D´eveloppements limit´es

D´ eveloppements limit´ es

1 Formules de Taylor

Th´eor`eme (Formule de Taylor avec reste-int´egral).

Soit f une fonction de ra, bs Ñ Rde classeC^{n 1} surra, bs. Alors :

fpbq fpaq

¸n k1

pbaq^k

k! f^pkqpaq

»_b

a

pbxqⁿ

n! f^{pn 1q}pxqdx

Remarque.

Corollaire (In´egalit´e de Taylor-Lagrange). Sifest de classeC^{n 1}surra, bs, et si on poseMn 1 sup

tPra,bs|f^{pn 1q}ptq|, alors :

fpbq fpaq

¸n k1

pbaq^k

k! f^pkqpaq

¤Mn 1pbaq^{n 1} pn 1q!

2 Obtention de d´ eveloppements limit´ es

2.1 D´efinitions

D´efinition. f d´efinie sur I intervalle ouvert contenant 0. On dit que f admet un d´eveloppement limit´e

d’ordre n au voisinage de 0 s’il existeP P RnrXstel que

fpxq rPpxq P o

xÑ0pxⁿq

que l’on peut encore ´ecrire

fpxq Prpxq xⁿεpxq avec εpxq ÝÝÝÑ

xÑ0 0

Remarque.

D´efinition. Soit f d´efinie surDIpx₀, αq. On dit que f admet un d´eveloppement limit´e d’ordre n au point x0 s’il existe un polynˆome P de degr´e¤ntel que

fpxq rPpxx0q P o

xÑx0ppxx0qⁿq soit encore

fpx₀ hq a₀ a₁h a₂h² a_nhⁿ εphqhⁿ avec εphq ÝÝÝÑ

hÑ0 0

Remarque. Dans la pratique, pour chercher un D.L. enx0 def, on cherche leD.L.pour hÑ0 defpx0 hq.

A propos de la notation.`

Remarque. Il existe aussi la notion de d´eveloppement limit´e dit«faible ».

2.2 Premi`eres propri´et´es

Propri´et´e (Troncature). Si f admet un D.L. d’ordre n au voisinage de x0, alors elle admet un D.L. `a tout

ordre p¤n obtenu par troncature.

Exemple.

Propri´et´e (Unicit´e). Sif admet au voisinage de 0 un D.L. `a l’ordre n, alors il est unique.

Lemme. Si fpxq rPpxq o

xÑ0pxⁿq D.L. d’ordre n au voisinage de 0. Alors fpxq rPpxq o

xÑ0pxⁿq D.L.

d’ordre nau voisinage de 0 deg : xÞÑfpxq.

Propri´et´e. Sif est une fonction paire (resp. impaire), alors son D.L. en 0 est un polynˆome pair (resp. impair),

c’est-`a-direne contenant que des puissances paires (resp. impaires).

Exemple.

2.3 Formule de Taylor-Young

Th´eor`eme (Formule de Taylor-Young).

Soit f de classe Cⁿ sur un intervalle ouvert I. Soitx0PI. Alors :

fpxq fpx₀q

¸n k1

pxx₀q^k

k! f^pkqpx₀q P o

xÑx0ppxx₀qⁿq

Utilit´e de cette formule.

Remarque. Lien avec le th´eor`eme de Taylor-reste int´egrale :

2.4 D.L. en 0 obtenus directement `a partir de la formule de Taylor-Young

2.4.1 Fonctions exponentielles R´esultat.

@nP N, e^x 1 x 1!

x²

2! x^k

k! xⁿ n! o

xÑ0pxⁿq

2.4.2 Fonctions trigonom´etriques R´esultat.

sinxxx³

3!

x⁵ 5! x⁷

7! p1q^p x^{2p 1}

p2p 1q! o

xÑ0px^{2p 2}q

cosx1x²

2!

x⁴ 4! x⁶

6! p1q^p x^2p p2pq! o

xÑ0px^{2p 1}q

2.4.3 Fonctionsp1 xq^m, mP R Etude.´

R´esultat.

p1 xq^m 1 mx mpm1q

2! x² mpm1qpm2q

3! x³

mpm1q. . .pmn 1q

n! xⁿ o

xÑ0pxⁿq

En particulier.

Remarque.

