BTS Blanc
Epreuve de Math´ ´ ematiques du Groupement A
La clart´e des raisonnements et la qualit´e de la r´edaction interviendront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.
L’usage d’un instrument de calcul et du formulaire officiel de math´ematiques est autoris´e.
Exercice 1 (8 points)
Le plan P est rapport´e `a un rep`ere orthonormal (O;−→u , −→v ).
On note j le nombre complexe de module 1 et dont un argument est π 2. Soit T la fonction d´efinie pour t r´eel strictement positif par :
T(t) = 2
3 + 1
1 + z1(t) z2(t)
avec z1(t) = 2 + 1
j t et z2(t) = 1 1 2+j t
1)
Montrer que T(t) = 23+ 1
3 +j h(t) o`u h(t) = 2t− 1 2t
2)
Etudier les variations de´ h sur ]0 ; +∞[ et pr´eciser les limites deh en 0+ et en +∞.3)
Quel est l’ensemble (E1) des points du plan d’affixes z = 3 +j h(t) lorsque t parcourt l’intervalle ]0 ; +∞[ ?4)
Quel est l’ensemble (E2) des points du plan d’affixes z = 13 +j h(t) lorsquet parcourt l’intervalle ]0 ; +∞[ ?
5)
D´eduire des questions pr´ec´edentes l’ensemble (E3) des points du plan d’affixes T(t) lorsque t parcourt l’intervalle ]0 ; +∞[6)
Tracer sur la mˆeme figure les ensembles (E1), (E2) et (E3).(On prendra une unit´e graphique de 6 cm sur les deux axes)
7)
On note ϕ(t) un argument de T(t) dont la mesure est comprise entre −π 2 et π2.
D´eterminer `a l’aide de la repr´esentation graphique de (E3) la valeur maximale atteinte par l’argument ϕ(t) lorsquet parcourt l’intervalle ]0 ; +∞[
Exercice 2 (12 points)
1)
Soit la fonction num´erique f d´efinie sur R par
f de p´eriode 2π f paire
t7→f(t) = π
2 si 06t < π 2 t7→f(t) =π−t si π
2 6t < π a) Repr´esenter graphiquement la fonctionf sur l’intervalle [−2π; 4π].
b) Justifier que f satisfait aux conditions de Dirichelet.
c) D´eterminer t 7→S(t) le d´eveloppement de Fourier associ´e `a f.
On montrera que : an= 2 π n2
cos nπ 2
−(−1)n
pour n>1 d) Calculer fe2 le carr´e de la valeur efficace def.
2)
On consid`ere la fonction num´erique g d´efinie sur R par : g : t 7−→ g(t) = 3π8 + 2
πcos(t)− 1
π cos(2t)
a) Calculer avec la formule de Parseval g2e le carr´e de la valeur efficace deg.
b) Calculer `a 10−3 pr`es, une valeur approch´ee du rapport ge2 fe2.
3)
On consid`ere un syst`eme physique r´egi, sur l’intervalle [0 ; +∞[ , par l’´equation : s(t) + 2Z t 0
s(u)du = f(t) (1)
Dans cette ´equation, on remplace f par g et on suppose que la fonction s est d´erivable sur l’intervalle [0 ; +∞[
a) Montrer que sur l’intervalle [0 ; +∞[, l’´equation (1) peut s’´ecrire : ds(t)
dt + 2s(t) = −2
π sin(t) + 2
πsin(2t) (2)
b) D´eterminer une solution particuli`ere de l’´equation : ds(t)
dt + 2s(t) = −2 πsin(t) c) D´eterminer une solution particuli`ere de l’´equation : ds(t)
dt + 2s(t) = 2
π sin(2t) d) R´esoudre l’´equation (2) et d´eterminer la solution particuli`ere v´erifiant : s(0) = 0
BTS Blanc (Solution)
Epreuve de Math´ ´ ematiques du Groupement A
Exercice 1 (8 points)
Le plan P est rapport´e `a un rep`ere orthonormal (O;−→u , −→v ).
