2 D´ eveloppements limit´ es (DL) au voisinage de 0

(1)

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2011-2012

D. Blotti`ere Math´ematiques

Chapitre XVII

D´ eveloppements limit´ es

Table des mati` eres

1 Notation de Landau 2

2 D´eveloppements limit´es (DL) au voisinage de 0 3

2.1 D´efinition d’un DL au voisinage de 0 . . . 3

2.2 Une application de la théorie des DL : l’étude d’une (éventuelle) limite . . . 4

2.3 Interpr´etation de l’existence d’un DL `a l’ordre 0 . . . 4

2.4 Interpr´etation de l’existence d’un DL `a l’ordre 1 . . . 4

2.5 Remarque sur la nature locale d’un DL en 0 . . . 4

3 Propriétés des développements limités 5 4 Formule de Taylor-Young et DL usuels en 0 6 5 Opérations sur les DL en 0 7 5.1 Combinaison linéaire de DL en 0 . . . 7

5.2 Multiplication de DL en 0 . . . 7

5.3 Composition de DL en 0 . . . 7

5.4 Inverse de DL en 0 . . . 8

5.5 Int´egration de DL en 0 . . . 8

6 Développements limités au voisinage dex0∈R 8 7 Fonctions équivalentes au voisinage de a∈R 9 8 Une application des DL : étude d’une branche infinie de courbe 10 8.1 Rappel sur les branches infinies de courbes . . . 10

8.2 Etude d’une branche infinie de courbe `´ a l’aide des DL . . . 11

(2)

Notation :On poseR=R∪ {−∞,+∞}.

1 Notation de Landau

Définition (voisinage épointé d’un point deR)

1. Un voisinage épointé de +∞est une partie deRcontenant un intervalle du type ]a,+∞[, oùa∈R. 2. Un voisinage épointé de−∞est une partie deRcontenant un intervalle du type ]− ∞, b[, oùb∈R. 3. Un voisinage épointé dex0∈Rest une partie deRcontenant un intervalle du type ]x0−δ, x0[∪]x0, x0+δ[

o`uα >0.

Exemple 1

1. ]1,+∞[ est un voisinage ´epoint´e de +∞.

2. ]− ∞,−2] est un voisinage ´epoint´e de−∞.

3. R^∗ est un voisinage ´epoint´e de 0.

Notation :Dans toute la suite de cette partie, on fixea∈R.

Remarque 1 : Si une fonctionf est définie sur un voisinage épointé dea, alors on peut considérer la limite

´

eventuelle def ena. En effet la fonctionf est d´efinieautour de a, aexclu.

D´efinition (fonction n´egligeable devant une autre fonction au voisinage de a)

Soientf et gdeux fonctions définies sur un même domaineD, qui est un voisinage épointé dea.

On suppose queg ne s’annule par sur un voisinage ´epoint´e dea.

1. On dit quef est n´egligeable devantg au voisinage deasi :

cas o`ua /∈ D cas o`u a∈ D

f(x) g(x) →

x→a0 f(a) = 0 et f(x) g(x) →

x→a0.

2. Sif est n´egligeable devant gau voisinage dea, alors on ´ecrit : f =

a o(g) ou f(x) =

x→ao(g(x)) (notations de Landau).

Exemple 2

1. Soitf une fonction définie sur un voisinage épointé dea. Que signifief(x) =

x→ao(1) ? On distinguera les cas o`ua /∈ Det o`ua∈ D.

2. Montrer quex =

x→+∞o(x³).

3. Montrer quex³ =

x→0o(x).

4. Justifier que :

∀n∈N^∗, ln(x) =

x→+∞o(xⁿ).

5. Montrer quee^x =

x→01 +x+o(x)

(3)

Th´eor`eme 1 (comportement des puissances de xau voisinage de0) :Soientn, m∈N. Si n < m, alors :x^m =

x→0o(xⁿ).

Preuve du th´eor`eme 1

Exemple 3

Théorème 2 (produit et fonctions négligeables) : Soient f1, f2, g1, g2 quatre fonctions définies sur un voisinage épointé dea. On suppose queg1 etg2ne s’annulent par sur un voisinage épointé dea.

Sif1(x) =

x→ao(g1(x)) etf2(x) =

x→ao(g2(x)) alors : f₁(x)f₂(x) =

x→ao(g₁(x)g₂(x)).