3 Op´ erations sur les d´ eveloppements limit´ es

3.1 Somme, combinaison lin´eaire Th´eor`eme.

Si fpxq rPpxq o

xÑ0pxⁿq D.L. `a l’ordre n en 0, gpxq rQpxq o

xÑ0pxⁿq D.L. `a l’ordre n en 0,

pλ, µq P R², alorspλf µgqpxq ƒλP µQpxq o

xÑ0pxⁿq.

Remarque.

Exemple. @pP N,

chx e^x e^x

2 1 x²

2!

x⁴ 4!

x⁶

6! x^2p p2pq! o

xÑ0px^{2p 1}q

shx e^xe^x

2 x x³

3!

x⁵ 5!

x⁷

7! x^{2p 1}

p2p 1q! o

xÑ0px^{2p 2}q

3.2 Produit.

Th´eor`eme.

Sifpxq rPpxq o

xÑ0pxⁿq D.L. `a l’ordre nen 0 etgpxq rQpxq o

xÑ0pxⁿqD.L. `a l’ordrenen 0, alors

pf gqpxq Rpxqr o

xÑ0pxⁿq o`uR est le reste dans la division euclidienne deP Q parX^{n 1}

Remarque.Dans la pratique, cela revient `a garder dans le produitPQles termes de degr´e¤n(uniquement ces termes, mais bien tousces termes).

Exemple.

Exemple.

3.3 Composition.

Exemple. D.L. `a l’ordre 6 de ϕ : xÞÑcospsinxq.

Exemple. D.L. `a l’ordre 4 de ϕ : xÞÑlnp2 cosx sinxq.

Exemple. D.L. `a l’ordre 3 de ϕ : xÞÑe^{?1 x}.

Remarque.Dans certains cas, une recherche a priori de l’ordre des D.L. interm´ediaires peut-ˆetre tr`es profitable.

Exemple. D.L. `a l’ordre 8 en 0 dexÞÑlnp1 x<sup>2</sup>sinxq. Exemple. D.L. `a l’ordre 6 de xÞÑcosp1cosxq.

3.4 Inverse

M´ethode. On se ram`ene `a la recherche du D.L. de uÞÑ 1

1u compos´ee par une autre fonction.

Exemple. Recherche du D.L. `a l’ordre 5 en 0 de tan : Exemple.Montrer que la fonctionϕ : xÞÑ 1cosx

tan²x peut ˆetre prolong´ee par continuit´e en 0, et que la fonction ainsi prolong´ee, encore not´eeϕ, admet un D.L. `a l’ordre 3 en 0 que l’on calculera.

3.5 Primitivation terme `a terme Th´eor`eme.

Soit I un intervalle ouvert contenant 0. Soit f d´erivable sur I telle que f¹ admet en 0 un D.L. `a

l’ordren f¹pxq Ppxq o

xÑ0pxⁿq. Alorsf admet en 0 un D.L. `a l’ordren 1 qui s’obtient en primitivant

terme `a terme (attention `a la constante d’int´egration) :

fpxq fp0q

»_x

0

Pptqdt o

xÑ0px^{n 1}q

Exemple. Donner un d´eveloppement limit´e `a l’ordre n 1 en 0 de lnp1 xq. Remarque.

Corollaire tr`es dangereux qu’il est interdit d’utiliser. Sif est de classe C^{n 1} surI et admet le D.L. fpxq Ppxq o

xÑ0px^{n 1}q,alorsf¹ admet un D.L. `a l’ordrenqui est f¹pxq P¹pxq o

xÑ0pxⁿq. Attention.

Exemple.

4 Utilisation des d´ eveloppements limit´ es

4.1 Calcul des limites

Remarque. Les d´eveloppements limit´es se substituent aux ´equivalents lorsque ceux-ci ne suffisent pas.

4.2 ´Etude locale d’une courbe d’´equation yfpxq en x₀ Propri´et´e. Si, au voisinage de 0,fpxq a0 a1x a2x² o

xÑ0px²q alors :

• f continue ou prol. par cont. en 0 par fp0q a₀,

• f est d´erivable en 0 et f¹p0q a1,

• la courbe admet une tangente d’´equationy a₀ a₁x,

• rien ne dit que f est deux fois d´erivable, mˆeme si elle admet un D.L. d’ordre 2,

• la position de la courbe par rapport `a sa tangente est donn´ee par le signe deδpxq fpxq a0a1x.

