D´eveloppements limit´es usuels
I Obtenus par les formules de Taylor
Tableau des d´eveloppements limit´es usuels en 0, `a l’ordre n ou pr´eciser par la puissance dans le o
ex=
n
X
k=0
1
k!xk+o(xn) 1 1 +x=
n
X
k=0
(−1)kxk+o(xn) 1 1−x=
n
X
k=0
xk+o(xn)
sin (x) =
n
X
k=0
(−1)k
(2k+ 1)!x2k+1+o x2n+1
cos (x) =
n
X
k=0
(−1)k
(2k)!x2k+o x2n
sh(x) =
n
X
k=0
1
(2k+ 1)!x2k+1+o x2n+1
ch(x) =
n
X
k=0
1
(2k)!x2k+o x2n
(1 +x)α= 1 +
n
X
k=1 k−1
Q
i=0
(α−k)
k! xk+o(xn) En particulier :
√ 1
1 +x =
n
X
k=0
(−1)k (2k)!
22k(k!)2xk+o(xn) 1
√1−x =
n
X
k=0
(2k)!
22k(k!)2xk+o(xn)
II Obtenus par int´ egrations
On int`egre les d´eveloppements obtenus pr´ec´edemment.
ln (1 +x) =
n
X
k=1
(−1)k−1
k xk+o(xn) ln (1−x) =−
n
X
k=1
1
kxk+o(xn)
arcsin (x) =
n
X
k=0
(2k)!
22k(k!)2 1
2k+ 1x2k+1+o x2n+1
arctan (x) =
n
X
k=0
(−1)k
2k+ 1x2k+1+o x2n+1
III Obtenu par calculs
En utilisant les d´eveloppements de sin et cos,ou par utilisation du d´eveloppement de la fonction r´eciproque, ou en utilisant la d´eriv´ee et par r´ecurrence...
tan (x) =x+1 3x3+ 2
15x5+ 17
315x7+o x7
1
