Formule de Taylor, d´ eveloppements limit´ es

Universit´e Paris Descartes

UFR de Math´ematiques et Informatique 45, rue des Saints-P`eres, 75006, Paris.

Licence 1`ere ann´ee, 2010-2011,Math´ematiques et Calcul 1 (MC1)

Feuille de TD n 6 :

Formule de Taylor, d´ eveloppements limit´ es

Exercice 1

1) Retrouver l’expression de la d´eriv´ee de arcsin.

2) En utilisant la formule de Taylor, calculer le d´eveloppement limit´e de arcsin `a l’ordre 2 au voisinage de 0.

Exercice 2

1) A partir de la d´eriv´ee de sinxet cosxretrouver l’expression de la d´eriv´ee de tanx.

2) En d´eduire la d´eriv´ee de arctanx.

3) En utilisant la formule de Taylor calculer le d´eveloppement limit´e de la d´eriv´ee de arctanx au voisinage de 0, `a l’ordre 4. En d´eduire le d´eveloppement limit´e de arctanx`a l’odre 5 au voisinage de 0.

Exercice 3

1) Rappeler le d´eveloppement limit´e de ln(1 +x) au voisinage de 0, `a l’ordre 4, et le d´eveloppement limit´e de cosxau voisinage de 0, `a l’ordre 4.

2) En d´eduire le d´eveloppement limit´e de ln(cosx) au voisinage de 0 `a l’ordre 4.

Exercice 4

Donner le d´eveloppement limit´e au voisinage de 0 des fonctions suivantes : 1) ln (1 + (x(x−1))) `a l’ordre 5.

2) _1−3x−x¹ ₃ `a l’ordre 6.

3) _1+3x^sinx `a l’ordre 3.

4) ^sin_1−x^2x2 `a l’ordre 4.

5) ^(1−cos_x2^x)2 `a l’ordre 5.

6) sh(x²) ch(x) `a l’ordre 3 Exercice 5

Calculer le d´eveloppement limit´e au voisinage de 0 de 1) ^3x2_1+x^+3x+22 `a l’ordre 4.

2) _2+3x+x^3x+1₂ `a l’ordre 6.

Exercice 6

1) Calculer le d´eveloppement limit´e au voisinage de 0 de `a l’ordre 6 de <sub>1−x</sub><sup>ln(1+x)</sup>2+x<sup>4</sup>. 2) En d´eduire le d´eveloppement limit´e au voisinage de 0 `a l’ordre 6 de (1 +x)^{1−x2 +x1 4}. Exercice 7

1) Calculer le d´eveloppement limit´e dee^{xsin2 x}−e^1−cosx`a l’ordre 4, au voisinage de 0.

2) En calculant le d´eveloppement limit´e de ^xsinx₂ −(1−cosx) au voisinage de 0 `a un ordre suffisant, d´eterminer la limite de 0 de :

e^{xsin2 x}−e^1−cosx

xsinx

2 −(1−cosx) Exercice 8

Calculer les d´eveloppements limit´es suivants : 1) ln(_1+x¹ ) en 0, `a l’ordre 3.

2) exp (sinx) en 0, `a l’ordre 4.

3) ln(4−8x+x²) en 0, `a l’ordre 4.

1

2

Exercice 9Vrai ou faux ?

1) Sif admet un d´eveloppement limit´e d’ordrekau voisinage de 0, alorsf⁰⁰admet un d´eveloppement limit´e d’ordre (k−2) au voisinage de 0.

2) Sif1∼g1 etf2∼g2 alorsf1−f2∼g1−g2.

3) Sifposs`ede un d´eveloppement limit´e au voisinage dea`a l’ordren, alorsfposs`ede un d´eveloppement limit´e au voisinage dea`a l’ordrekpour toutk6n.

4) Soitf ∈ Cⁿ([−1,1]), alors il existe une fonction not´eeo t.q. lim_x→0(o(xⁿ)) = 0 tel que , pour tout x∈[−1,1] :

f(x) =f(0) +xf⁰(0) +x²

2 f⁽²⁾(0) +· · ·+xⁿ

n!fⁿ(0) +o(xⁿ) Exercice 10

D´eterminer les limites suivantes : 1) lim_x→0sh^exp_x−arcsin^x−sinx_x

2) lim_x→a^x_x^ax^−a−a^xa

3) limx→∞(cos¹_x)^xlnx 4) limx→0

(cosx−ln(1+^x₂²)) x⁴

5) lim_x→0^(ex

2−1+sin²x) x²

Exercice 11

Soitf la fonctionx−→ ¹⁻_1−cos^sinxx_x.

1) Quel est le domaine de d´efinition def?

2) Donner le d´eveloppement limit´e def en 0, `a l’ordre 2.

3) Calculer la limite def en 0. En d´eduire quef est prolongeable par continuit´e en 0.

Exercice 12

Si une fonction est n fois d´erivable en 0, alors elle admet un d´eveloppement limit´e `a l’ordre nen 0.

Nous allons montrer que la r´eciproque est fausse. Soitf la fonction d´efinie par : f(0) = 0, f(x) =x³sin( 1

x²) six6= 0.

1) Montrer que f est d´erivable surRet calculer sa d´eriv´ee.

2) Montrer que f n’est pas deux fois d´erivable sur R.

3) En utilisant |f(x)|6|x|³, montrer quef admet un d´eveloppement limit´e `a l’ordre 2 en 0.

Exercice 13

Calculer les d´eveloppements limit´es suivants, au voisinage de 0 : 1)e^cosx−1`a l’ordre 6.

2)√

cosx`a l’ordre 4.

3) ln(^ln(1+x)_x ) `a l’ordre 3 (`a l’ordre 4 si vous ˆetes courageux !).