– si a₂0,δpxq a₂x²

– si a₂ 0, on peut pousser le D.L. `a un ordre sup´erieur, le signe de a<sub>k</sub>x<sup>k</sup> donnant la position de la courbe par rapport `a la tangente.

Propri´et´e. Sifpxq a₀ a₁pxx₀q a₂pxx₀q² o

xÑx0ppxx₀q²q

• Continuit´e, d´erivabilit´e, rien sur la d´eriv´ee seconde en x0,

• la courbe admet une tangente d’´eq. ya₀ a₁pxx₀q,

• position de la courbe par rapport `a sa tangente

Exemple. fpxq x³sin_x¹

Exemple. Etude locale en 0 de´ _p1 ¹_xq2. Exemple. Etude locale en 0 de Arcsin .´

4.3 ´Etude locale d’une courbe d’´equation yfpxq au voisinage de 8

Propri´et´e. Si, au voisinage de 8, on a :

fpxq a0x a1

a2

x o

xÑ 8p1 xq

appel´e d´eveloppement asymptotique de f `a l’ordre _x¹. alors :

• la courbe admet une asymptote d’´equationya₀x a₁,

• la position de la courbe par rapport `a l’asymptote est donn´ee par le signe de δpxq fpxq a₀xa₁

c’est-`a-dire :

– le signe de a₂ sia₂0

– le signe du premier terme non nul sinon Remarque.

Exemple. Faire l’´etude au voisinage de 8 de la fonction d´efinie par fpxq x²lnp1 _x¹q

4.4 ´Etude locale d’une courbe param´etr´ee au voisinage d’un point singulier

Rappel. Soit f : I Ñ R². On appelle courbe param´etr´ee par f en coordonn´ees cart´esienne l’ensemble

des Mptq tels que ÝÝÝÝÑ

OMptq fptq ^x_yp^p_t^tq_q

. Un point de param`etre t₀ est dit stationnaire ou singulier si et

seulement si

#

x¹pt₀q 0 y¹pt0q 0 .

Etude.´ On suppose pour la suite quex ety sont de classe C^qqch avec qqchsuffisament grand.

On suppose l’existence de :

• Un plus petit p tel quef^ppqpt0q ^x_y^pp^pp^qq^pp^tt⁰0q^q

0.

• Un plus petit q tel que f^ppqpt₀q, f^pqqpt₀q

famille libre, c’est-`a-dire ^x_y^p_pqq^qqp_p^t_t^0q

0q

non colin´eaire `a ^x_y^p_ppq^pqp_p^t_t^0q

0q

. Etude.´ Appliquons `ax ety simultan´ement la formule de Taylor-Young `a l’ordre q :

xpt0 hq ypt0 hq loooooomoooooon

Mpt0 hq

xpt0q ypt0q

looomooon

M0

h^p p!

x^ppqpt₀q y^ppqpt0q

. . . looooooooooomooooooooooon

colin´eaire `af^ppqpt0q

h^q q!

x^pqqpt0q y^pqqpt₀q

looooooomooooooon

non col. `af^ppqpt0q

h^q ε1ptq

ε₂ptq looomooon

Ñ0

Etude.´ On en d´eduit que :

(a)

ÝÝÝÝÝÑ M0Mptq

}ÝÝÝÝÝÑ M₀Mptq} ÝÝÝÑ

tÑt0

f^ppqpt0q }f^ppqpt0q}.

On retiendra donc que la tangente est port´ee par le premier vecteur d´eriv´ee non nul.

(b) Dans le rep`erepM<sub>0</sub>;f<sup>ppq</sup>pt<sub>0</sub>q, f<sup>pqq</sup>pt<sub>0</sub>qq, les coordonn´ees deMptq sont ´equivalentes `a : ptt0q^p

p! ,ptt0q^q q!

On en d´eduit l’allure de la courbe au voisinage deM0 :

Propri´et´e.

