Epreuve de Math´ ´ ematiques

Epreuve de Math´ ´ ematiques

La clart´e des raisonnements et la qualit´e de la r´edaction interviendront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.

L’usage d’un instrument de calcul et du formulaire officiel de math´ematiques est autoris´e.

Exercice 1

On se propose de r´esoudre le syst`eme diff´erentiel (S) suivant, puis d’en d´eterminer une solution particuli`ere.

(S)

x⁰(t) + 2y(t) = −2 sin(t) (E₁) 2x(t) − y⁰(t) = −2 cos(t) (E₂)

Les fonctions x et y sont des fonctions de la variable r´eelle t, deux fois d´erivables sur R.

Partie A

1) Montrer en utilisant les ´equations (E₁) et (E₂) que la fonction x v´erifie, pour toutt ∈R, l’´equation diff´erentielle :

x⁰⁰(t) + 4x(t) = −6 cos(t) (E)

2) R´esoudre surR l’´equation diff´erentielle (E). En d´eduire les solution du syst`eme (S).

3) D´eterminer la solution particuli`ere du syst`eme (S) v´erifiant les conditions initiales x(0) = −1 et y(0) = 0

Partie B

On consid`ere la courbe (Γ) d´efinie par la repr´esentation param`etrique : x = f(t) = cos(2t)−2 cos(t)

y = g(t) = sin(2t)−2 sin(t) o`ut est un r´eel appartenant `a l’intervalle [−π,+π]

1) Montrer que la courbe (Γ) admet un axe de sym`etrie en calculant f(−t) et g(−t).

2) a)Calculer f⁰(t). Montrer que : f⁰(t) = −4 sin t

2

cos 3t

2

b) Etablir le signe de´ f⁰(t) sur l’intervalle [0, π].

3) On admet que g⁰(t) = −4 sin t

2

sin 3t

2

et que le signe de g⁰ est donn´e par le tableau suivant :

t 0 ^2π₃ π

g⁰(t) 0 − 0 +

Dresser sur l’intervalle [0, π] le tableau des variations conjointes des fonctions f etg.

4) D´eterminer le vecteur directeur de la tangente `a la courbe (Γ) aux points B, C et D de param`etres respectifs t_B = π

3, t_C = 2π

3 et t_D =π.

5) Le plan P est rapport´e `a un rep`ere orthonormal

O; −→ i , −→

j

d’unit´es graphique 2 cm.

On admet que la tangente `a la courbe (Γ) au point A de param`etre t_A = 0 a pour vecteur directeur −→

i . Tracer les tangentes aux pointsA, B, C etD puis la courbe (Γ).

Exercice 2

La fonction ´echelon unit´e est d´efinie sur R par U :

(U(t) = 0 sit <0 U(t) = 1 sit>0 On consid`ere le syst`eme «entr´ee - sortie »repr´esent´e ci-dessous :

−→e(t) −→^s(t)

On notesle signal de sortie associ´e au signal d’entr´eeeLes fonctionssetesont des fonctions causales, c’est `a dire qu’elles sont nulles pour t <0.

On admet que les fonctions s et e admettent des transform´ees de Laplace, not´ees respecti- vement S et E.

La fonction de transfert H du syst`eme est d´efinie par : S(p) =H(p)×E(p) On consid`ere le signal d’entr´ee e d´efini par :

e(t) = tU(t)−2U(t−1)−(t−2)U(t−2) et la fonction H d´efinie sur ]0,+∞[ par : H(p) = 1

p+ 1.

1) Tracer la courbe repr´esentative de la fonction e dans un rep`ere orthonornal.

2) Pourp > 0, d´eterminer E(p).

3) D´eterminer les nombres r´eels A,B,C tels que, pour tout p > 0 , on ait : 1

p²(p+ 1) = A p² + B

p + C

(p+ 1)

On admet que : 2

p(p+ 1) = 2

p − 2

(p+ 1)

4)

a) D´eterminer S(p) puiss(t).

b) En d´eduire que la fonction s est d´efinie par :























s(t) = 0 si t <0

s(t) = t−1 +e^−t si 06t <1 s(t) = t−3 + (1 + 2e)e^−t si 16t <2 s(t) = (1 + 2e−e²)e^−t si t >2

5) On rappelle les notations : f(a⁺) = lim

t→a t>a

f(t) ; f(a⁻) = lim

t→a t<a

f(t)

a) Calculer s(1⁻), s(1⁺), s(2⁻), s(2⁺).

