Formule de Taylor, d´ eveloppements limit´ es

Universit´e Paris Descartes

UFR de Math´ematiques et Informatique 45, rue des Saints-P`eres, 75006, Paris.

Licence 1`ere ann´ee, 2012-2013,Math´ematiques et Calcul 1 (MC1)

Feuille de TD n 6 :

Formule de Taylor, d´ eveloppements limit´ es

Exercice 1

1) Retrouver l’expression de la d´eriv´ee de Arcsin.

2) En utilisant la formule de Taylor, calculer le d´eveloppement limit´e de Arcsin `a l’ordre 2 en 0.

Exercice 2

1) A partir de la d´eriv´ee de sin et cos, retrouver l’expression de la d´eriv´ee de tan.

2) En d´eduire la d´eriv´ee de Arctan.

3) En utilisant la formule de Taylor calculer le d´eveloppement limit´e de la d´eriv´ee de Arctan au voisinage de 0, `a l’ordre 4. En d´eduire le d´eveloppement limit´e de Arctan `a l’odre 5 au voisinage de 0.

Exercice 3

1) Rappeler le d´eveloppement limit´e de ln(1 +x) au voisinage de 0, `a l’ordre 4, et le d´eveloppement limit´e de cosxau voisinage de 0, `a l’ordre 4.

2) En d´eduire le d´eveloppement limit´e de ln(cosx) au voisinage de 0 `a l’ordre 4.

Exercice 4

Donner le d´eveloppement limit´e au voisinage de 0 des fonctions suivantes : 1) _1−x¹ −e^x `a l’ordre 3.

2) ln (1 +x(x−1)) `a l’ordre 5.

3) _1+3x^sinx `a l’ordre 3.

4) sinxcos(2x) `a l’ordre 6.

5) ^sin_1−x^2x₂ `a l’ordre 4.

6) ^(1−cos_x2^x)2 `a l’ordre 5.

7) sh(x²) ch(x) `a l’ordre 3 Exercice 5

Calculer le d´eveloppement limit´e au voisinage de 0 de 1) ^3x2_1+x^+3x+2₂ `a l’ordre 4.

2) _2+3x+x^3x+12 `a l’ordre 3.

Exercice 6

1) Calculer le d´eveloppement limit´e au voisinage de 0 de `a l’ordre 4 de <sub>1−x</sub><sup>ln(1+x)</sup><sub>2+x4</sub>. 2) En d´eduire le d´eveloppement limit´e au voisinage de 0 `a l’ordre 4 de (1 +x)^{1−x2 +x1 4}. Exercice 7

1) Calculer le d´eveloppement limit´e dee^{xsin2 x}−e^1−cosx`a l’ordre 4, au voisinage de 0.

2) En calculant le d´eveloppement limit´e de ^xsinx₂ −(1−cosx) au voisinage de 0 `a un ordre suffisant, d´eterminer la limite en 0 de :

e^{xsin2 x}−e^1−cosx

xsinx

2 −(1−cosx). Exercice 8

Calculer les d´eveloppements limit´es suivants : 1) ln(_1+x¹ ) en 0, `a l’ordre 3.

2) exp (sinx) en 0, `a l’ordre 4.

1

2

3) ln(4−8x+x²) en 0, `a l’ordre 4.

Exercice 9Vrai ou faux ?

1) Sif admet un d´eveloppement limit´e d’ordrekau voisinage de 0, alorsf⁰ admet un d´eveloppement limit´e d’ordre (k−1) au voisinage de 0.

2) Sif1∼g1 etf2∼g2 alorsf1−f2∼g1−g2. 3) Sif₁∼g₁ etf₂∼g₂ alorsf₁f₂∼g₁g₂.

4) Sifposs`ede un d´eveloppement limit´e au voisinage dea`a l’ordren, alorsfposs`ede un d´eveloppement limit´e au voisinage dea`a l’ordrekpour toutk6n.

5) Sif ∈ Cⁿ([−1,1]), alors quandx→0, on a f(x) =f(0) +xf⁰(0) +x²

2 f⁽²⁾(0) +· · ·+xⁿ

n!fⁿ(0) +o(xⁿ).

Exercice 10

D´eterminer les limites suivantes : 1) lim

x→0

e^x−e^−x

sinx 2) lim

x→0

e^x−sinx−1

shx−Arcsinx 3) lim

x→¹₂(2x²−3x+ 1) tan(πx) 4) lim

x→+∞

cos1

x xlnx

5) lim

x→0

cosx−1−ln(1−^x₂²)

x⁴ 6) lim

x→0

(e^x2−1 + sin²x)

x² 7) lim

x→a

a^x−b^x

x , (aetb∈R^?+ sont fix´es).

Exercice 11

Soitf la fonction d´efinie sur Rpar

f(x) = ln(x²+ 2x+ 2). 1) Effectuer un d´eveloppement limit´e def en 0, `a l’ordre 3.

1) En d´eduire l’´equation de la tangente `a la courbe repr´esentative de f au point de coordonn´ees (0, f(0)).

2) ´Etudier la position relative de la courbe et de la tangente au voisinage de ce point. Que peut-on dire du point de coordonn´ees (0, f(0)) ?

Exercice 12

Soitf la fonction d´efinie par

f(x) =p

x²+ 1 +p x²−1.

1) `A l’aide des d´eveloppements limit´es, prouver que la courbe repr´esentative defadmet une asymptote oblique dont on donnera une ´equation.

2) ´Etudier la position de la courbe par rapport `a son asymptote.

Exercice 13 Soit

f :x7→ 1−^sin_x^x 1−cosx. 1) Quel est le domaine de d´efinition def?

2) Donner le d´eveloppement limit´e def en 0, `a l’ordre 2.

3) Calculer la limite def en 0. En d´eduire quef est prolongeable par continuit´e en 0.

Exercice 14

Si une fonction est n fois d´erivable en 0, alors elle admet un d´eveloppement limit´e `a l’ordre nen 0.

Nous allons montrer que la r´eciproque est fausse. Soitf la fonction d´efinie surRpar : (f(0) = 0

f(x) =x³sin(_x¹₂), ∀x6= 0.

1) Montrer que f est d´erivable surRet calculer sa d´eriv´ee.

2) Montrer que f n’est pas deux fois d´erivable sur R.

3) En utilisant |f(x)|6|x|³, montrer quef admet un d´eveloppement limit´e `a l’ordre 2 en 0.