Exemple 4

1. Montrer que : sin(x) =

x→+∞o(x).

2. Justifier que :x =

x→+∞o(e^x).

3. En d´eduire que :xsin(x) =

x→+∞o(xe^x).

Attention :Sif₁(x) =

x→ao(g₁(x)) etf₂(x) =

x→ao(g₂(x)) alorsen g´en´eral, on n’a pas :f₁+f₂ =

x→ao(g₁+g₂).

Voici un contre-exemple. On ax =

x→0o(1) etx =

x→0o(x−1) mais 2xn’est pas n´egligeable devantxau voisinage de 0.

Théorème 3 (somme de deux fonctions négligeables devant la même troisième) :Soientf₁, f₂, gtrois fonctions définies sur un voisinage épointé dea. On suppose que g ne s’annule par sur un voisinage épointé de a.

Sif₁(x) =

x→ao(g(x)) etf₂(x) =

x→ao(g(x)) alors :

f1(x) +f2(x) =

x→ao(g(x)).

Exemple 5 :x² =

x→0o(x) et x³ =

x→0o(x) doncx²+x³ =

x→0o(x).

2 D´ eveloppements limit´ es (DL) au voisinage de 0

2.1 D´ efinition d’un DL au voisinage de 0

Définition (DL en 0 à l’ordren) :Soitf une fonction définie sur un voisinage épointé de 0. Soitn∈N. On dit quef admet un DL en 0 à l’ordrens’il existe (n+ 1) nombres réelsa0, a1, . . . , an tels que :

∀x∈ Df, f(x) =

x→0a0+a1x+a2x²+. . .+anxⁿ+o(xⁿ).

Exemple 6

1. x7→sin(x) admet un DL en 0 `a l’ordre 1. En effet : sin(x) =

x→0x+o(x).

(4)

2. x7→ln(1 +x) admet un DL en 0 `a l’ordre 1. En effet : ln(1 +x) =

x→0x+o(x).

3. x7→cos(x) admet un DL d’ordre 2 au voisinage de 0. En effet : cos(x) =

x→01−x²

2 +o(x²).

2.2 Une application de la th´ eorie des DL : l’´ etude d’une (´ eventuelle) limite

Exemple 7 :A l’aide des DL obtenus dans l’exemple 6, d´` emontrer que : ln(1 +x)

sin(x) →

x→01 et 1−cos(x) sin(x) →

x→00.

2.3 Interpr´ etation de l’existence d’un DL ` a l’ordre 0

Soitf une fonction admettant un DL en 0, `a l’ordre 0.

Il existe donca0∈Rtel que :

∀x∈ Df, f(x) =

x→0a0+o(1).

L’existence de ce DL en 0 `a l’ordre 0 s’interpr`ete comme suit.

• Cas o`u 0∈ Df : la fonction f est donc continue en 0 et on af(0) =a₀.

• Cas o`u 0∈ D/ _f : la fonction f est donc prolongeable par continuit´e en 0 en posantf(0) =a₀.

2.4 Interpr´ etation de l’existence d’un DL ` a l’ordre 1

Soitf une fonction d´efinie au voisinage de 0 admettant un DL en 0 `a l’ordre 1. Il existe donca0, a1 ∈Rtels que :

∀x∈ Df, f(x) =

x→0a₀+a₁x+o(x).

L’existence de ce DL `a l’ordre 1 en 0 s’interpr`ete comme suit.

• Cas o`u 0∈ Df : la fonction f est d´erivable (donc continue) en 0. On a f(0) =a0 etf⁰(0) =a1.

• Cas où 0∈ D/ f: la fonctionf est prolongeable par continuité en 0 en posantf(0) =a0. De plus, la fonction f ainsi prolongée est dérivable en 0 et on af⁰(0) =a1.

2.5 Remarque sur la nature locale d’un DL en 0

Soit n ∈ N^∗. Soit f une fonction admettant un DL en 0 `a l’ordre n. Il existe donc (n+ 1) nombre r´eels a0, a1, . . . , an tels que :

∀x∈ Df, f(x) =

Ce DL peut nous livrer des informations sur le comportement def localement au voisinage de 0 :

• continuit´e en 0 et valeur def(0) ;

• d´erivabilit´e en 0 et valeur def⁰(0) ;

• équation de la tangenteT à la courbe représentativeC_f def dans un repère du plan au point d’abscisse 0 ;

• position relative deT et deCf localement au voisinage de 0.