Que peut-on conclure pour la fonction s lorsque t= 1 et t = 2 ?

b) Calculer s⁰(t) sur chacun des intervalles ]0,1[, ]1,2[ et ]2,+∞[.

On admet que s⁰ est strictement positive sur ]0,1[∪]2,+∞[.

D´eterminer le signe de s⁰(t) sur l’intervalle ]1,2[

c) Calculer la valeur exacte de s(ln(1 + 2e)).

D´eterminer lim

t→+∞s(t) et dresser le tableau de variation de la fonction s sur l’intervalle ]0,+∞[.

Calculer s⁰(1⁻), s⁰(1⁺), s⁰(2⁻), s⁰(2⁺).

On admet que ces nombres sont respectivement les coefficients directeurs des demi-tangentes

`

a gauche et `a droite au point d’abscisse 1 et au point d’abscisse 2 de la courbe (Γ) repr´esentative de la fonctions.

6) On se place dans le plan rapport´e `a un rep`ere orthogonal O; −→

i , −→ j

d’unit´es graphiques 5 cm sur l’axe des abscisses et 50 cm sur l’axe des ordonn´ees.

a) Recopier et compl´eter le tableau suivant dans lequel les valeurs num´eriques seront donn´ees `a 10<sup>−3</sup> pr`es.

t 1 1,2 1,4 1,6 2 2,5 3 3,5

s(t)

b) Tracer les tangentes ou demi-tangentes `a la courbe (Γ) repr´esentative de la fonction s aux points d’abscisses 0, 1 et 2.

Tracer alors la courbe (Γ).

Epreuve de Math´ ´ ematiques (Solution)

Exercice 1

On se propose de r´esoudre le syst`eme diff´erentiel (S) suivant, puis d’en d´eterminer une solution particuli`ere.

(S)

x⁰(t) + 2y(t) = −2 sin(t) (E₁) 2x(t) − y⁰(t) = −2 cos(t) (E₂)

Les fonctions x et y sont des fonctions de la variable r´eelle t, deux fois d´erivables sur R.

Partie A

1) Montrer en utilisant les ´equations (E1) et (E2) que la fonction x v´erifie, pour toutt ∈R, l’´equation diff´erentielle :

x⁰⁰(t) + 4x(t) = −6 cos(t) (E)

On d´erive (E₁) x⁰⁰(t) + 2y⁰(t) = −2 sin(t) On exprime y⁰(t) dans (E₂) y⁰(t) = 2x(t) + 2 cos(t)

Substitutio de y⁰(t) x⁰⁰(t) + 2

2x(t) + 2 cos(t)

=−2 sin(t) x⁰⁰(t) + 4x(t) = −6 cos(t) (E)

2) R´esoudre surR l’´equation diff´erentielle (E). En d´eduire les solution du syst`eme (S).

a) x⁰⁰(t) + 4x(t) = 0 r² + 4 = 0 r =±2i α= 0 et /quad β = 2 x(t) =λcos(2t) +µsin(2t)

b) Recherche d’une solution particuli`ere de (E) x(t) =kcos(t)

x⁰(x) =−ksin(t) x⁰⁰(t) =−kcos(t)

4kcos(t)−kcos(t) = −6 cos(t) 3k =−6

k =−2 x(t) =−2 cos(t)

c)

x(t) = λcos(2t) +µsin(2t)−2 cos(t) On exprime y(t) `a partir de (E₁) y(t) = −1

2x⁰(t)−sin(t) y(t) =λsin(2t)−µcos(2t)−2 sin(t)

3) D´eterminer la solution particuli`ere du syst`eme (S) v´erifiant les conditions initiales x(0) = −1 et y(0) = 0

x(t) = λcos(2t) +µsin(2t)−2 cos(t) y(t) = λsin(2t)−µcos(2t)−2 sin(t)

λ−2 = −1

−µ = 0

λ = 1

µ = 0

x(t) = cos(2t)−2 cos(t) y(t) = sin(2t)−2 sin(t)

Partie B

On consid`ere la courbe (Γ) d´efinie par la repr´esentation param`etrique : x = f(t) = cos(2t)−2 cos(t)

y = g(t) = sin(2t)−2 sin(t) o`ut est un r´eel appartenant `a l’intervalle [−π,+π]

1) Montrer que la courbe (Γ) admet un axe de sym`etrie en calculant f(−t) et g(−t).

f(t) = cos(−2t)−2 cos(−t) = cos(2t)−2 cos(t) = f(t) g(t) = sin(−2t)−2 sin(−t) = − sin(2t)−2 sin(t)

= −g(t) La courbe (Γ) admet l’axe Ox pour axe de sym`etrie.

