Corrig´ e de l’´ Epreuve de Math´ ematiques

Epreuve de Math´ ´ ematiques

La clart´e des raisonnements et la qualit´e de la r´edaction interviendront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.

L’usage d’un instrument de calcul et du formulaire officiel de math´ematiques est autoris´e.

Exercice 1

(10 points)

Soit la fonction num´erique f de la variable r´eelle t d´efinie par :

t 7−→f(t) avec







f est impaire

f est p´eriodique de p´eriode 2π f(t) = 1−cos(2t) si 06t6π

1) Etudier les variations de´ f sur l’intervalle [ 0 ; π]

Tracer la courbe repr´esentative de f sur l’intervalle [−2π; 2π] . 2) Calculer la valeur efficacef_e de la fonction f.

3) On admet quef satisfait aux conditions de Dirichlet et que : t 7−→ S(t) = a₀ +

∞

X

n=1

a_ncos(nωt) +b_nsin(nωt) est le d´eveloppement de Fourier associ´e `a f.

a) Justifier que a_n= 0 pour tout n entier.

b) Calculer ω et b2.

c) Calculer b_n pour n>1 et n6= 2.

d) Pr´eciser quelle est la valeur de b_n pour n pair et pour n impair.

e) Donner l’expression de S(t) en pr´ecisant les valeurs des 4 premiers termes non nuls du d´eveloppement.

f ) Justifier que S(t) =f(t) pour tout t∈R.

Exercice 2

(10 points) 1) On veut r´esoudre dans l’intervalle [ 0 ; +∞[ le syst`eme diff´erentiel (1) o`u f et g sont deux fonctions d´erivables sur l’intervalle [ 0 ; +∞[







f⁰(t) +f(t) +g(t) = 0 g⁰(t) +g(t)−f(t) = 0

avec

f(0) = 1

g(0) = 0 (1)

On admet que les fonctions f , g , f⁰ et g⁰ ont des transform´ees de Laplace.

On note F et Gles transform´ees de Laplace de f et de g.

a) Montrer que F(p) = p+ 1

(p+ 1)²+ 1 et que G(p) = 1 (p+ 1)²+ 1 b) En d´eduire les fonctions f etg.

2) On consid`ere la fonctions qui `a tout r´eel t ∈ [0 ; π] associe le nombre complexe z(t) d´efini par z(t) =x(t) +i y(t) o`u x(t) = cos(t)e^−t et y(t) = sin(t)e^−t

a) Calculer x⁰(t) et y⁰(t) V´erifier que







x⁰(t) = −√

2 cos t− ^π₄ e^−t

y⁰(t) = √

2 cos t+ ^π₄ e^−t

b) Etudier le signe de´ x⁰(t) et y⁰(t) sur l’intervalle h

0 ; π 2 i

c) R´esumer dans un seul tableau les variations des fonctions xet y pourt ∈h 0 ; π

2 i

d) Le plan est rapport´e `a un rep`ere orthonormal (O; −→u , −→v ) d’unit´es graphiques 10 cm.

Soit (C₁) l’ensemble des points d’affixe z(t) o`u t∈h 0 ; π

2 i

Calculer les coefficients directeurs des tangentes `a (C₁) aux points A , B , C d’affixes respectivesz(0) , z(^π₄) , z(^π₂) .

Tracer les tangentes puis tracer (C₁) .

3) On va tracer l’ensemble (C₂) des pointsM(t+ ^π₂) d’affixe z(t+ ^π₂) o`u t∈h 0 ; π

2 i

a) Montrer que z(t+ ^π₂) = i e^−π2 z(t)

b) En d´eduire queM(t+^π₂) est l’image deM(t) par une similitude de centreO dont on pr´ecisera le rapport et l’angle.

c) Placer les points D et E de (C₂) d’affixes respectives z(^3π₄ ) et z(π) , puis esquisser l’allure de la courbe (C₂) .