Point normal

− −−− → f

(t

)

− −−− → f

(t

)

Point d’inflexion

− −−− → f

(t

)

− −−− → f

(t

)

pimpair,qpair : point ordinaire pimpair,qimpair : point d’inflexion

Point de rebroussement de 1ère espèce

− −−− → f

(t

)

− −−− → f

(t

)

Point de rebroussement de 2ème espèce

− −−− → f

( t

)

− −−− → f

(t

)

ppair,qimpair : point de rebroussement de 1<sup>`ere</sup>esp`ece ppair,qpair : point de rebroussement de 2^ndeesp`ece

Exemple. Soit

#

xptq t²2t yptq _t¹2 t²

D´eterminer les points singuliers et faire l’´etude locale de la courbe au voisinage de ce(s) point(s).

Exemple. Etudier au voisinage de´ t₀ ^π₄ la courbe param´etr´ee par :

#

xptq sintp?

2sintq yptq pcost ?

2qp2 cost sint3? 2q

5 Formulaire des d´ eveloppements limit´ es usuels

A connaˆıtre sans h´` esitation.

1

1x 1 x x² x³ . . . xⁿ opxⁿq

p1 xq^α 1 αx αpα1q

2 x² . . . αpα1q. . .pαn 1q

n! xⁿ opxⁿq

e^x 1 x x²

2!

x³

3! . . . xⁿ

n! opxⁿq

lnp1 xq xx²

2 x³

3 . . . p1q^{n 1}xⁿ

n opxⁿq

cosx 1x²

2!

x⁴

4! x⁶

6! . . . p1q^p x^2p

p2pq! opx^{2p 1}q

sinx xx³

3!

x⁵

5! x⁷

7! . . . p1q^p x^{2p 1}

p2p 1q! opx^{2p 2}q

chx 1 x²

2!

x⁴ 4!

x⁶

6! . . . x^2p

p2pq! opx^{2p 1}q

shx x x³

3!

x⁵ 5!

x⁷

7! . . . x^{2p 1}

p2p 1q! opx^{2p 2}q A retrouver rapidement.`

?1 x 1 1

2x1

8x² 1

16x³ . . . p1qⁿ¹13. . . p2n3q

246. . .2n xⁿ opxⁿq

? 1

1x 1 1

2x 3

8x² 5

16x³ . . . 13. . . p2n1q

246. . .2n xⁿ opxⁿq

Arctanx xx³

3 x⁵

5 . . . p1qⁿx^{2n 1}

2n 1 opx^{2n 2}q

Arcsinx x x³

6 3

40x⁵ . . . 13. . . p2n1q 24. . .2n

x^{2n 1}

2n 1 opx^{2n 2}q

A trouver rapidement.` 1

1 x

?1x 1

?1 x e^x lnp1xq Argsh Argth . . .

A avoir vu (3 termes `` a connaˆıtre).

tanx x 1

3x³ 2

15x⁵ 17

315x⁷ opx⁸q

Une manipulation classique.

13. . . p2n1q

24. . .2n p2nq!

2²ⁿpn!q²

6 Manipulation des d´ eveloppements limit´ es avec Maple

Syntaxe. La fonction principale est series. La syntaxe est la suivante : series(expression_ en_ x,x=a,ordre)

Remarque.

(a) Lorsque l’on veut un DL en 0, on peut ne passer comme deuxi`eme argument que x.

(b) L’ordre est facultatif, par d´efaut 6.

(c) Le r´esultat est une expression de typeseries, qui correspond `a un grand O avec les notations deLandau. (d) Attention, l’ordre n’est pas l’ordre du r´esultat, mais l’ordre des d´eveloppements effectivements calcul´es

lors des calculs interm´ediaires.

(e) Il existe une forme moins g´en´erale de series, qui esttaylor.

Exemple.

> y:=series(tan(x)/x,x,6);

2 4 5

y := 1 + 1/3 x + 2/15 x + O(x )

Syntaxe. Pour alors manipuler la partie r´eguli`ere du DL, on convertit l’expression en polynˆome en utilisant :

>convert(y,polynom);

On peut alors manipuler cette expression sans probl`eme.

