Universit´e de Cergy-Pontoise Dur´ee 4 heures
Math´ematiques L2 Mr Hebey
Alg`ebre Bilin´eaire et Int´egration - Janvier 2015
Les documents et les calculatrices ne sont pas autoris´es. Le barˆeme est donn´e `a titre indicatif. Toute note sup´erieure `a 20 sera ramen´ee `a 20.
Questions de cours: (1)(1pt) Enoncer le th´eor`eme du rang.
(2)(1pt) Enoncer le th´eor`eme de Sylvester.
(3)(1pt) Enoncer le th´eor`eme de diagonalisation des endomorphismes sym´etriques.
Exercice 1: SoitE unR-espace vectoriel de dimension 3, etB = (e1, e2, e3) une base deE. On notef, g∈End(E) les endomorphismes deEd´efinis par
f x1e1+x2e2+x3e3
= −x1+x2+x3
e1+ x1+ 2x2−x3
e2+ x1−x2+x3
e3
g x1e1+x2e2+x3e3
= 2x1−2x2+x3
e1+ 2x1−3x2+ 2x3
e2− x1−2x2
e3
pour tous x1, x2, x3 ∈ R. On veut montrer danse cet exercice que f et g sont diagonalisables. On ne demande pas de les diagonaliser.
(1) (1pt) Ecrire la matrice de repr´esentationMBB(f) de f dans B. Peut-on d´ej`a affirmer quef est diagonalisable ? Pourquoi ?
On se propose maintenant de montrer queg est elle aussi diagonalisable.
(2) (2,5pts) Ecrire la matrice de repr´esentation MBB(g) de g dans B, calculer le polynˆome caract´eristique deg, et d´eterminer les valeurs propres deg.
(3) (2,5pts) D´eterminer les sous-espaces propres de g par le calcul de bases pour ces espaces propres. Montrer quegest diagonalisable.
Exercice 2: SoitE unR-espace vectoriel de dimension 3, etB = (e1, e2, e3) une base deE. On noteB la forme bilin´eaire surE d´efinie par
B(x, y) =x1y1+ 6x2y2+ 56x3y3−2(x1y2+x2y1) + 7(x1y3+x3y1)−18(x2y3+x3y2) pour tousx=P3
i=1xiei ety =P3 i=1yiei. (1)(1pt) Ecrire la matriceMB(B) deB dansB.
(2)(1pt) Montrer que les vecteurs ˜e1=e1, ˜e2= 2e1+e2, et ˜e3=−3e1+ 2e2+e3
forment une base ˜BdeE.
(3) (1pt) Ecrire la matrice de passage de la base B `a la base ˜B. En d´eduire la matriceMB˜(B) deB dans ˜B.
(4)(1pt) SiQest la forme quadratique associ´ee `a B, donner les expressions deQ dans les basesBet ˜B. Que vaut la signature deQ?
Exercice 3: Etudier la convergence des int´egrales g´en´eralis´ees suivantes:
(1pt)I1= Z +∞
0
x+ 2
x3+ 1dx , (1pt)I2= Z +∞
0
x+ 3 x2+ 1dx , (1,5pt)I3=
Z 2π
0
cos(x)
x dx , (1,5pt)I4= Z +∞
0
x+ 1
√x(x2+ 2)dx . Justifier vos r´eponses.
1
2
Exercice 4: On consid`ere, pour toutxr´eel, l’int´egrale F(x) =
Z π/2
0
cos(xsint)dt . (1)(1,5pt) Montrer que la fonctionF est continue surR. (2)(1,5pt) Montrer queF est d´erivable surRet calculerF0(x).
Exercice 5: (3pts) Calculer les int´egrales multiples I=
Z Z
D1
cos(x+y)dxdy et J = Z Z
D2
x2ydxdy o`u D1 ⊂ R2 est donn´e par D1 = n
(x, y) ∈ R2 / 0 ≤ x≤ π et 0 ≤ y ≤ π2o , et D2⊂R2est donn´e parD2=n
(x, y)∈R2 /0≤y≤x≤1o .