Corrig´ e de l’´ Epreuve de Math´ ematiques

Exercice 1

(10 points)

Soit la fonction num´erique f de la variable r´eelle t d´efinie par :

t 7−→f(t) avec







f est impaire

f est p´eriodique de p´eriode 2π f(t) = 1−cos(2t) si 06t6π 1) Etudier les variations de´ f sur l’intervalle [ 0 ; π]

Tracer la courbe repr´esentative de f sur l’intervalle [−2π; 2π] .

t f(t)

O

−2π −π ~i π 2π

−2

−1

~j1 2

2) Calculer la valeur efficacef_e de la fonction f.

f_e² = 1 2π

Z π

−π

f²(t)dt = 1 2π2

Z π 0

1−cos(2t) 2

dt

= 1 π

Z π 0

cos(4t)

2 + 2 cos(2t) + 3 2

dt

= 1 π

sin(4t)

8 + sin(2t) + 3t 2

π 0

= 1 π

3π 2

− 0

f_e= r3

2 3) On admet quef satisfait aux conditions de Dirichlet et que :

t 7−→ S(t) = a₀ +

∞

X

n=1

a_ncos(nωt) +b_nsin(nωt) est le d´eveloppement de Fourier associ´e `a f.

a) Justifier que a_n= 0 pour tout n entier.

La fonction f est impaire, donc : a_n = 0 pour tout n

b) Calculer ω et b₂. ω = 1 b₂ = 2

2π Z π

−π

f(t) sin(2t)dt = 1 π2

Z π 0

1−cos(2t)

sin(2t)dt

= 2 π

Z π 0

sin(2t) + sin(4t) 4

dt

= 2 π

−cos(2t)

2 − cos(4t) 8

π 0

= 2 π

−1 2 − 1

8

−

−1 2 −1

8

b₂ = 0

c) Calculer b_n pour n>1 et n6= 2.

b_n = 2 2π

Z π

−π

f(t) sin(nt)dt = 1 π2

Z π 0

1−cos(2t)

sin(nt)dt

= 2 π

Z π 0

sin(nt)− sin((n+ 2)t)

2 −sin((n−2)t) 2

dt

= 2 π

−cos(nt)

n + cos((n+ 2)t)

2(n+ 2) +cos((n−2)t) 2(n−2)

π 0

= 2 π

−(−1)ⁿ

n + (−1)ⁿ

2(n+ 2) + (−1)ⁿ 2(n−2)

−

−1

n + 1

2(n+ 2) + 1 2(n−2)

= 2 π

4

n(n+ 2)(n−2)

(−1)ⁿ−1

b_n = 8

(−1)ⁿ−1 π n(n²−4)

d) Pr´eciser quelle est la valeur de b_n pour n pair et pour n impair.

b2k= 0 b2k+1 = −16

π(2k+ 1) (2k+ 1)²−4

e) Donner l’expression de S(t) en pr´ecisant les valeurs des 4 premiers termes non nuls du d´eveloppement.

S(t) = 16 π

1

3sin(t)− 1

15sin(3t)− 1

105sin(5t)− 1

315sin(7t) − . . .

f ) Justifier que S(t) =f(t) pour tout t∈R.

Comme f est une fonction continue pour tout t, on a : S(t) =f(t)

Exercice 2

(10 points) 1) On veut r´esoudre dans l’intervalle [ 0 ; +∞[ le syst`eme diff´erentiel (1) o`u f et g sont deux fonctions d´erivables sur l’intervalle [ 0 ; +∞[







f⁰(t) +f(t) +g(t) = 0 g⁰(t) +g(t)−f(t) = 0

avec

f(0) = 1

g(0) = 0 (1)

On admet que les fonctions f , g , f⁰ et g⁰ ont des transform´ees de Laplace.

On note F et Gles transform´ees de Laplace de f et de g.

a) Montrer que F(p) = p+ 1

(p+ 1)²+ 1 et que G(p) = 1 (p+ 1)²+ 1







pF(p)−1 +F(p) +G(p) = 0 pG(p)−0 +G(p)−F(p) = 0







(p+ 1)F(p) +G(p) = 1

−F(p) + (p+ 1)G(p) = 0 R´esolution `a l’aide des d´eterminants :

D=

p+ 1 1

−1 p+ 1

= (p+ 1)²+ 1 ; D_F =

1 1

0 p+ 1

+p+ 1 ; D_G =

p+ 1 1

−1 0

= 1

Donc : F(p) = D_F

D = p+ 1

(p+ 1)²+ 1 et G(p) = D_G

D = 1

(p+ 1)²+ 1 b) En d´eduire les fonctions f etg.

