Mines Maths toutes filières 2007 — Énoncé
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CONCOURS COMMUN 2007
DES ´ ECOLES DES MINES D’ALBI, AL ` ES, DOUAI, NANTES
Epreuve de Math´ematiques ´
(toutes fili`eres)Jeudi 10 mai 2007 de 14h00 `a 18h00
Instructions g´en´erales :
Les candidats doivent v´erifier que le sujet comprend 4 pages num´erot´ees 1/4, 2/4, 3/4, 4/4.
Les candidats sont invit´es `a porter une attention particuli`ere `a la r´edaction : les copies illisibles ou mal pr´esent´ees seront p´enalis´ees.
Les candidats colleront sur leur premi`ere feuille de composition l’´etiquette `a code `a barres correspondant `a l’´epreuve commune de Math´ematiques.
L’emploi d’une calculatrice est interdit
PREMIER PROBL ` EME
Pour toutt∈R∗+on d´efinit :
f(t) =exp
−1 t
etg(t) = f(t) t .
Partie A — G´en´eralit´es
1. Prouver quefetgsontC∞surR∗+et que pour toutt∈R∗+,t f′(t) =g(t).
2. Montrer quegest prolongeable par continuit´e en 0 et que le prolongement (encore not´eg) est d´erivable en 0.
3. Faire un tableau de variations degsurR+, en faire un graphe sachant quee−1≃0,36 `a 10−2pr`es.
4. SoitHla primitive surR∗+det7→g(1/t), s’annulant en 1 : 4.a.CalculerH.
4.b. En former un d´eveloppement limit´e `a l’ordre 3 au voisinage de 1.
5. Soitn≥3 un entier naturel. On introduit l’´equation(En):f(t) =t/n, d’inconnuet∈R∗+.
5.a.En utilisant la question3, montrer que(En)a une unique solution dans]0,1[, que l’on noteraαn. On montrerait identiquement (mais ce n’est pas `a faire) que(En)admet une unique solution dans]1,+∞[, que l’on noteraβn. 5.b. Montrer que les suites(αn)n≥3et(βn)n≥3sont monotones.
5.c. Est-il possible que l’une des deux suites converge vers une limitel>0 ? En d´eduire leurs limites.
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Partie B — ´Etude d’une courbe param´etr´ee
On ´etudie ici, dans un rep`ere orthonormal d’origineO, la courbe param´etr´ee d´efinie surR∗+par le pointM(t)de coor-
donn´ees
x(t) =f′(t) =exp(−1/t) t2 y(t) =g(t) =exp(−1/t)
t
6.D´eterminer les valeurs detpour lesquellesM(t)se situe sur la premi`ere bissectrice du plan d’´equation cart´esienne y=x.
7.Etudier la limite de la pente de la droite´ (OM(t))lorsquettend vers 0+et+∞.
8.En utilisant la question3, faire un tableau de variation dexetysurR∗+avec limites aux bornes 0+et+∞.
9.En utilisant les deux questions pr´ec´edentes, tracer la courbe en rep´erant les tangentes verticales ou horizontales, on pourra utiliser que 4e−2≃0,54 `a 10−2pr`es.
Partie C — Fonctions d´efinies par des int´egrales
On prolonge maintenantf`aR+en posantf(0) =0.
10. Montrer que l’application fainsi prolong´ee est de classeC1surR+; pr´eciser f′(0)et montrer que l’´egalit´e de la question1reste valable pourt=0.
11. Soitx∈R∗+, on note :
F(x) = Zx
0
f(t)dt,G(x) = Zx
0
g(t)dt.
11.a.Justifier l’existence de ces int´egralesque l’on ne cherchera surtout pas `a calculerpuis montrer que F(x) =xe−1x−G(x).
11.b.En s´eparant l’int´egraleG(x)en deux, montrer qu’il existe une constanteCr´eelle telle que pour toutx≥1, 0≤G(x)≤C+ln(x).
11.c.En d´eduire queG(x)est n´egligeable devantxau voisinage de+∞ainsi qu’un ´equivalent deF(x)au voisinage de+∞.
12. R´esoudre surR∗+l’´equation diff´erentielle(E):x2y′+y=x2, l’expression g´en´erale de la solution fera apparaitre la fonctionF.
Partie D — ´Etude qualitative d’une ´equation diff´erentielle
On consid`ere maintenant une applicationysolution de(E):x2y′+y=x2cette fois surR+, de classeC∞surR+. Nous allons,sans aucun calcul explicite de y, d´eterminer enti`erement la suite desun=y(n)(0)`a partir de l’´equation(E).
13. Que vautu0=y(0)?
14. En d´erivant(E), calculeru1=y′(0)etu2=y′′(0).
15. Peut-on avoiryde la forme :x7→αx2+βx+γavec(α,β,γ)∈R3? 16. Soitnun entier naturel.
16.a.On suppose icin≥3. Prouver `a l’aide de la formule de Leibniz que pour toutx∈R+: x2y(n+1)(x) + (1+2nx)y(n)(x) +n(n−1)y(n−1)(x) =0.
En d´eduire une relation de r´ecurrence entreunetun−1.
16.b.Donner une expression deunutilisant une factorielle, valable pour toutn≥2 ; en d´eduire les d´eveloppements limit´es (dont on justifiera l’existence) dey`a tout ordre au voisinage de 0.