Calculsded´eveloppementslimit´es 39.1

´ Etablirlesd´eveloppementslimit´essuivants,auvoisinagede 0: 1 paq`al’ordrenpbqlnpcosxq`al’ordre42p1xq? 1 pcq`al’ordre5pdqlnp1x1xq`al’ordre4cosx ¹lnp1xq xpeqln`al’ordre3pfqp1sinxq`al’ordre3x ¹ 1sinx1xpgqpcosxq`al’ordre4phqp12xq`al’ordre4 cosx piqe`al’ordre6 ??1{21{222pjq11xet11x`al’ordre4 1x pkq1x m `al’ordre4pmPRq dl_1.tex 39.2

´ Etablirled´eveloppementlimit´ede: 4 3paqp1xqen0`al’ordre3 11 pbqen0`al’ordre2x2xpe1qx 11323233pcqpxxqpxxqen8`al’ordre3 ? 2pdqArgshxlnp1xqen8`al’ordre4

dl_2.tex 39.3 (a)DonnerleD.L.`al’ordre5enπ 4desin. (b)DonnerleD.L.`al’ordre2en1dexÞÑlnx x2 dl_3.tex 39.4

´ Etablirlesd´eveloppementslimit´esauvoisinagede0de: ?21x (a)fpxq12x1x`al’ordre4. 21x ? 2(b)fpxqxcosx`al’ordre7. dl_4.tex 39.5Plusieursfa¸consded´eterminerleD.L.`al’ordre5detanen0: (a)Proposerunepremi`erem´ethodepermettantd’assurerl’existence deceD.L.,etquipeutnousdonnerlescoefficients,aumoins th´eoriquement. sinx (b)Enutilisantlarelationtanx,proposerunesecondem´e-cosx thodeetd´eterminerleD.L.recherch´e.

(c)Utiliserlarelationtan1 1tan2 pourdonnerunetroisi`eme m´ethodeded´eterminationduD.L. dl_5.tex 39.6Soitf:RÑR xÞÑxex2 (a)Montrerquefestbijectiveetquef1 admetund´eveloppement limit´e`al’ordre5en0. (b)Calculerced´eveloppementlimit´e. dl_15.tex 39.7Montrerquelafonctiond´efinieparfpxqex x2 1induit unebijectionauvoisinagede0,etd´eterminerund´eveloppementlimit´e `al’ordre4desar´eciproque.dl_55.tex 39.8D´eterminerunD.L.`al’ordre21en0de |x|a sinpx2qshpx2q2x2dl_19.tex 39.9

´ Etablirund´eveloppementlimit´eauvoisinagede0`al’ordre4 pourlesfonctionssuivantesencherchantd’abordund´eveloppement limit´ed’ordre3deleurd´eriv´ee: ? 3x?(a)Arctan 1x3 1x (b)Arcsin 2x ? (c)Arctan3pcosxsinxq dl_67.tex 39.10Donnerund´eveloppementlimit´ed’ordre10auvoisinage de0de 2 x aArcsin 422px2x2q dl_68.tex 39.11Donnerund´eveloppementlimit´ed’ordrenauvoisinagede0 deArcsinetArccos.dl_69.tex 39.12Donnerund´eveloppementlimit´ed’ordre4auvoisinagede0 deArctanp1xq.dl_70.tex

CalculsdelimitesutilisantlesD.L. 39.13CalculerleslimitessuivantespnPNq: paqlim xÑ0 x¡0p1xqlnx xx x2lnxpbqlim xÑ02p1cosxqsinxx34? 1x2 sin5 xx5 pcqlim xÑ8x2 e¹ xe

1 x1pdqlim xÑ0tannxntanx nsinxsinnx dl_6.tex 39.14Donnerun´equivalenten8deln 1e¹ x 2

4x1 8x2. dl_56.tex UtilisationdesD.L. 39.15Onposefpxq? x22 x24.Enutilisantund´eveloppement limit´e,montrerquefestprolongeableparcontinuit´een2,donnerune ´equationdelatangenteetlapositiondelacourbeaupointcorrespon- dant.dl_36.tex 39.16

´ Etablirled´eveloppementlimit´eauvoisinagede0`al’ordre 2de: x 1e fpxq 2x2xpe1q pourx0.fest-elleprolongeableparcontinuit´een0?Ceprolonge- mentest-ild´erivable?D´eterminerlatangente`alacourbeenlepoint d’abscisse0,etlapositiondelacourbeparrapport`asatangente. dl_7.tex 1 x2x39.17Lafonctiond´efinieparfpxqsix0est-elle sinx prolongeableparcontinuit´e?Ceprolongementest-ild´erivable?D´eter- minerlatangente`alacourbeenlepointd’abscisse0,etlaposition delacourbeparrapport`asatangente.dl_8.tex 39.18 (a)