Les originaux sont : f(t) = cos(t)e^−t U(t) et g(t) = sin(t)e^−t U(t)

2) On consid`ere la fonctions qui `a tout r´eel t ∈ [0 ; π] associe le nombre complexe z(t) d´efini par z(t) =x(t) +i y(t) o`u x(t) = cos(t)e^−t et y(t) = sin(t)e^−t

a) Calculer x⁰(t) et y⁰(t) V´erifier que







x⁰(t) = −√

2 cos t− ^π₄ e^−t

y⁰(t) = √

2 cos t+ ^π₄ e^−t







x⁰(t) = −sin(t)e^−t−cos(t)e^−t = −√

2 sin t+^π₄

e^−t = −√

2 cos t−^π₄ e^−t

y⁰(t) = cos(t)e^−t−sin(t)e^−t = −√

2 sin t−^π₄

e^−t = √

2 cos t+^π₄ e^−t

b) Etudier le signe de´ x⁰(t) et y⁰(t) sur l’intervalle 0 ; π 2 Si t ∈h

0 ; π 2 i

alors t− π 4 ∈h

−π 4 ; π

4 i

on a cos t− ^π₄

>0 donc : x⁰(t)<0

Si t ∈h 0 ; π

2 i

alors t+ π 4 ∈

π 4 ; 3π

4

et donc :







y⁰(t)>0 si t < π 4 y⁰(t)<0 si π

4 < t c) R´esumer dans un seul tableau les variations des fonctions xet y pourt ∈h

0 ; π 2 i

t 0 π

4

π 2

x(t) 1 ←

√2

2 e^−π4 ← 0

x⁰(t) −1 − − −e^−π2

y⁰(t) 1 + 0 − −e^−π2

y(t) 0 ↑

√2

2 e^−π4 ↓ e^−π2 y⁰(t)

x⁰(t) −1 ↔ 1

d) Le plan est rapport´e `a un rep`ere orthonormal (O; −→u , −→v ) d’unit´es graphiques 10 cm.

Soit (C₁) l’ensemble des points d’affixe z(t) o`u t∈h 0 ; π

2 i

Calculer les coefficients directeurs des tangentes `a (C1) aux points A , B , C d’affixes respectivesz(0) , z(^π₄) , z(^π₂) .

En A d’affixe z(0) =−1 +i : y⁰(0) x⁰(0) =−1

EnB d’affixe z(^π₄) =

√2

2 e^−π4(1 +i) : y⁰(^π₄) x⁰(^π₄) = 0

En C d’affixe z(^π₂) = i e^−π2 : y⁰(^π₂) x⁰(^π₂) = 1 Tracer les tangentes puis tracer (C₁). Voir la courbe `a la fin.

3) On va tracer l’ensemble (C₂) des pointsM(t+ ^π₂) d’affixe z(t+ ^π₂) o`u t∈h 0 ; π

2 i

a) Montrer que z(t+ ^π₂) = i e^−π2 z(t) z(t) = cos(t)e^−t+i sin(t)e^−t=

cos(t) +i sin(t)

e^−t=e^ite^−t =e^(−1+i)t z(t+^π₂) = e^{(−1+i)(t+π2)} =e^(−1+i)te^(−1+i)π2 =e^(−1+i)te^−π2 e^iπ2 =i e^−π2 z(t)

b) En d´eduire queM(t+^π₂) est l’image deM(t) par une similitude de centreO dont on pr´ecisera le rapport et l’angle.

La transformation : z7−→=i e^−π2 z est une similitude : de centreO

d’angle arg(i e^−π2) = ^π₂

de rapport |i e^−π2|=e^−π2 '0,208

c) Placer les points D et E de (C₂) d’affixes respectives z(^3π₄ ) et z(π) , puis esquisser l’allure de la courbe (C₂) .

A B C D E

t 0 π

4

π 2

3π

4 π

x(t) 1 0,322 0 −0,067 −0,043 y(t) 0 0,322 0,208 0,067 0

R iR

O 1

i

A B

C

D• E•