On note j le nombre complexe de module 1 et dont un argument est π 2. Soit T la fonction d´efinie pour t r´eel strictement positif par :
T(t) = 2
3 + 1
1 + z1(t) z2(t)
avec z1(t) = 2 + 1
j t et z2(t) = 1 1 2+j t
1)
Montrer que T(t) = 23+ 1
3 +j h(t) o`u h(t) = 2t− 1 2t z1(t)
z2(t) = 2jt+ 1
jt ×1 + 2jt
2 = (1 + 2jt)2
2jt = 1 + 4jt−4t2 2jt
= 1
2jt+ 2−2t
j = 2 + 2jt+ j
2t = 2 +j
2t+ 1 2t
= 2 +j h(t)
T(t) = 2
3 + 1
3 +j h(t)
2)
Etudier les variations de´ h sur ]0 ; +∞[ et pr´eciser les limites deh en 0+ et en +∞.h(t) = 2t− 1
2t donc h0(t) = 2 + 1 2t2 >0
t 0 +∞
h0(t) +
+∞
h(t) %
−∞
3)
Quel est l’ensemble (E1) des points du plan d’affixes z = 3 +j h(t) lorsque t parcourt l’intervalle ]0 ; +∞[ ?R jR
−1 0 1 2 3
−j
j E1
E1 est la droite verticale d’´equation x= 3
4)
Quel est l’ensemble (E2) des points du plan d’affixes z = 13 +j h(t) lorsquet parcourt l’intervalle ]0 ; +∞[ ?
R jR
−1 0 1 2 3
−j
j E1
E2
E2 est le cercle de rayon 16 et de centre d’affixe (16)
5)
D´eduire des questions pr´ec´edentes l’ensemble (E3) des points du plan d’affixes T(t) lorsque t parcourt l’intervalle ]0 ; +∞[E3 est le cercle de rayon 16 et de centre d’affixe (56)
6)
Tracer sur la mˆeme figure les ensembles (E1), (E2) et (E3)(On prendra une unit´e graphique de 6 cm sur les deux axes)
R jR
0 1 2 3
j
E1
E2 E3
7)
On note ϕ(t) un argument de T(t) dont la mesure est comprise entre −π 2 et π2.
D´eterminer `a l’aide de la repr´esentation graphique de (E3) la valeur maximale atteinte par l’argument ϕ(t) lorsquet parcourt l’intervalle ]0 ; +∞[
R jR
0 1
j 6
E2 E3
A Ω
Soit ϕmax la valeur maximale de l’argument ϕ(t) lorsque t parcourt l’intervalle ]0 ; +∞[
On trace `a partir de O la tangente OA au cercle E3. Le triangle OAΩ est rectangle en A et ϕmax =ΩOA[ AΩ = 1
6 et OΩ = 5
6 donc : sin(ϕmax) = 1 5 et : ϕmax = arcsin
1 5
'0,201 rd'11˚32013”
Exercice 2 (12 points)
1)
Soit la fonction num´erique f d´efinie sur R par
f de p´eriode 2π f paire
t7→f(t) = π
2 si 06t < π 2 t7→f(t) =π−t si π
2 6t < π a) Repr´esenter graphiquement la fonctionf sur l’intervalle [−2π; 4π].
t f(t)
−2π −π O π 2π 3π 4π
π 2
b) Justifier que f satisfait aux conditions de Dirichelet.
Sur l’intervalle
0 ; 2π
la fonction f est continue partout et d´erivable sauf pourt = π2, pour t=π et pour t = 3π2 , mais les limites suivantes sont finies :
f0 π 2
−
= 0 f0(π−) =−1 f0 3π
2 −
= 1 f0 π
2 +
=−1 f0(π+) = 1 f0 3π
2 +
= 0
Donc f satisfait aux conditions de Dirichlet et admet un d´eveloppement en s´erie de Fourier, et S(t) =f(t) pour tout t.
c) D´eterminer t 7→S(t) le d´eveloppement de Fourier associ´e `a f.
On montrera que : an= 2 π n2
cos nπ 2
−(−1)n
pour n>1 La p´eriode est T = 2π donc : ω = 1 f est paire donc : bn= 0
a0 = 1 2π
Z π
−π
f(t)dt= 1 2π2
Z π 0
f(t)dt= 1 π
Z π2
0
π 2dt+
Z π
π 2
(π−t)dt
!