´ Etablirund´eveloppementasymptotique`aunordresuffisantet ? x2´etudierlesbranchesinfiniesdef:xÞÑln1x1x

(b)D´eterminerund´eveloppementasymptotiqueauvoisinagede8 `al’ordre2en1 xpourxÞÑc x2x1 x21 dl_9.tex 39.19

´ Etudierlesbranchesinfiniesdelafonctiond´efiniepar: x12 fpxqxln x

dl_31.tex 39.20

´ Etudierlesbranchesinfiniesdelafonctiond´efiniepar: a 32fpxqxpx3q dl_32.tex 139.21Soitf:xÞÑx,d´efiniesurR.Montrerqu’au1 x1e voisinagede0,fpxqxopxq.

´ Etudierl’existenced’uneasymptoteobliquepourlarepr´esentationgra- phiqueC,ainsiquelapositiondeCparrapport`asonasymptoteff auvoisinagede8.dl_11.tex 39.22Onconsid`erelafonction: ??cx f:xÞÑeacosxblnp1xqd1x 1x D´eterminerpa,b,c,dqpourqu’auvoisinagede0,fpxqsoituninfini- mentpetitd’ordreleplus´elev´epossible.dl_12.tex 39.23

´ Etudierle(les)point(s)stationnaire(s)delacourbe: # t1xptqet 3 yptqt3t

dl_37.tex 39.24

´ Etudierle(les)point(s)stationnaire(s)delacourbe:

$ ' &2 t1 xptq 2t1 3 t1' %yptq 2t1

dl_38.tex

39.25

# xptqcost ´ Etudierlacourbeparam´etr´eepar yptqsintp1costq etpr´eciserlespointsd’inflexion.dl_54.tex 39.26Pr´eciserl’alluredelacourbedefen8,0et8o`u 1 fpxqx2Arctanx x dl_30.tex 39.27R´esoudrel’´equationdiff´erentielle: 1 xpx1qyyArctanx

´ Etudierleraccordementdessolutions.dl_57.tex `eme D´erivabilit´en,existenced’unD.L.`al’ordren 39.28Soitf:RÑR # 2 xln|x|six0 xÞÑ 0six0 D´emontrerquefestcontinue,d´erivableen0.

´ Ecrireund´eveloppement limit´e`al’ordre1.D´emontrerquefn’admetpasded´eveloppementli- mit´e`al’ordre2auvoisinagede0.dl_13.tex 39.29Soitf:RÑR # 31 cosxxsinsix0 x xÞÑ 1six0 D´emontrerquefadmeten0und´eveloppementlimit´e`al’ordre2que l’on´ecrira.fest-elled´erivableen0?Est-elledeuxfoisd´erivableen0? dl_14.tex 39.30Est-cequeArccosadmetunD.L.`al’ordre1en1`agauche? Sioui,ledonner.Sinon,peut-onendonnerund´eveloppementg´en´e- ralis´e?dl_71.tex

Autres 39.31Onconsid`erelafonctiond´efinieparfpxq»x2 x

dt lnt. (a)Enutilisantlaconcavit´edulogarithme,montrerque: @xPR rt1u,@tPr1,x2 s,2lnx x21pt1q¤lnt¤t1 (b)End´eduirequefadmetunelimitefinieaupoint1. (c)Montrerquelafonctionf,prolong´eeparcontinuit´een1,end´e- rivablesurR ,etcalculersad´eriv´ee. (d)D´eterminerund´eveloppementlimit´e`al’ordre3auvoisinagede 1def. dl_53.tex 39.32Onconsid`erelesfonctionsd´efiniespar: # f0pxq? 1x @nPN,fn1pxqa 2fnpxq D´eterminerled´eveloppementlimit´e`al’ordre2defnen0.dl_17.tex 39.33Montrerquel’´equationtanx? xposs`ededanschaque intervalleInπ 2nπ;π 2nπ uneuniquesolutionxn(n¥1). R´ealiserund´eveloppementasymptotique`atroistermesdexn. dl_59.tex 39.34 (a)Montrerquel’´equationxex nposs`edeuneuniquesolution xnPR. (b)D´eterminerlalimitedepxnqnpuisun´equivalentdexn. (c)Formerund´eveloppementasymptotique`alapr´ecisionplnnq2 n2de xn. dl_60.tex