2) a)Calculer f⁰(t). Montrer que : f⁰(t) = −4 sin t

2

cos 3t

2

f⁰(t) =−2 sin(2t) + 2 sin(t)

=−2 sin(2t)−sin(t)

=−2 2 sin(t

2) sin(3t 2) f⁰(t) = −4 sin

t 2

cos

3t 2

b) Etablir le signe de´ f⁰(t) sur l’intervalle [0, π].

t 0 ^π₃ π

t

2 0 ^π₂

sin(₂^t) 0 + + 1

3t

2 0 ^π₂ ^3π₂

cos(^3t₂) 0 + 0 − 1

f⁰(t) 0 − 0 + 0

3) On admet que g⁰(t) = −4 sin t

2

sin 3t

2

et que le signe de g⁰ est donn´e par le tableau

suivant : t 0 ^2π₃ π

g⁰(t) 0 − 0 +

Dresser sur l’intervalle [0, π] le tableau des variations conjointes des fonctions f etg.

t 0 ^π₃ ^2π₃ π

x(t) −1 ← −3

2 → 1

2 → 3

x⁰(t) 0 − 0 + + 0

y⁰(t) 0 − − 0 +

y(t) 0 ↓ −

√3

2 ↓ −3√

3

2 ↑ 0

4) D´eterminer le vecteur directeur de la tangente `a la courbe (Γ) aux points B, C et D de param`etres respectifs t_B = π

3, t_C = 2π

3 et t_D =π.

t_B = π 3

−→V_tB = 0

−2

t_C = 2π 3

−→V_tC = 2√

3 0

t_D =π −→

V_tD = 0

4

5) Le plan P est rapport´e `a un rep`ere orthonormal O; −→

i , −→ j

d’unit´es graphique 2 cm.

On admet que la tangente `a la courbe (Γ) au point A de param`etre t_A = 0 a pour vecteur directeur −→

i . Tracer les tangentes aux pointsA, B, C etD puis la courbe (Γ).

x y

O ~i

~j

A

B

C

D

Exercice 2

(U(t) = 0 sit <0 U(t) = 1 sit>0 On consid`ere le syst`eme «entr´ee - sortie »repr´esent´e ci-dessous :

−→e(t) −→^s(t)

On notesle signal de sortie associ´e au signal d’entr´eeeLes fonctionssetesont des fonctions causales, c’est `a dire qu’elles sont nulles pour t <0.

On admet que les fonctions s et e admettent des transform´ees de Laplace, not´ees respecti- vement S et E.

La fonction de transfert H du syst`eme est d´efinie par : S(p) =H(p)×E(p) On consid`ere le signal d’entr´ee e d´efini par :

e(t) = tU(t)−2U(t−1)−(t−2)U(t−2) et la fonction H d´efinie sur ]0,+∞[ par : H(p) = 1

p+ 1.

1) Tracer la courbe repr´esentative de la fonction e dans un rep`ere orthonornal.

t e(t)

−2 −1 O ~i 2 3 4 5 6

−1

~j

2) Pourp > 0, d´eterminer E(p).

E(p) = 1 p² − 2

pe^−p− 1 p²e^−2p

3) D´eterminer les nombres r´eels A,B,C tels que, pour tout p > 0 , on ait : 1

p²(p+ 1) = A p² +B

p + C

(p+ 1)

= A(p+ 1) +Bp(p+ 1) +Cp² p²(p+ 1)

= (B+C)p²+ (A+B)p+A p²(p+ 1)







B +C = 0 A+B = 0 A= 1







A= 1 B =−1 C = 1

1

p²(p+ 1) = 1 p² − 1

p + 1

(p+ 1)

On admet que : 2

p(p+ 1) = 2

p− 2

(p+ 1)

4) S(p) = H(p)×E(p)

a) D´eterminer S(p) puiss(t). S(p) = 1 (p+ 1) ×

1 p² −2

pe^−p− 1 p²e^−2p

S(p) = 1

p²(p+ 1) − 2

p(p+ 1)e^−p − 1

p²(p+ 1)e^−2p Soit : S(p) = 1

p² − 1

p+ 1

(p+ 1) − 2

p − 2

(p+ 1)

e^−p − 1

p² − 1

p+ 1

(p+ 1)

e^−2p Donc : s(t) =

t−1 +e^−t

U(t)−

2−2e^−(t−1)

