Racines d’un polynˆ ome

ECS 1Dupuy de Lˆome Semaine du 27 novembre 2003

Programme de colles S11

NB : Les d´emonstrations des th´eor`emes ou propositions ´etoil´es doivent ˆetre sues

Op´ erations alg´ ebriques et degr´ e

Proposition.— Soit (P, Q)∈K[X]² deux polynˆomes `a coefficients dansK. Alors d^◦(P+Q)≤max{d^◦ P, d^◦ Q}

Si de plusd^◦P 6=d^◦Q, alorsd^◦(P+Q) =max{d^◦ P, d^◦ Q}

Proposition.— Soit (P, Q)∈K[X]² deux polynˆomes `a coefficients dansK. Alors d^◦(P×Q) =d^◦P+d^◦Q

Proposition.— SoitP ∈K[X] etλ∈K^? un scalaire non nul. Alors d^◦ λP

=d^◦P

D´ erivation dans K [X ]

D´efinition : Soit P = Pn

k=0a_kX^k un polynˆome `a coefficients dans K. On appelle polynˆome d´eriv´edeP, le polynˆome d´efini par P⁰=

n

X

k=0

k.akX^k−1=

n−1

X

k=0

(k+ 1)ak+1X^k

D´efinition : Soit P ∈K[X] un polynˆome `a coefficients dans K. Les d´eriv´ees successivesdeP sont d´efinies par r´ecurrence par P⁽⁰⁾=P et ∀k∈N, P^(k+1)=

P^(k)0 .

Proposition^?.— SoitP ∈Kn[X] un polynˆome de coefficients (a₀, a₁, a₂, . . . , a_n) dansKde degr´e n. Alors

• Si p > n P^(p)= 0.

• Si p∈[[0, n]], P^(p)=

n

X

k=0

ak k(k−1). . .(k−p+ 1)X^k−p=

n

X

k=p

ak

k!

(k−p)! X^k−p

Th´eor`eme.— Formule de Taylor pour les polynˆomes

SoitP ∈K[X] un polynˆome de degr´e inf´erieur ou ´egal `anetα∈Kun scalaire. Alors

P =P(α) +P⁰(α) (X−α) +P⁰⁰(α)

2 (X−α)²+· · ·+P⁽ⁿ⁾(α)

n! (X−α)ⁿ =

n

X

k=0

P^(k)(α)

k! (X−α)^k

Th´eor`eme.— Formule de Taylor - Mac Laurin pour les polynˆomes

Proposition^?.— SoitP ∈K[X] un polynˆome de degr´e inf´erieur ou ´egal `anet α∈Kun scalaire.

Alors pour toutn+ 1-uplet (a0, a1, . . . , an)∈Kⁿ⁺¹, P =

n

X

k=0

ak(X−α)^k ⇒ ∀k∈[[0, n]], ak= P^(k)(α) k!

Divisibilt´ e dans K [X ]

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Th´eor`eme.— Th´eor`eme de la division euclidienne

Soient (A, B)∈K[X]²deux polynˆomes `a coefficients dansK. On suppose queB6= 0.

Il existe un couple(Q, R)∈K[X]²,unique tel que

A=B×Q+R d^◦R < d^◦B

Exercice^? : Montrez queX⁵+X⁴−9X³−7X²+ 9X−1 est divisible parX³−8X+ 1.

Corollaire^?.— Soit (A, B)∈K[X]²,B6= 0.

B diviseAsi et seulement si le reste de la division euclidienne deAparB est nul.

Racines d’un polynˆ ome

D´efinition : Soit P ∈ K[X] un polynˆome `a coefficients dans K et α ∈ K un nombre r´eel ou complexe. On dit queαestracine deP, ou bien queαest unz´ero deP siP(α) = 0.˜

Th´eor`eme^?.— SoientP ∈K[X] un polynˆome etα∈Kun nombre r´eel ou complexe.

αest un z´ero deP si et seulement si (X−α) diviseP

Proposition-D´efinition.—Soient P ∈K[X],α∈K.

αest racine d’ordre de multiplicit´ek∈N^? deP ⇐⇒ ∃Q∈K[X] tel que

P = (X−α)^k×Q Q(α)6= 0

Th´eor`eme^?.— SoientP ∈K[X] un polynˆome,α∈Kun nombre r´eel ou complexe, etk∈N^?. αest racine d’ordrekdeP si et seulement si

P(α) =P⁰(α) =· · ·=P^(k−1)(α) = 0 P^(k)(α)6= 0

Factorisation des polynˆ omes

Th´eor`eme.— Th´eor`eme Fondamental de l’Alg`ebre

Tout polynˆomeP∈C[X]non constantadmet (au moins) une racine.

Th´eor`eme.— SoitP =Pn

k=0akX^k ∈Cn[X] un polynˆome de degr´en∈N^?

siα1, . . . , αp sont les racines distinctes deP de multiplicit´es respectivesr1, . . . , rp, alors

P =a_n (X−α₁)^r1× · · ·(X−α_p)^rp o`u X^p

k=1r_k=n Proposition^?.— SoitP ∈R[X] alors pour toutα∈Cet pour toutk∈N^?

αest racine d’odrekdeP si et seulement si α¯ est racine d’odrekdeP Th´eor`eme.— SoitP =Pn

k=0a_kX^k ∈Rn[X] de degr´en∈N^? `a coefficients r´eels

Plus pr´ecis´ement siα₁, . . . , α_p sont les racinesr´eellesdistinctes deP de multiplicit´es respectives r₁, . . . , r_p, alors

P =an p

Y

k=1

(X−αk)^rk

q

Y

j=1

X²−βjX+γj

^sj

o`u

p

X

k=1

rk+ 2×

q

X

j=1

sj=n,

et les polynˆomes `a coefficients r´eels X²−βjX+γj

ne poss`edent pas de racines r´eelles (∆<0).

Exercice^? : Factorisez dansC[X] puis dansR[X] le polynˆomeP =X⁵−1.

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