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DEUXI ` EME PROBL ` EME
Dans tout ce probl`eme, on se place dans l’espace usuel dont on noteraEl’ensemble des points,El’ensemble des vecteurs et−→0 le vecteur nul.Eest muni d’un rep`ere orthonormal directR= (O,−→i,−→j,→−k), toutes les ´equations de l’´enonc´e seront relatives aux ´el´ements de ce rep`ere. SiM∈Eet−−→OM=x−→i +y−→j+z−→k on pourra noterM= (x,y,z)et−−→OM= (x,y,z).
On consid`ere les ensemblesPetQd’´equations cart´esiennes :
P:x+z=0,Q:x+y+z−3=0.
Partie A — ´Etude d’un mouvement dans l’espace
Pour toutt∈R, on introduit le pointN(t)deEcaract´eris´e dansRpar les coordonn´ees
a(t) =cos(t)
√2 b(t) =sin(t) c(t) =−cos(t)
√2
1.Prouver queN(t)appartient au planP.
2.Donner une ´equation param´etrique de la droiteDintersection dePetQ. Est-il possible queN(t)∈D?
3.Calculera2(t) +b2(t) +c2(t).En d´eduire queN(t)appartient `a un cercle dePdont on pr´ecisera le centre et le rayon.
4.Calculer la distance deN(t)`a la droiteDpuis au planQ, on pourra v´erifier que leur rapport est constant.
5.Prouver que pour toutt∈R: exp(it) +exp(i(t+2π/3)) +exp(i(t−2π/3)) =0.
6.En d´eduire l’isobarycentre des pointsN(t),N(t+2π/3),N(t−2π/3).
Partie B — Construction d’un polynˆome
On fixe maintenantt∈Ret on note
s(t) =a(t) +b(t) +c(t)
d(t) =a(t)b(t) +a(t)c(t) +b(t)c(t) p(t) =a(t)b(t)c(t)
.
7.Simplifiers(t).
8.Lin´eariser le produit de fonctions trigonom´etriquesp(t).
9.Calculerd(t)de deux mani`eres diff´erentes — on pourra utiliser un r´esultat de la question3.
10. On consid`ere maintenant le polynˆomeR(X) = (X−a(t))(X−b(t))(X−c(t)), dont les racines sont donca(t),b(t)et c(t):
10.a.Dans cette question seulementt=π/2. Montrersans calculer R(X)ni R′(X)queR′(0) =0.
10.b.Exprimer maintenantR(X) en fonction des(t), d(t), p(t), puis en fonction des r´esultats des questions pr´ec´edentes.
Partie C — Endomorphismes `a noyau impos´e
11. Montrer quePd´efinit un plan vectoriel deE.
12. Est-ce le cas pourQ? Pr´eciser, sans preuve, la structure alg´ebrique deQ.
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13. On introduit les vecteurs :
−
→i′= 1
√2(−→i −−→
k),−→j′=−→j,−→ k′= 1
√2(−→i+−→ k).
Montrer que(−→i′,−→j′)est une base orthonormale dePet que−→k′en est un vecteur normal. En d´eduire que B′= (−→i′,−→j′,−→
k′)est une base orthonormale de l’espace.
14. On d´esigne par−→a.−→
b le produit scalaire de deux vecteurs−→a et−→
b. Soit−→e ∈E. Prouver, autrement que par«c’est du cours», que ses coordonn´ees dans la baseB′sont donn´ees par :
−
→e = (−→e.−→i′)−→i′+ (−→e.−→j′)−→j′+ (−→e.−→k′)−→k′
15. On consid`ere ici une application lin´eaireu:E→Etelle queP⊂ker(u).
15.a.Prouver qu’il existe−→z ∈Etel queu(−→e) = (−→e.−→k′)−→z pour tout−→e ∈E.
15.b.R´eciproquement, montrer qu’une applicationudonn´ee par la formule pr´ec´edente est un endomorphisme deE tel queP⊂ker(u).
15.c.Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur−→z pour queP=ker(u). Donner dans ce cas le rang et l’image deu.
Partie D — Matrices de projecteur
On note icip:E→Ele projecteur orthogonal sur le planP,Bla base (−→i,−→j,−→
k)etB′= (−→i′,−→j′,−→
k′)la base introduite
`a la question13. On introduit les matrices :
M′=
1 0 0
0 1 0
0 0 0
,I=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
.
16. Justifier tr`es rapidement queM′est la matrice depdans la baseB′.
17. Donner la matrice de passagePde la baseB`a la baseB′ainsi que son inverse — on d´etaillera le raisonnement pour cette derni`ere.
18. SoitMla matrice depdans la baseB: 18.a.Justifiersans calculqueM2=M.
18.b.En d´eduire que pour toutn∈N,
(M+I)n=I+ (2n−1)M.
18.c.ExprimerMen fonction deP,P−1etM′. Ensuite, calculer explicitementM.
19. On peut traiter cette partie sans avoir trouv´e explicitementM. On introduit l’ensembleM des matrices du type Ma,b=aM+bI,o`uaetbsont r´eels :
19.a.Montrer que l’ensembleMmuni des lois usuelles sur les matrices a une structure deR-espace vectoriel dont on donnera une base et la dimension.
19.b.Les r´eelsaetb´etant donn´es, exprimerMa,ben fonction deP,P−1,IetM′. En d´eduire une forme factoris´ee du d´eterminant deMa,bainsi qu’une condition n´ecessaire et suffisante pour qu’elle soit inversible.
19.c.D´eterminer les r´eelseetftels queMa,b×Mc,d=Me,f.
19.d. LorsqueMa,best inversible, exprimer son inverse sous la forme d’un ´el´ement deM. FIN DE L’ ´EPREUVE
