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Etude d’un polynˆ ´ ome

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Academic year: 2022

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(1)

DM de MPSI2

Corrig´ e de devoir non surveill´ e

Etude d’un polynˆ ´ ome

1

a D’apr`es les relations coefficients-racines, t1+t2+t3= 0 ett1t2t3=−2.

b Evidemment,´ Pa(0) = 2 = −t1t2t3, donct1, t2 et t3 ne peuvent pas tous ˆetre positifs : le plus petit d’entre eux,t1, est strictement n´egatif.

c t3 > 0 car t1+t2+t3 = 0. Comme t1 < 0 et t1t2t3 < 0, on a t2 > 0 : t1+t3 = −t2 6 0, donc t3 6 −t1. On a bien t1 6 t2 6 t3 6 −t1. Un rapide examen montre que les contraintes trouv´ees imposent t1=−2,t2=t3= 1.

d t2´etant racine double deP1, on a Pa0(t2) = 0. On en d´eduit quea= 1.

2R´eciproquement, le polynˆome X3−3X + 2 poss`ede bien −2 comme racine simple, et 1 comme racine double : la valeur deaainsi trouv´ee convient bien.

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