Lyc´ee Pierre de Fermat D´eveloppements limit´es MPSI 1
D´ eveloppements limit´ es usuels
1 D´ eveloppements limit´ es au voisinage de 0 de fonctions de classe C
∞obtenus en appliquant la formule de Taylor-Young.
ex =
x→0 1 +x+x2 2 +x3
6 +x4 24+ x5
120+ x6
720+o(x6) ex= lim
n→+∞
n
X
k=0
xk k!
x→0=
n
X
k=0
xk
k! +o(xn)
ch(x) =
x→0 1 + x2 2 +x4
24+ x6
720+o(x7) ch(x) =ex+e−x
2
x→0=
n
X
k=0
x2k
(2k)!+o(x2n+1)
sh(x) =
x→0 x+x3 6 + x5
120+o(x6) sh(x) = ex−e−x
2
x→0=
n
X
k=0
x2k+1
(2k+ 1)! +o(x2n+2) cos(x) =
x→0 1−x2 2 +x4
24− x6
720+o(x7) cos(x) = eix+e−ix 2
x→0=
n
X
k=0
(−1)k x2k
(2k)!+o(x2n+1) sin(x) =
x→0 x−x3 6 + x5
120+o(x6) sin(x) =eix−e−ix
2i
x→0=
n
X
k=0
(−1)k x2k+1
(2k+ 1)!+o(x2n+2) 1
1 +x =
x→0 1−x+x2−x3+x4−x5+x6+o(x6)
x→0=
n
X
k=0
(−1)kxk+o(xn) 1
1−x =
x→0 1 +x+x2+x3+x4+x5+x6+o(x6)
x→0=
n
X
k=0
xk+o(xn)
√1 +x =
x→0 1 + x 2 −x2
8 +x3 16 −5x4
128+7x5
256−21x6
1024+o(x6)
√1−x =
x→0 1−x 2 −x2
8 −x3 16 −5x4
128−7x5
256−21x6
1024+o(x6)
√ 1
1 +x =
x→0 1−x 2 +3x2
8 −5x3
16 +35x4
128 −63x5
256 +231x6
1024 +o(x6)
√ 1
1−x =
x→0 1 + x 2 +3x2
8 +5x3
16 +35x4
128 +63x5
256 +231x6
1024 +o(x6)
∀α∈R∗,(1 +x)α =
x→0 1 +αx+α(α−1)
2 x2+α(α−1)(α−2)
6 x3+α(α−1)(α−2)(α−3)
24 x4+o(x4)
x→0=
n
X
k=0
α k
xk+o(xn) o`u∀p∈N, α
p
= α(α−1)(α−2). . .(α−p+ 1) p!
Observons que, lorsqueα∈N, la fonction consid´er´ee est polynomiale et la partie r´eguli`ere duDLn(0) co¨ıncide avec la fonction d`es que l’ordrendu DL est sup´erieur ou ´egal `aα.
Par ailleurs, appliqu´e pourα← −1,α← 1
2 etα← −1
2, ce dernier DL redonne 3 des 6 DL pr´ec´edents.
1
2 D´ eveloppements limit´ es obtenus par int´ egration.
ln(1 +x) =
x→0 x−x2 2 +x3
3 −x4 4 +x5
5 −x6
6 +o(x6) (ln(1 +x))′ = 1 1 +x
x→0=
n
X
k=1
(−1)k+1xk
k +o(xn) ln(1−x) =
x→0 −x−x2 2 −x3
3 −x4 4 −x5
5 −x6
6 +o(x6) (ln(1−x))′ =− 1 1−x
x→0= −
n
X
k=1
xk
k +o(xn) Arctan(x) =
x→0 x−x3 3 +x5
5 +o(x6) (Arctan(x))′ = 1
1 +x2
x→0=
n
X
k=0
(−1)kx2k+1
2k+ 1+o(x2n+2) Arcsin(x) =
x→0 x+1 2
x3 3 +3
8 x5
5 +o(x6) (Arcsin(x))′= 1
√1−x2
x→0= x+
n
X
k=1
1.3.5. . .(2k−1) 2.4.6. . .(2k)
x2k+1
2k+ 1+o(x2n+2) Arccos(x) =
x→0+
π
2 −Arcsin(x) en 0+, `a droite en 0 Argth(x) =
x→0 x+x3 3 +x5
5 +o(x6) (Argth(x))′= 1
1−x2
x→0=
n
X
k=0
x2k+1
2k+ 1 +o(x2n+2) Argsh(x) =
x→0 x−1 2
x3 3 +3
8 x5
5 +o(x6) (Argsh(x))′= 1
√1 +x2
x→0= x+
n
X
k=1
(−1)k1.3.5. . .(2k−1) 2.4.6. . .(2k)
x2k+1
2k+ 1 +o(x2n+2)
Ces d´eveloppements limit´es peuvent ˆetre compl´et´es par le d´eveloppement g´en´eralis´e suivant (qui peut apparaˆıtre comme le d´eveloppement limit´e `a droite de 0, en 0+, dex7→Argch(1 +x)
√x ) :
Argch(1 +x) =
x→0+
√2√ x−
√2 12x√
x+3√ 2 160x2√
x−5√ 2 896x3√
x+ 35√ 2 18432x4√
x+o(x5)
3 Compl´ ements.
th(x) =
x→0 x−x3 3 +2x5
15 −17x7
315 +o(x8) tan(x) =
x→0 x+x3 3 +2x5
15 +17x7
315 +o(x8)
2
