finies d’´el´ements deU.

. Pour toutC∈ C, les suites (νn±(C))nsont born´ees, donc admettent une valeur d’adh´erence. Utiliser ensuite le proc´ed´e d’extraion diagonal et la d´enombrabilit´e deC.

. Appliquer l’exercice pr´ec´edent aux suites de mesures (νn±)n, puis le th´eor`eme de Radon-Nikodym

`a leur limite (juifier qu’on peut l’appliquer !)

. Sig∈L(X,A, µ), voir que pour tout >, il exie une fonion ´etag´eeg telle quekggk<

(utiliser par exemple les fonionsfnapparaissant dans la preuve de la Proposition..du poly)

. Consid´erer la suite d´efinie sur [,] parfn(x) = sin(nx).

E

xercice 8. Soit (gn) une suite de fonions continues positives sur I = [,]. On note λ la mesure de Lebesgue surI etµune mesure positive de Borel surI telle que

(i) lim

n gn(x) =λ-p.p (ii) Z

I

gn=pour toutn≥ (iii) lim

n

Z

I

f gn= Z

I

f dµpour toutf ∈ C(I).

Peut-on en d´eduire queµe´etrang`ere `aλ?

Corrig´e :Non ! Consid´erer la foniongnqui interpole lin´eairement les points (,); ( 

n,n); (  n,); (

n;); ( n+ 

n,n); ( n+ 

n,), . . . ,(−

n,); (− n+ 

n,n); (− n+ 

n,); (,).

Alors cette suite de fonions v´erifient les hypoth`eses avecµ=λ.

Fin

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