Epreuve de Math´ ´ ematiques

Epreuve de Math´ ´ ematiques

La clart´e des raisonnements et la qualit´e de la r´edaction interviendront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.

L’usage d’un instrument de calcul et du formulaire officiel de math´ematiques est autoris´e.

Exercice 1

Soit la fonction num´eriquef d´efinie sur R, par















f(t) = 0 si 06t < π 2 f(t) = sin(2t) si π

2 6t < π f impaire

f p´eriodique de p´eriode 2π

1) Tracer, dans le plan muni d’un rep`ere orthogonal, une repr´esentation graphique de la fonction f sur l’intervalle [−3π; 3π].

2) Justifier que f satisfait aux conditions de Dirichlet.

3) Soit : t7→S(t) =a0+

∞

X

n=1

ancos(nωt) +bnsin(nωt)

le d´eveloppement en s´erie de Fourier associ´e `a la fonctionf.

a) Calculerω. Justifier que a₀= 0 et a_n= 0 pour n>1.

b) Calculer b₂.

c) Calculer bn pour n>1 et n6= 2.

d) Ecrire le d´´ eveloppement de Fourier associ´e `a f en pr´ecisant les quatre premiers termes non nuls.

e) Justifier que S(t) =f(t) pour tout t∈R.

4) Calculer f_e² le carr´e de la valeur efficace def.

5) On consid`ere la fonctiong d´efinie surR, par g(t) = − 4

3π sin(t) +1

2 sin(2t)− 4

5π sin(3t) a) Calculer `a l’aide de la formule de Parseval g_e² le carr´e de la valeur efficace deg.

b) Calculer `a 10<sup>−3</sup>pr`es, une valeur approch´ee du rapport g²_e f_e²

Exercice 2

(U(t) = 0 sit <0 U(t) = 1 sit>0

Les fonctionse ets sont des fonctions causales de la variablet qui admettent des transform´ees de Laplace not´ees respectivement E etS.

Elles v´erifient l’´equation diff´erentielle suivante

s⁰(t) + 2s(t) =e(t) avec pour condition initiale s(0) = 0 (1)

1) Soit e(t) = (−t+ 1)U(t) + (t−1)U(t−1).

a) Faire, dans un rep`ere orthogonal du plan, la courbe repr´esentative de la fonction e.

b) D´eterminer sa transform´ee de Laplace E.

2) Pour p6= 0 et p6=−2 on admet que 1

p(p+ 2) = 1 2

1 p− 1

p+ 2

D´eterminer les nombres r´eelsA, B ,Ctels que 1

p²(p+ 2) = A p² +B

p + C p+ 2 3) R´esolution de l’´equation (1) et repr´esentation graphique de la solution

a) D´eterminerS(p) la transform´ee de Laplace de la solution de l’´equation (1).

b) En d´eduires(t) l’original deS(p).

c) Montrer que la fonctionsest d´efinie par



















t <0 s(t) = 0 06t <1 s(t) =−t

2 +3 4−3

4e^−2t t>1 s(t) =

e²−3 4

e^−2t

d) A l’aide d’un terminal graphique, on a obtenu la repr´` esentation suivante de la fonctions.

t f(t)

O ln(3)

2

1 2 3

0,1 0,2 2−ln(3)

4

Justifier cette repr´esentation graphique sur l’intervalle [ 0 ; 1 ].

e) D´eterminer le r´eelm, tel que pour toutt sup´erieur `am,s(t) soit inf´erieur `a 10⁻².

On pourra utiliser la repr´esentation graphique donn´ee `a la question d) pour justifier le choix `a faire pour trouverm.

Donner une valeur approch´ee dem`a 10<sup>−2</sup> pr`es.