Maisen aucun cas, on ne peut d´eduire du DL def en0 `a l’ordrendes informations de natures globales, telles que :

• sens de variation def surDf;

• extrema def surDf.

(5)

3 Propri´ et´ es des d´ eveloppements limit´ es

Théorème 4 (unicité d’un DL) :Soitn∈N.

Soienta0, a1, . . . , an ∈Ret b0, b1, . . . , bn ∈R. S’il existe un voisinage ´epoint´eV0 de 0 tel que :

∀x∈V0, a0+a1x+a2x²+. . .+anxⁿ+o(xⁿ) =

x→0b0+b1x+b2x²+. . .+bnxⁿ+o(xⁿ) alorsa₀=b₀,a₁=b₁,a₂=b₂,. . .,a_n=b_n.

Définition (partie principale d’un DL) :Soitn∈N. Soitf une fonction admettant un DL en 0, à l’ordre n. Il existe donc (n+ 1) nombres réelsa₀, a₁, . . . , a_n tels que :

∀x∈ Df, f(x) =

x→0a0+a1x+a2x²+. . .+anxⁿ

| {z }

partie principale

+o(xⁿ).

Les coefficientsa0, a1, . . . , an sont uniques (d’après le théorème 4). Le polynôme P =a0+a1X+a2X²+. . .+anXⁿ est appelé partie principale du DL def en 0 à l’ordren.

Exemple 6 (suite) : Nous avons vu que x7→cos(x) admet un DL en 0 `a l’ordre 2 et que celui-ci est donn´e par :

cos(x) =

x→01−x²

2 +o(x²).

La partie principale de ce DL est 1−X² 2 .

Théorème 5 (troncature d’un DL) :Soitn∈N. Soitf une fonction admettant un DL en 0, à l’ordren. Il existe donca0, a1, . . . , an∈Rtels que :

f(x) =

Alors pour toutm∈J0, nK,f admet un DL à l’ordrem(à un ordre plus petit quendonc) au voisinage de 0 et celui-ci et donné par :

f(x) =

x→0 a0+a1x+a2x²+. . .+amx^m

| {z }

tronqu´e dea0+a1x+a2x²+. . .+anxⁿ`a l’ordrem

+o(x^m).

Exemple 6 (suite) :Du DL en 0 à l’ordre 2 dex7→cos(x) obtenu ci-avant, on déduit quex7→cos(x) admet un DL en 0 à l’ordre 1 et que celui-ci est donné par :

cos(x) =

x→01 +o(x).

Théorème 6 (DL d’une fonction paire (resp. impaire) en 0) : Soit f une fonction définie sur une voisinage épointé de 0, symétrique par rapport à 0. Soitn∈N. On suppose quef admet un DL en 0 à l’ordre n.

1. Sif est une fonction paire alors seules des puissances paires de xapparaissent dans la partie principale de son DL.

2. Sif est une fonction impaire alors seules des puissances impaires dexapparaissent dans la partie principale de son DL.

(6)

Exemple 6 (suite) : Dans le DL `a l’ordre 2 en 0 de la fonction (paire)x7→cos(x) : cos(x) =

x→01−x²

2 +o(x²) la puissancexn’apparaˆıt pas.

4 Formule de Taylor-Young et DL usuels en 0

♥ Théorème 7 (formule de Taylor-Young) : Soitf une fonction définie sur un intervalleI =]a, b[ (a, b∈R, a < b). On suppose quef est de classeCⁿ⁺¹ (n∈N) surI.

1. Soitx0∈I. On a :

∀x0∈I, f(x) =

x→x0

n

X

i=0

f⁽ⁱ⁾(x0)

i! (x−x0)ⁱ+o((x−x0)ⁿ).

2. En particulier, si 0∈I, on a :

∀x∈I, f(x) =

x→0 f(0) +f⁰(0)x+f⁰⁰(0)x²

2 +f⁰⁰⁰(0)x³

3! +. . .+f⁽ⁿ⁾(0)xⁿ n!

| {z }

polynˆome de Taylor = partie principale

+o(xⁿ) (DL en 0 `a l’ordren).

