L1 Analyse Exos8: 21/10/08
D´ eveloppements limit´ es
1.
Poser h := x − a et se ramener aux DL de base
Calculer le d´eveloppement limit´e (en a `a l’ordre 2) des fonctions suivantes (de x):
2e3−x+xe (a:= 1), ln(1 +x) + cos(x) (a:=π), 2
(2x+ 1)2 (a:= 1).
2.
Multiplier et diviser les DL
Calculer le polynˆome de Taylor (en a `a l’ordre n) des fonctions suivantes (de x):
e2xcos 3x (a:= π
2, n:= 3),
√x
lnx (a:= 4, n:= 2)
3.
Composer les DL
Calculer le polynˆome de Taylor (en a `a l’ordre n) des fonctions suivantes (de x):
ecosx (a:=π, n:= 2), cos(πln(x)) (a:=e, n := 3).
4.
Trouver un ´ equivalent simple
Trouver un ´equivalent simple au voisinage de a pour les fonctions suivantes (de x):
xe−ex (a:=e), πlnx+ sin(πx) (a:= 1), x+ cosx+esinx−π (a:=π).
5.
Calculer une limite
Calculer la limite des expressions suivantes quand x tend respectivement vers π, 0, et +∞:
xπ −πx
π−x−cosx−esinx;
√4
1 + 2x−√ 1 +x
√3
1−3x−√
1−2x;
√4
x4+ 4x3−√
x2+ 2x
√3
x3−3x2−√
x2−2x.