= 1 π
π 2
2
+h
πt− t2 2
iπ
π 2
= π 4 + 1
π
π2− π2 2
−π2 2 − π2
8
a0 = 3π 8
On fera une int´egration par partie :
u=π−t dv= cos(nt)dt
du=−dt v = sin(nt)
n an= 2
2π Z π
−π
f(t) cos(nt)dt= 1 π2
Z π 0
f(t) cos(nt)dt
= 2 π
Z π2
0
π
2 cos(nt)dt+ Z π
π 2
(π−t) cos(nt)dt
!
= 2 π
π 2
hsin(nt) n
iπ2
0 +h
(π−t)sin(nt) n
iπ
π 2
+ 1 n
Z π
π 2
sin(nt)dt
!
= 2 π
π 2
sin(nπ2) n
−π 2
0
+ 0
−π 2
sin(nπ2) n
+ 1
n
h− cos(nt) n
iπ
π 2
= 2 nπ
−(−1)n n
−
− cos(nπ2) n
an= 2 π n2
cos nπ 2
−(−1)n
d) Calculer fe2 le carr´e de la valeur efficace def. fe2 = 1
2π Z π
−π
f2(t)dt = 1 2π2
Z π 0
f2(t)dt= 1 π
Z π2
0
π2 4 dt+
Z π
π 2
(π−t)2dt
!
= 1 π
π 2
3
+h
π2t−πt2+ t3 3
iπ
π 2
= π2 8 + 1
π
π3−π3+π3 3
−π3 2 − π3
4 +π3 24
fe2 = π2 6
2)
On consid`ere la fonction num´erique g d´efinie sur R par : g : t 7−→ g(t) = 3π8 + 2
πcos(t)− 1
π cos(2t)
a) Calculer avec la formule de Parseval g2e le carr´e de la valeur efficace deg.
g2e =3π 8
2
+ 1 2
2 π
2
+1 π
2
ge2 = 9π2 64 + 5
2π2 b) Calculer `a 10−3 pr`es, une valeur approch´ee du rapport ge2
fe2 ge2
fe2 '0,998
3)
On consid`ere un syst`eme physique r´egi, sur l’intervalle [0 ; +∞[ , par l’´equation : s(t) + 2Z t 0
s(u)du = f(t) (1)
Dans cette ´equation, on remplace f par g et on suppose que la fonction s est d´erivable sur l’intervalle [0 ; +∞[
s(t) + 2 Z t
0
s(u)du= 3π 8 + 2
πcos(t)− 1
πcos(2t) a) Montrer que sur l’intervalle [0 ; +∞[, l’´equation (1) peut s’´ecrire :
ds(t)
dt + 2s(t) = −2
πsin(t) + 2
π sin(2t) (2)
Il suffit de d´eriver l’´equation (1)
b) D´eterminer une solution particuli`ere de l’´equation : ds(t)
dt + 2s(t) = −2 πsin(t) s(t) =acos(t) +bsin(t) 2a+b = 0 a= 2
5π s0(t) =−asin(t) +bcos(t) 2b−a=−2
π b=− 4
5π s(t) = 2
5π cos(t)− 4
5πsin(t)
c) D´eterminer une solution particuli`ere de l’´equation : ds(t)
dt + 2s(t) = 2
π sin(2t) s(t) =acos(2t) +bsin(2t) 2a+ 2b = 0 a=− 1
2π s0(t) =−2asin(t) + 2bcos(t) 2b−2a= 2
π b= 1
2π s(t) =− 1
2πcos(2t) + 1
2π sin(2t)
d) R´esoudre l’´equation (2) et d´eterminer la solution particuli`ere v´erifiant : s(0) = 0 s(t) =ke−2t+ 2
5πcos(t)− 4
5πsin(t)− 1
2πcos(2t) + 1
2π sin(2t) s(0) =k+ 2
5π − 1
2π = 0 donc : k = 1 2π − 2
5π s(t) =
1 2π − 2
5π
e−2t+ 2
5π cos(t)− 4
5πsin(t)− 1
2π cos(2t) + 1
2π sin(2t)
