Lyc´ee Benjamin Franklin PT−2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
TP n˚1
D´ eveloppements limit´ es
Exercice 1 : Soit la fonctionf:x7→cos(ex−1).
1. Affecter la fonctionf dans une variable nomm´eef.
Mot cl´e : ->.
2. Affecter la courbe repr´esentative de la fonctionf dans une variable nomm´eeC_f. On choisira [−1,1]×[0,2]
comme fenˆetre graphique et rouge comme couleur.
Mot cl´e : plot.
3. (a) Justifier que la fonctionf admet un DL `a tout ordre en 0.
(b) Calculer,sans utiliser Maple, le DL `a l’ordre 3 def en 0.
4. (a) Calculer, `a l’aide de Maple, le DL `a l’ordre 3 de f en 0 et l’affecter dans une variable nomm´ee DL3_f_en_0. On utilisera la commandetayloret on justifiera pourquoi un des arguments de l’appel de la commande taylorest un 4 et non un 3.
(b) Extraire de la variableDL3_f_en_0le polynˆome de Taylor de degr´e 3 def en 0 et l’affecter dans une variable nomm´eePoly_Taylor3_f_en_0.
Mot cl´e : convert.
(c) Affecter la courbe repr´esentative du polynˆome de Taylor de degr´e 3 de f en 0 dans une variable nomm´eeC_Poly_Taylor3_f_en_0. On choisira [−1,1]×[0,2] comme fenˆetre graphique et bleu comme couleur.
5. Afficher sur un mˆeme graphique les courbes repr´esentatives def et du polynˆome de Taylor de degr´e 3 de f en 0.
Mot cl´e : display.
6. Pour chaque entier n∈J1,5K, afficher sur un mˆeme graphique :
• la courbe repr´esentative de f;
• la courbe repr´esentative du polynˆome de Taylor de degr´endef en 0.
On demande donc 5 graphiques diff´erents, chacun comportant deux courbes.
Mot cl´e : for.
7. Commenter.
Exercice 2 : Soit la fonctionf:x7→ x2−1 xln(x).
1. Affecter la fonctionf dans une variable nomm´eef.
2. Pr´eciser le domaine de d´efinition de la fonctionf. 3. D´eterminer que la fonctionf admet une limite en +∞.
Mot cl´e : limit.
4. Montrer quef n’est pas prolongeable par continuit´e en 0 `a droite.
5. Montrer que la fonction f est prolongeable par continuit´e en 1.
6. Soit g le prolongement par continuit´e de la fonction f en 1. Affecter la fonction g dans une variable nomm´eeg.
7. Calculer le DL `a l’ordre 2 def en 1 et l’affecter dans une variable nomm´eeDL2_f_en_1.
8. Retrouver `a partir de la question 7 le r´esultat de la question 5.
9. D´eduire de la question 8 :
(a) une ´equation de la tangente `a la courbe repr´esentative degau point d’abscisse 1 ; (b) la position relative locale de cette tangente et de la courbe repr´esentative deg.
10. V´erifier graphiquement le r´esultat donn´e `a la question 9.(b).
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Exercice 3 : Soit la fonctionf:x7→ x2
x+ 4 arcsin
r x 2x+ 6
. 1. Pr´eciser le domaine de d´efinition def.
2. ´Etudier la branche infinie def au voisinage de +∞. Mot cl´e : asympt.
3. V´erifier graphiquement le r´esultat donn´e `a la question 3.
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