Preuve du théorème 7 :Ce résultat se déduit de la formule de Taylor avec reste intégral.

♥ Th´eor`eme 8 (les DL usuels en 0)

Fonction DL en 0 `a l’ordren(n∈N) DL en 0 `a l’ordre 3

exponentielle e^x =

x→0 n

X

i=0

xⁱ

i!+o(xⁿ) e^x =

x→01 +x+x² 2 +x³

6 +o(x³)

cosinus cos(x) =

x→0 n

X

i=0

(−1)ⁱx²ⁱ

(2i)!+o(x²ⁿ) cos(x) =

x→01−x² 2 +o(x³)

sinus sin(x) =

x→0 n

X

i=0

(−1)ⁱ x²ⁱ⁺¹

(2i+ 1)!+o(x²ⁿ⁺¹) sin(x) =

x→0x−x³ 6 +o(x³).

x7→ 1 1−x

1 1−x =

x→0 n

X

i=0

xⁱ+o(xⁿ) 1

1−x =

x→01 +x+x²+x³+o(x³).

x7→ln(1 +x) ln(1 +x) =

x→0 n

X

i=0

(−1)ⁱ

i+ 1xⁱ⁺¹+o(xⁿ⁺¹) ln(1 +x) =

x→0x−x² 2 +x³

3 +o(x³).

x7→(1 +x)^α (α∈R)

(1 +x)^α =

x→0 1 +αx +α(α−1)

2 x² +α(α−1)(α−2)

3! x³

+. . .

+α(α−1)(α−2). . .(α−n+ 1)

n! xⁿ

+o(xⁿ)

(1 +x)^α =

x→0 1 +αx +α(α−1)

2 x² +α(α−1)(α−2)

6 x³

+o(x³)

(7)

Exemple 8 :Justifier l’existence du DL en 0 `a l’ordre 3 dex7→√

1 +xet calculer celui-ci.

5 Op´ erations sur les DL en 0

5.1 Combinaison lin´ eaire de DL en 0

Théorème 9 (combinaison linéaire de DLs en 0) :Soitn∈N. Soitf etg deux fonctions définies sur un voisinage épointé de 0 et admettant un DL d’ordrenau voisinage de 0 :

f(x) =

x→0 n

X

i=0

aixⁱ+o(xⁿ) et g(x) =

x→0 n

X

i=0

bixⁱ+o(xⁿ) et soientλetµdeux nombres r´eels.

Alorsλf+µgadmet un DL d’ordrenau voisinage de 0. Celui-ci est donn´e par : λf(x) +µg(x) =

x→0 n

X

i=0

(λai+µbi)xⁱ+o(xⁿ).

Exemple 9 :Justifier quex7→2 sin(x)− 1

1−x admet un DL `a l’ordre 3 en 0 et calculer celui-ci.

5.2 Multiplication de DL en 0

Théorème 10 (multiplication de DLs en 0) :Soitn∈N. Soitf etgdeux fonctions définies sur un voisinage

´

epoint´e de 0 et admettant un DL d’ordrenau voisinage de 0 : f(x) =

x→0 n

X

i=0

aixⁱ

| {z }

P(x)

+o(xⁿ) et g(x) =

x→0 n

X

i=0

bixⁱ

| {z }

Q(x)

+o(xⁿ).

Alorsf gadmet un DL d’ordrenau voisinage de 0. Celui-ci est donn´e par : f(x)g(x) =

x→0R(x) +o(xⁿ)

où R est le polynôme obtenu en ne gardant que les puissances de x inférieures ou égales à n dans le produit P Q.

Exemple 10 : Justifier quex7→ sin(x)

1−x admet un DL `a l’ordre 3 en 0 et calculer celui-ci.

5.3 Composition de DL en 0

Th´eor`eme 11 (composition de DL en 0) :Soitn∈N. Soitf etgdeux fonctions admettant un DL d’ordre nau voisinage de 0 :

f(x) =

x→0 n

X

i=0

aixⁱ

| {z }

P(x)

+o(xⁿ) et g(x) =

x→0 n

X

i=0

bixⁱ

| {z }

Q(x)

+o(xⁿ).

On suppose que :

(A) la compos´eeg◦f est bien d´efinie ; (B) lim

x→0f(x) = 0, i.e. a0= 0.