U(t) +

(t−2)−1 +e^−(t−2)

U(t−2) s(t) =

t−1 +e^−t

U(t)−

2−2e e^−t

U(t) +

t−3 +e²e^−t

U(t−2) b) En d´eduire que la fonction s est d´efinie par :











s(t) = 0 si t <0

s(t) = t−1 +e^−t si 06t <1 s(t) = t−3 + (1 + 2e)e^−t si 16t <2 s(t) = (1 + 2e−e²)e^−t si t >2

5) On rappelle les notations : f(a⁺) = lim

t→a t>a

f(t) ; f(a⁻) = lim

t→a t<a

f(t)

a) Calculer s(1⁻), s(1⁺), s(2⁻), s(2⁺).

Que peut-on conclure pour la fonction s lorsque t= 1 et t = 2 ?

On v´erifie que : s(1⁻) = 1−1 +e⁻¹ =e⁻¹ s(1⁺) = 1−3 + (1 + 2e)e⁻¹ =e⁻¹ Et que : s(2⁻) = 2−3 + (1 + 2e)e⁻² = (1 + 2e−e²)e⁻² s(2⁺) = (1 + 2e−e²)e⁻²

La fonctions est continue aux points t = 1 et t= 2 b) Calculer s⁰(t) sur chacun des intervalles ]0,1[, ]1,2[ et ]2,+∞[.











s⁰(t) = 0 si t <0 s⁰(t) = 1−e^−t si 06t <1 s⁰(t) = 1−(1 + 2e)e^−t si 16t <2 s⁰(t) =−(1 + 2e−e²)e^−t si t>2 On admet que s⁰ est strictement positive sur ]0,1[∪]2,+∞[.

D´eterminer le signe de s⁰(t) sur l’intervalle ]1,2[

s⁰(t) = 1−(1 + 2e)e^−t

s⁰(t)<0 si t∈[1,ln(1 + 2e)[ s⁰(t)>0 si t∈[ln(1 + 2e),2[

c) Calculer la valeur exacte de s(ln(1 + 2e)).

s(ln(1 + 2e)) = ln(2e+ 1)−2 D´eterminer lim

t→+∞s(t)

t→+∞lim s(t) = 0

. . . et dresser le tableau de variation de la fonction s sur l’intervalle ]0,+∞[.

t 0 1 ln(2e+ 1) 2 +∞

s⁰(t) 0 + ... − 0 + ... +∞

... ... ... 0

s(t) ... ... ... %

e⁻¹ ... e⁻²+ 2e⁻¹−1

% & ... %

0 ln(2e+ 1)−2

Calculer s⁰(1⁻), s⁰(1⁺), s⁰(2⁻), s⁰(2⁺).

s⁰(1⁻) = 1−e⁻¹ '0,63 s⁰(1⁺) =−1−e⁻¹ ' −1,37 s⁰(2⁻) =s⁰(2⁺) = 1−2e⁻¹−e⁻² '0.129

On admet que ces nombres sont respectivement les coefficients directeurs des demi-tangentes

`

a gauche et `a droite au point d’abscisse 1 et au point d’abscisse 2 de la courbe (Γ) repr´esentative de la fonctions.

6) On se place dans le plan rapport´e `a un rep`ere orthogonal

O; −→ i , −→

j

d’unit´es graphiques 5 cm sur l’axe des abscisses et 50 cm sur l’axe des ordonn´ees.

a) Recopier et compl´eter le tableau suivant dans lequel les valeurs num´eriques seront donn´ees `a 10<sup>−3</sup> pr`es.

t 1 1,2 1,4 1,6 2 2,5 3 3,5

s(t) 0,368 0,139 −0,013 −0,100 −0,129 −0,078 −0,047 −0,029

b) Tracer les tangentes ou demi-tangentes `a la courbe (Γ) repr´esentative de la fonction s aux points d’abscisses 0, 1 et 2.

Tracer alors la courbe (Γ).

t s(t)

O 1 2 3 4 5

−0,1 0,1 0,2 0,3 0,4

e⁻¹ •

(1 + 2e−e²)e⁻¹ •

Rappel du signal d’entr´ee

t e(t)

−2 −1 O ~i 2 3 4 5 6

−1

~j