L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1 − 2011-2012
D. Blotti`ere Math´ematiques
Devoir surveill´ e n˚4
Dur´ee : 3 heures
L’usage de la calculatrice est interdit.
Le bar`eme prendra significativement en compte :
• la pr´esentation,
• la clart´e des explications,
• le soin port´e `a l’argumentation des r´eponses,
• la justesse du vocabulaire et des symboles employ´es.
Questions de cours
1. Soit (S) un syst`eme lin´eaire. Que signifie l’assertion (S) est un syst`eme de Cramer? 2. Que peut-on dire d’un syst`eme lin´eaire homog`ene, de Cramer ?
3. Soit n∈N. ´Enoncer la relation du cours liant (n+ 1)! etn!.
4. Calculer le coefficient binomial 8 5
!
.
5. Soit E l’ensemble {a, b, c, d, e, f, g, h}. Combien d’´el´ements poss`ede l’ensemble P(E) des parties de E?
6. Est-il vrai qu’une suite qui diverge vers +∞ est croissante ?
7. ´Enoncer le th´eor`eme du cours sur le comportement asymptotique d’une suite monotone.
8. Donner la d´efinition de deux suites adjacentes.
9. ´Enoncer le th´eor`eme des suites adjacentes.
10. Donner un exemple de suite born´ee et divergente.
Exercice 1 : Spectre d’un polynˆ ome de degr´ e 3
Soit P le polynˆome d´efini par :
P = 6X3+ 19X2+ 2X−3.
1. CalculerP(1), P(−2) et P(−3).
2. D´eterminer une factorisation de P sous la forme : P =Q1Q2
o`u Q1 est un polynˆome de degr´e 1 `a coefficients r´eels, Q2 est un polynˆome de degr´e 2 `a coefficients r´eels.On expliquera soigneusement la d´emarche et on explicitera les polynˆomes Q1 et Q2 obtenus.
3. D´eterminer le spectre de P (i.e. l’ensemble form´e de toutes les racines de P).
1
Exercice 2 : ´ Etude d’une suite arithm´ etico-g´ eom´ etrique
Soit (un)n∈N∗ la suite d´efinie par :
u1 =−2 et
∀n∈N∗, un+1 = 2
3un+ 1.
1. (a) Donner une expression de un en fonction de n, pour tout n∈N∗. (b) Montrer que la suite (un)n∈N∗ est strictement croissante.
(c) D´eterminer le comportement asymptotique de la suite (un)n∈N∗. 2. Pour tout n∈N∗, on pose :
Sn =
n
X
k=1
uk.
(a) Exprimer Sn en fonction de n, pour tout n∈N∗.
(b) ´Etudier le comportement asymptotique de la suite (Sn)n∈N∗.
Exercice 3 : ´ Etude du comportement asymptotique de trois suites
1. ´Etudier le comportement asymptotique de la suite (un)n∈N d´efinie par :
∀n∈N, un= 4n3+ 3n2+ 2n+ 1 1 + 3n−n2 .
2. ´Etudier le comportement asymptotique de la suite (vn)n∈N d´efinie par :
∀n∈N, vn = 2n+n 4n+ 1.
3. ´Etudier le comportement asymptotique de la suite (wn)n∈N∗ d´efinie par :
∀n∈N∗, wn= (−1)n
Ç
1 + 1 n
å
.
Exercice 4 : Preuve combinatoire de la formule de Vandermonde
Dans une assembl´ee, se trouvent r´eunis a hommes et b femmes (a, b∈N∗). Soit n∈J0, a+bK. On note :
• E l’ensemble des groupes constitu´es de n personnes choisies dans l’assembl´ee
• Ekl’ensemble des groupes denpersonnes choisies dans l’assembl´ee, qui comportent (exac- tement) k hommes (k∈J0, nK).
1. Donner une relation entre Card(E),Card(E0),Card(E1), . . . ,Card(En).Justifier avec soin la r´eponse.
2
2. Calculer Card(E).
3. Calculer Card(Ek), pour tout k ∈J0, nK. Justifier avec soin la r´eponse.
4. En d´eduire que :
n
X
k=0
a k
! b n−k
!
= a+b n
!
(formule de Vandermonde).
5. Que vaut
n
X
k=0
n k
!2
?
Probl` eme : ´ Etude d’une suite d´ efinie par r´ ecurrence
On se propose d’´etudier la suite (un)n∈N d´efinie par :
u0 = 2 et
∀n ∈N, un+1 = un−6 2un−7.
Partie A : ´Etude de la fonction sous-jacente
Soit f la fonction d´efinie par :
f: x7→ x−6 2x−7.
1. D´eterminer le domaine de d´efinition Df de la fonction f.
2. ´Etudier le signe de f(x)−xpour tout x∈ Df et interpr´eter graphiquement l’´etude.
3. Montrer que :
∀x∈ Df, ∀y ∈ Df, f(x)−f(y) = (x−y) 5
(2x−7)(2y−7).
4. Montrer que f est strictement croissante sur
ô
−∞,7 2
ñ
. 5. Montrer que l’intervalle [1,2] est stable par f, i.e. que :
∀x∈[1,2], f(x)∈[1,2].
6. (a) Montrer que :
∀x∈[1,2], |2x−7| ≥3.
(b) En d´eduire que :
∀x∈[1,2], ∀y ∈[1,2],
5
(2x−7)(2y−7)
≤ 5 9 puis que :
∀x∈[1,2], ∀y∈[1,2], |f(x)−f(y)| ≤ 5
9 |x−y|.
3
Partie B : Variations et comportement asymptotique de la suite (un)n∈N
1. Montrer que la suite (un)n∈N est bien d´efinie et que :
∀n∈N, un∈[1,2].
2. Montrer que la suite (un)n∈N est d´ecroissante.
3. Justifier la convergence de la suite (un)n∈N. 4. D´emontrer que lim
n→+∞un = 1.
Partie C : Contrˆole g´eom´etrique de la convergence de la suite (un)n∈N
On souhaite `a pr´esent d´emontrer par une autre m´ethode que la suite (un)n∈N converge vers 1, mais aussi obtenir un contrˆole g´eom´etrique de l’´ecart entre les termes de la suite (un)n∈N et 1.
1. D´eduire de r´esultats des parties pr´ec´edentes que :
∀n∈N, 0≤un+1−1≤ 5
9(un−1).
2. Montrer par r´ecurrence que :
∀n ∈N, 0≤un−1≤
Ç5 9
ån
.
3. D´eduire de 2. que la suite (un)n∈N converge et que lim
n→+∞un = 1.
4