Epreuve de Math´ ´ ematiques (Solution)

Exercice 1

Soit la fonction num´eriquef d´efinie sur R, par















f(t) = 0 si 06t < π 2 f(t) = sin(2t) si π

2 6t < π f impaire

f p´eriodique de p´eriode 2π

1) Tracer, dans le plan muni d’un rep`ere orthogonal, une repr´esentation graphique de la fonction f sur l’intervalle [−3π; 3π].

t f(t)

−3π −2π −π O π 2π 3π

−1 1

2) Justifier que f satisfait aux conditions de Dirichlet.

Sur l’intervalle 0 ; 2π

la fonction f est continue partout et d´erivable sauf pour t = ^π₂ et pourt=^3π₂ , mais les limites suivantes sont finies :

f⁰ π 2

⁻

= 0 f⁰ 3π

2 ⁻

=−2 f⁰ π

2 +

=−2 f⁰ 3π

2 +

= 0

Doncf satisfait aux conditions de Dirichlet et admet un d´eveloppement en s´erie de Fourier.

3) Soit : t7→S(t) =a0+

∞

X

n=1

ancos(nωt) +bnsin(nωt)

le d´eveloppement en s´erie de Fourier associ´e `a la fonctionf.

a) Calculerω. Justifier que a0= 0 et an= 0 pour n>1.

La p´eriode est 2πdonc : ω= 1 La fonctionf est impaire donc : a0= 0 et an= 0 pour n>1 b) Calculer b₂.

b2= 2 2π

Z π

−π

f(t) sin(2t)dt= 1 π2

Z π 0

f(t) sin(2t)dt

= 2 π

Z ^π₂

0

0×sin(2t)dt+ Z π

π 2

sin²(2t)dt

!

= 2 π

Z π

1 2

1 2

1−cos(2t) dt= 1

π

t−sin(2t) 2

π

π 2

= 1 π

π−sin(2π) 2

−1 π

π

2 −sin(π) 2

b2=1 2

c) Calculer bn pour n>1 et n6= 2.

b_n = 2 2π

Z π

−π

f(t) sin(nt)dt= 1 π2

Z π 0

f(t) sin(nt)dt

= 2 π

Z ^π₂

0

0×sin(nt)dt+ Z π

π 2

sin(2t) sin(nt)dt

!

= 2 π

Z π

1 2

1 2

cos (2−n)t

−cos (2 +n)t dt= 1

π

sin((2−n)t)

2−n −sin((2 +n)t) 2 +n

^π

π 2

= 1 π

sin((2−n)^π₂)

2−n −sin((2 +n)^π₂) 2 +n

−1 π

sin((2−n)π)

2−n −sin((2 +n)π) 2 +n

=−sin(^π₂) π

1

2−n+ 1 2 +n

b2= sin(π

2) π(n²−4)

d) Ecrire le d´´ eveloppement de Fourier associ´e `a f en pr´ecisant les quatre premiers termes non nuls.

On a : b₁=−4

3π b₂= 1

2 b₃= 4

5π b₄= 0 b₅= 4 21π S(t) =− 4

3π sin(t) +1

2 sin(2t)− 4

5π sin(3t) + 4

21π sin(5t) e) Justifier que S(t) =f(t) pour tout t∈R.

Comme la fonctionf est continue surR, on a : S(t) =f(t) 4) Calculer f_e² le carr´e de la valeur efficace def.

f_e²= 1 2π

Z π

−π

f²(t)dt= 1 2π2

Z π 0

f²(t)dt= 1 π

Z ^π₂

0

0dt+ Z π

π 2

sin²(2t)dt

!

Mˆeme calcul qu’enb), on a : f_e²= b2

2 donc : f_e²= 1 4 5) On consid`ere la fonctiong d´efinie surR, par g(t) = − 4

3π sin(t) +1

2 sin(2t)− 4

5π sin(3t) a) Calculer `a l’aide de la formule de Parseval g_e² le carr´e de la valeur efficace deg.

g_e²=0²+ (−_3π⁴ )²

2 +0²+ (¹₂)²

2 +0²+ (−_5π⁴)²

2 =225π²+ 2176

1800π² '0,2475

b) Calculer `a 10<sup>−3</sup>pr`es, une valeur approch´ee du rapport g²_e f_e² g²_e

f_e² =225π²+ 2176

450π² '0,990

Exercice 2

(U(t) = 0 sit <0 U(t) = 1 sit>0

Les fonctionse ets sont des fonctions causales de la variablet qui admettent des transform´ees de Laplace not´ees respectivement E etS.

