Sup PCSI 2 — Colle n◦ 15 et 16 — Quinzaine du 21/11 au 1/2
Les points marqu´es d’un • peuvent faire l’objet de questions de cours avec d´emonstrations d´etaill´ees. Les points marqu´es d’un ◮ se prˆetent particuli`erement `a des exercices.
1 D´ eriv´ ees
•D´efinitions ´equivalentes de la d´eriv´ee ena∈I def ∈ F(I,R) : avec la limite du taux d’acroissement, avec leDL1(a) (la notion deDLn’est pas `a ce programme).
•La d´erivabilit´e de f enaimplique la continuit´e def ena. La r´eciproque est fausse.
•Fonction d´eriv´ee.
•D´eriv´ee de la somme, du produit, du quotient de deux fonctions d´erivables. Formule de Leibniz.
•D´eriv´ee de la compos´ee de deux fonctions d´erivables.
•Condition pour quef−1soit d´erivable, expression de¡ f−1¢′
.
•Th´eor`eme deRolle; n´ecessit´e de chaque hypoth`ese.
•Th´eor`eme des accroissements finis ; in´egalit´e des accroissements finis.
•Th´eor`eme ditde la limite de la d´eriv´ee.
•Lien entre sens de variation def et signe def′; en particulier, CNS pour quef ∈ D(I,R) soit strictement monotone surI.
•Extremums locaux ; en un extremum local d’une fonction d´erivable, la d´eriv´ee s’annule.
•Fonctions lipschitziennes. Une fonctionf d´erivable estk-lipschitzienne ssif′ est born´ee park.
• D´efinition des d´eriv´ees successives, notation f(n); par d´efinition, f(n+1) est la d´eriv´ee n-i`eme de f′. D´emonstration des formules f(n+1) = (f(n))′ et (f(p))(q) = f(p+q). Fonctions de classe Dn, D∞ sur un intervalleI; exemples.
•Somme, produit (formule de Leibniz), quotient, composition de fonctions de classeDn ou de classeD∞:
´enonc´e et d´emonstration des th´eor`emes.
◮Exemples de calcul explicite de la d´eriv´ee n-i`eme d’une fonction, utilisant ´eventuellement la formule de Leibniz. Ont ´et´e vus en classe les calculs de dk
dxk(xn), dn dxn
³1 x
´et dn dxn
¡√x¢ .
•On admet le th´eor`eme d’inversion des fonctions continues et strictement monotones sur un intervalle, ainsi que le th´eor`eme d’existence de la d´eriv´ee def−1. On prouve la formule donnant cette d´eriv´ee.
•Une bijection de classeDn dont la d´eriv´ee ne s’annule pas poss`ede une bijection r´eciproque de classeDn.
2 D´ eveloppements limit´ es
•D´efinition du DLn(a) d’une fonction f : I7→R, o`u a∈I. Exemple :DLn(0) dex7→ 1 1−x.
•Lien entre leDLn(a) def et leDLn(0) deh7→f(a+h). Restriction, troncature.
• Si a∈ I, l’existence du DL0(a) ´equivaut `a la continuit´e def ena; l’existence du DL1(a) ´equivaut `a la d´erivabilit´e def ena.
•Unicit´e duDLn(0) ; cons´equence pour leDLn(0) d’une fonction paire ou impaire.
•Sommes et produits deDLn(0).
•Int´egration de DLn(0). Obtention desDLn(0) dex7→ln(1 +x),x7→ln(1−x), arctan.
• Formule de Taylor-Young(´enonc´e). Obtention de DLn(0) `a partir de cette formule :DLn(0) de exp, sin, cos, sh, ch,x7→(1 +x)α.
•Les ´etudiants connaissent plusieurs m´ethodes pour obtenir leDL5(0) de tan.
•Exemples de d´eveloppements limit´es g´en´eralis´es, et de d´eveloppements limit´es au voisinage de +∞.
N’oubliez pas d’indiquer sur la fiche de colle votre nom, et surtout le num´ero de la semaine en cours !
MPB : 89 AC : 15 CP : 130 BG :
