D´ eveloppements limit´ es :

D´ eveloppements limit´ es :

On rappelle que, pour toutn ∈N, au voisinage de 0, unO(tⁿ⁺¹) est toujours uno(tⁿ).

Tous les d´eveloppements limit´es qui suivent sont au voisinage de 0.

e^t = 1 +t+t² 2 + t³

3!+ t⁴

4!+· · ·+tⁿ

n!+O(tⁿ⁺¹) =

n

X

k=0

t^k

k!+O(tⁿ⁺¹) cht = 1 + t²

2 + t⁴ 4!+ t⁶

6!+· · ·+ t²ⁿ

(2n)! +O(t²ⁿ⁺²) =

n

X

k=0

t^2k

(2k)!+O(t²ⁿ⁺²) sht =t+ t³

3!+ t⁵ 5!+ t⁷

7!+· · ·+ t²ⁿ⁺¹

(2n+ 1)! +O(t²ⁿ⁺³) =

n

X

k=0

t^2k+1

(2k+ 1)! +O(t²ⁿ⁺³) cost = 1− t²

2 +t⁴ 4! −t⁶

6! +· · ·+ (−1)ⁿ t²ⁿ

(2n)!+O(t²ⁿ⁺²) =

n

X

k=0

(−1)^k t^2k

(2k)! +O(t²ⁿ⁺²) sint =t− t³

3! +t⁵ 5!− t⁷

7! +· · ·+ (−1)ⁿ t²ⁿ⁺¹

(2n+ 1)! +O(t²ⁿ⁺³)

=

n

X

k=0

(−1)^k t^2k+1

(2k+ 1)! +O(t²ⁿ⁺³)

Pour tout r´eel m,

(1 +t)^m = 1 +mt+m(m−1)

2 t²+· · ·+m(m−1)· · ·(m−n+ 1)

n! tⁿ+O(tⁿ⁺¹)

= 1 +

n

X

k=1

m(m−1)· · ·(m−k+ 1)

k! t^k+O(tⁿ⁺¹) .

1

1−t = 1 +t+t²+t³+t⁴+· · ·+tⁿ+O(tⁿ⁺¹) =

n

X

k=0

t^k+O(tⁿ⁺¹)

ln(1 +t) =t−t² 2 + t³

3 − t⁴

4 +· · ·+ (−1)ⁿ⁺¹tⁿ

n +O(tⁿ⁺¹) =

n

X

k=1

(−1)^k+1t^k

k +O(tⁿ⁺¹)

arctant =t−t³ 3 +t⁵

5 − t⁷

7 +· · ·+ (−1)ⁿ t²ⁿ⁺¹

2n+ 1 +O(t²ⁿ⁺³)

=

n

X

k=0

(−1)^k t^2k+1

2k+ 1 +O(t²ⁿ⁺³) tant =t+t³

3 + 2t⁵

15 +O(t⁷)

1

Les formules suivantes sont hors programme.

argth(t) =t+ t³ 3 + t⁵

5 +t⁷

7 +· · ·+ t²ⁿ⁺¹

2n+ 1 +O(t²ⁿ⁺³)

=

n

X

k=0

t^2k+1

2k+ 1 +O(t²ⁿ⁺³)

arcsin(t) =t+ t³

6 +· · ·+1×3× · · · ×(2n−1) 2×4× · · · ×(2n)

t²ⁿ⁺¹

2n+ 1 +O(t²ⁿ⁺³)

=t+

n

X

k=1

1×3× · · · ×(2k−1) 2×4× · · · ×(2k)

t^2k+1

2k+ 1 +O(t²ⁿ⁺³)

argsh(t) =t− t³

6 +· · ·+ (−1)ⁿ1×3× · · · ×(2n−1) 2×4× · · · ×(2n)

t²ⁿ⁺¹

2n+ 1 +O(t²ⁿ⁺³)

=t+

n

X

k=1

(−1)^k1×3× · · · ×(2k−1) 2×4× · · · ×(2k)

t^2k+1

2k+ 1 +O(t²ⁿ⁺³)

2