Elles v´erifient l’´equation diff´erentielle suivante

s⁰(t) + 2s(t) =e(t) avec pour condition initiale s(0) = 0 (1) 1) Soit e(t) = (−t+ 1)U(t) + (t−1)U(t−1).

a) Faire, dans un rep`ere orthogonal du plan, la courbe repr´esentative de la fonction e.

t e(t)

O 1 2 3

1

b) D´eterminer sa transform´ee de Laplace E.

E(p) =−1 p²+1

p+ 1 p²e^−p

2) Pour p6= 0 et p6=−2 on admet que 1

p(p+ 2) = 1 2

1 p− 1

p+ 2

D´eterminer les nombres r´eelsA, B ,Ctels que 1

p²(p+ 2) = A p² +B

p + C p+ 2 1

p²(p+ 2) = A p² +B

p + C

p+ 2 =A(p+ 2) +Bp(p+ 2) +Cp²

p²(p+ 2) = (B+C)p²+ (A+ 2B)p+ 2A p²(p+ 2)







B+C = 0 A+ 2B = 0

2A = 1















A = 1

2 B = −1

4

C = 1

4

1

p²(p+ 2) = 1 4

2 p² −1

p+ 1 p+ 2

3) R´esolution de l’´equation (1) et repr´esentation graphique de la solution

a) D´eterminerS(p) la transform´ee de Laplace de la solution de l’´equation (1).

pS(p) + 2S(p) =−1 p² +1

p+ 1 p²e^−p (p+ 2)S(p) =−1

p² +1 p+ 1

p²e^−p S(p) =− 1

p²(p+ 2)+ 1

p(p+ 2)+ 1 p²(p+ 2)e^−p S(p) = 1

4

−2 p²+3

p− 3 p+ 2

+1

4 2

p²−1 p+ 1

p+ 2

e^−p

b) En d´eduires(t) l’original deS(p).

s(t) =1

4 −2t+ 3−3e^−2t

U(t) +1

4 2(t−1)−1 +e^−2(t−1)

U(t−1)

c) Montrer que la fonctionsest d´efinie par



















t <0 s(t) = 0 06t <1 s(t) =−t

2 +3 4−3

4e^−2t t>1 s(t) =

e²−3 4

e^−2t

d) A l’aide d’un terminal graphique, on a obtenu la repr´` esentation suivante de la fonctions.

t f(t)

O ln(3)

2

1 2 3

0,1 0,2 2−ln(3)

4

m

Justifier cette repr´esentation graphique sur l’intervalle [ 0 ; 1 ].

La d´eriv´ee : s⁰(t) =−1 2+3

2e^−2t= 3e^−2t−1

2 s’annule pout : t=ln(3) 2

t 0 ^ln(3)₂ 1

s⁰(t) + 0 −

2−ln(3 4 )

s(t) % &

0 ^1−3e₄⁻²

e) D´eterminer le r´eelm, tel que pour toutt sup´erieur `am,s(t) soit inf´erieur `a 10⁻².

On pourra utiliser la repr´esentation graphique donn´ee `a la question d) pour justifier le choix `a faire pour trouverm.

Donner une valeur approch´ee dem`a 10<sup>−2</sup> pr`es.

Si t > m alors s(t)<10⁻² on a : e²−3

4 e^−2t<10⁻² e^−2t<4×10⁻²

e²−3

−2t <ln 0,04

e²−3

t > 1 2ln

e²−3 0,04

t >2.35