Alorsg◦f admet un DL d’ordrenau voisinage de 0. Celui-ci est donn´e par : g◦f(x) =

x→0R(x) +o(xⁿ),

oùRest le polynôme obtenu en ne gardant que les puissances dexinférieures ou égales àndans la composition x7→Q◦P(x).

(8)

Exemple 11

1. Justifier quex7→ 1

1 +x admet un DL `a l’ordre 3 en 0 et calculer celui-ci.

2. Justifier quex7→e^sin(x)admet un DL `a l’ordre 3 en 0 et calculer celui-ci.

5.4 Inverse de DL en 0

Th´eor`eme 12 (inverse de DL en 0) : Soit n ∈ N. Soit f une fonction admettant un DL d’ordre n au voisinage de 0 :

f(x) =

x→0 n

X

i=0

a_ixⁱ+o(xⁿ) et telle que lim

x→0f(x)6= 0, i.e. quea₀6= 0. Alors on a au voisinage de 0 :

(?) 1

f(x) =

x→0

1 a₀

1 1 +

a1

a₀x+. . .+an

a₀xⁿ+o(xⁿ)

| {z }

1

a0(f(x)−a0)

.

La fonction 1

f admet un DL d’ordrenau voisinage de 0. On obtient ce DL comme suit, en s’appuyant sur (?).

1. On calcule le DL de 1 a0

(f−a0) d’ordrenau voisinage de 0.

2. On compose le DL obtenu en 1., avec le DL de la fonction x7→ 1

1 +x d’ordrenau voisinage de 0 ; 3. On multiplie enfin le DL obtenu en 2. par 1

a0

pour obtenir le DL de 1

f d’ordrenau voisinage de 0.

Exemple 12

1. Justifier quex7→ 1

cos(x) admet un DL `a l’ordre 4 en 0 et calculer celui-ci.

2. Justifier quex7→ sin(x)

e^x−1 admet un DL `a l’ordre 2 en 0 et calculer celui-ci.

5.5 Int´ egration de DL en 0

Théorème (intégration de DLs en 0) :Soit n∈N. Soitf une fonction définie sur un intervalle I =]a, b[

(a, b∈R, tels quea < b). On suppose que 0∈I, quef admet un DL d’ordrenen 0 : f(x) =

x→0 n

X

i=0

aixⁱ+o(xⁿ) et quef poss`ede une primitiveF surI.

AlorsF poss`ede un DL d’ordre (n+ 1) au voisinage de 0 donn´e par : F(x) =

x→0F(0) +

n

X

i=0

ai

i+ 1xⁱ⁺¹

| {z }

partie principale

+o(xⁿ⁺¹).

Exemple 13 : Justifier quex7→arctan(x) admet un DL en 0 `a l’ordre 5 et calculer celui-ci.

6 D´ eveloppements limit´ es au voisinage de x

₀

∈ R

Définition (DL en x0 à l’ordre n) :Soitf une fonction définie sur un voisinage épointé dex0. Soitn∈N. On dit quef admet un DL enx0 à l’ordrens’il existe (n+ 1) nombres réelsa0, a1, . . . , an tels que :

∀x∈ Df, f(x) =

x→x₀a0+a1(x−x0) +a2(x−x0)²+. . .+an(x−x0)ⁿ+o((x−x0)ⁿ).

(9)

Remarque 2 :Toutes les propriétés précédentes vues pour les DL en 0 admettent des généralisationsévidentes pour les DL enx₀, oùx₀ est un réel quelconque.

Exemple 14 : On se propose de prouver quef:x7→ln(x) admet un DL en 5 `a l’ordre 2 et de le calculer.

1. Résoudre le problème précédent en posant x= 5 +het en ramenant l’étude à celle d’un DL en 0.

2. Résoudre le problème précédent à l’aide de la formule de Taylor-Young.

3. Interpréter géométriquement les résultats obtenus précédemment.

7 Fonctions ´ equivalentes au voisinage de a ∈ R

Notation :Dans cette partie, on fixea∈R.

Définition (fonction équivalente à une autre fonction au voisinage de a) :

Soientf et gdeux fonctions définies sur un même domaineD, qui est un voisinage épointé dea.

1. On dit quef est ´equivalente `a gau voisinage deasi :

cas o`ua /∈ D cas o`u a∈ D

f(x) g(x) →

x→a1 f(a) =g(a) et f(x) g(x) →

x→a1.

2. Sif est équivalente àg au voisinage dea, alors on écrit : f ∼

a g ou f(x) ∼

x→ag(x).

Exemple 15 :

1. Montrer que : x²+x+ 1 ∼

x→+∞x². 2. Montrer que : x−5x³ ∼

x→0x.

3. Montrer que : sin(x) ∼

x→0x.

4. Montrer que : ln(1 +x) ∼

x→0x−x² 2 . Théorème 13 (propriétés des équivalents)

1. Soient f etg deux fonctions définies sur un même domaineD, qui est un voisinage épointé dea.

(a) Sif(x) ∼

x→ag(x) alorsf ne s’annule pas non plus sur un voisinage ´epoint´e dea.

(b) f(x) ∼

x→ag(x)⇐⇒g(x) ∼

x→af(x) (c) f(x) ∼

x→ag(x)⇐⇒f(x)−g(x) =

x→ao(g) (d) Sif(x) ∼

x→ag(x) alors 1 f(x) ∼

x→a

1 g(x).

2. Soient f,g, htrois fonctions définies sur un même domaineD, qui est un voisinage épointé dea.

On suppose queg ethne s’annulent par sur un voisinage ´epoint´e dea.

Si f(x) ∼

x→ag(x) et g(x) ∼

x→ah(x) alorsf(x) ∼

x→ah(x).

3. Soient f1 etg1 deux fonctions définies sur un même domaineD1, qui est un voisinage épointé dea.

Soient f2 etg2 deux fonctions définies sur un même domaineD2, qui est un voisinage épointé dea.

On suppose queg1 et g2ne s’annulent par sur un voisinage ´epoint´e dea.

Si f1(x) ∼

x→ag1(x) etf2(x) ∼

x→ag2(x) alorsf1(x)f2(x) ∼

x→ag1(x)g2(x).

(10)

Théorème 14 (application de la notion d’équivalence à des études de limites) Soientf et gdeux fonctions équivalentes au voisinage dea. Soitb∈R. Alors :

f(x) →

x→ab ⇐⇒ g(x) →

x→ab.

Exemple 16 1. Montrer que :

x²−3x+ 1 4x²−7x+ 2 ∼

x→+∞

1 4 et en d´eduire le comportement asymptotique de x²−3x+ 1

4x²−7x+ 2 quandxtend vers +∞.

2. Montrer que :

x²sin(x) 1−cos(x) ∼

x→02x et en d´eduire le comportement asymptotique de x²sin(x)

1−cos(x) quandxtend vers 0.

8 Une application des DL : ´ etude d’une branche infinie de courbe

8.1 Rappel sur les branches infinies de courbes

Soitf une fonction définie sur un voisinage épointé de +∞. On noteCf la courbe représentative def dans un repère du plan fixé.

1. Cas o`uf(x) →

x→+∞a∈R

Dans ce cas, Cf admet pour asymptote horizontale la droite d’´equationy=a.

2. Cas o`uf(x) →

x→+∞+∞

(a) Cas o`u f(x)

x →

x→+∞0.

Dans ce cas, Cf admet une branche parabolique de direction (Ox).

(b) Cas o`u f(x)

x →

x→+∞+∞

Dans ce cas, Cf admet une branche parabolique de direction (Oy).

(c) Cas o`u lim

x→+∞

f(x)

x →

x→+∞a∈R^∗ i. Cas o`u lim

x→+∞f(x)−ax= +∞

Dans ce cas, Cf admet une branche parabolique de direction la droite d’´equationy=ax.

ii. Cas o`u lim

x→+∞f(x)−ax=b∈R.

Dans ce cas, Cf admet une asymptote oblique d’´equationy=ax+b.

(11)

8.2 Etude d’une branche infinie de courbe ` ´ a l’aide des DL

Exemple 17 : Soitf:x7→√

x²+x+ 1 et soitC_f sa courbe repr´esentative dans un rep`ere du plan.

1. En posantX = 1

x et en utilsant la th´eorie des DL, montrer qu’il existea, b, c∈Rtels que : f(x) =

x→+∞ax+b+ c x+o

1 x

.

2. En d´eduire Cf admet une asymptote oblique ∆ en +∞ ainsi que la position relative de Cf et de ∆ au voisinage de +∞.