Nous allons dans ce chapitre introduire la notion de polynˆ omes puis comprendre la diff´ erence entre polynˆ ome et fonction polynomiale.

Alg` ebre et analyse ´ el´ ementaires II Alg` ebre.

Polynˆ omes.

Nous allons dans ce chapitre introduire la notion de polynˆ omes puis comprendre la diff´ erence entre polynˆ ome et fonction polynomiale.

1 D´ efinitions. G´ en´ eralit´ es.

D´ efinition 1.1. On appelle R [X ] l’ensemble des suites finies de r´ eels. On a donc R [X ] = {P ; ∃n ∈ N ; P = (a 0 , a 1 , . . . , a n , 0, . . .)} .

Exemple 1.2. La suite constante et ´ egale ` a 0 est donc un polynˆ ome (le polynˆ ome nul).

Remarque 1.3. Soit a un nombre r´ eel. Alors la suite (a, 0, . . .) est un polynˆ ome. On dira qu’il s’agit d’un polynˆ ome constant. Plus g´ en´ eralement, soit n un entier. Soient (a 0 , a 1 , . . . , a n ) la donn´ ee de n + 1 nombres r´ eels. Alors la suite (a 0 , a 1 , . . . , a n , . . .) est un polynˆ ome. En ce sens, on voit que tous les espaces R ⁿ⁺¹ sont contenus dans R [X] .

D´ efinition 1.4. Soit P un polynˆ ome non nul. Alors on appelle degr´ e de P le plus grand indice pour lequel le coefficient a n est non nul. Autrement dit

P = (a 0 , . . . , a n , 0, . . . ) avec a n 6= 0 . On le note deg(P ) .

V´ erification. Comme P est non nul, il admet au moins un coefficient non nul (un des termes de la suite n’est pas nul) mais, pour n assez grand, tous les termes doivent ˆ etre nuls. Il y a donc un tel indice.

Remarque 1.5. Le polynˆ ome nul n’a donc pas de degr´ e. Il peut ˆ etre commode parfois d’adopter la convention

deg(0) = −∞ .

Pour l’instant, nous avons construit un ensemble. Ce n’est pas tr` es int´ eressant. Il importe d’y d´ efinir tr` es vite des op´ erations permettant de manipuler les polynˆ omes.

D´ efinition 1.6. Soient P = (a ₀ , . . . , a _n , 0, . . . ) et Q = (b ₀ , . . . , b _m , 0, . . . ) deux polynˆ omes. On pose P + Q = (a 0 + b 0 , . . . , a i + b i , . . .)

pour tout entier i .

V´ erification. En effet, si i > n et i > m , a i + b I = 0 + 0 = 0 . Il s’agit donc bien d’une suite finie. On remarquera que l’on a simplement copi´ e la d´ efinition de l’addition dans R ⁿ .

Proposition 1.7. L’addition des polynˆ omes fait de R [X] un groupe ab´ elien c’est ` a dire que

— Le polynˆ ome nul est un ´ el´ ement neutre pour cette op´ eration :

∀P ∈ R [X] 0 + P = P + 0 = P ; Tout polynˆ ome P admet un oppos´ e ; en effet

∀P ∈ R [X ] ; (a 0 , . . . , a n , 0, . . .) + (−a 0 , . . . , −a n , 0, . . .) = (−a 0 , . . . , −a n , 0, . . .) + (a 0 , . . . , a n , 0, . . .) = 0 ;

on a not´ e P = (a ₀ , . . . , a _n , 0, . . .) ;

L’addition est associative ; id est

∀(P, Q, R) ∈ R [X ] ³ (P + Q) + R = P + (Q + R) ; L’addition est commutative ; id est

∀(P, Q) ∈ R [X ] ² P + Q = Q + P .

D´ emonstration. Toutes ces propri´ et´ es sont imm´ ediates puisqu’elles r´ esultent de ce que notre op´ eration est d´ efinie coefficient par coefficient et qu’elles sont v´ erifi´ ees dans R .

Proposition 1.8. On a

deg(P + Q) ≤ sup(deg(P), deg(Q)) .

V´ erification. En effet, si i > sup(deg(P), deg(Q)) , le coefficient d’indice i de P + Q est somme de deux coefficients nuls comme on l’a vu dans la d´ efinition du degr´ e.

Remarque 1.9. On peut ˆ etre plus pr´ ecis. Soit P un polynˆ ome de degr´ e n et Q un polynˆ ome de degr´ e m . On note a n (resp. b m ) le coefficient de plus haut degr´ e de P (resp. Q). Alors

deg(P ) 6= deg(Q) ⇒ deg(P + Q) = sup(deg(P), deg(Q)) deg(P ) = deg(Q) = n = m et a _n + b _n 6= 0 ⇒ deg(P + Q) = sup(deg(P), deg(Q)) deg(P) = deg(Q) et a _n + b _m = 0 ⇒ deg(P + Q) < sup(deg(P), deg(Q))

.

On remarquera que deg(P − P) = deg(0) = −∞ .

V´ erification. Il s’agit juste de constater que le coefficient de plus haut degr´ e de P + Q est celui de P ou de Q dans le premier cas, vaut a _n + b _n dans le second cas. Le seul cas o` u le degr´ e de la somme est plus petit que sup(deg(P ), deg(Q)) est donc le dernier cas. La situation la plus extrˆ eme ´ etant celle d’un polynˆ ome auquel on ajoute son oppos´ e puisqu’alors tous les coefficients de la somme sont nuls.

D´ efinition 1.10. Soit P un polynˆ ome et λ un nombre r´ eel (un scalaire). Alors, si P = (a 0 , . . . , a n , 0, . . .) , on note λP le polynˆ ome

λP = (λa 0 , . . . , λa n , 0, . . .) .

Proposition 1.11. L’ensemble R [X] est un espace vectoriel pour l’addition des polynˆ omes et la multi- plication par un scalaire. En effet

— 1 × P = P ;

— la multiplication par un scalaire est associative id est

∀(λ, µ) ∈ R ² ∀P ∈ R [X ] (λµ)P = λ(µP ) ;

— la multiplication par un scalaire est distributive id est

∀(λ, µ) ∈ R ² ∀P ∈ R [X ] (λ + µ)P = λP + µP ;

∀λ ∈ R ∀(P, Q) ∈ R [X] ² λ(P + Q) = λP + λQ .

V´ erification. Toutes ces propri´ et´ es ne font que g´ en´ eraliser les propri´ et´ es correspondantes dans R ⁿ . Remarque 1.12. On notera que

∀P ∈ R [X ] (−1) × P = −P .

Cela justifie l’´ ecriture de l’oppos´ e de P .

Corollaire 1.13. On a la propri´ et´ e essentielle suivante :

λ ∈ R : P ∈ R [X ] λP = 0 ⇒ λ = 0 ou P = 0 .

V´ erification. En effet le polynˆ ome (λa 0 , . . . , λa n , 0, . . .) ne peut ˆ etre nul que si λ = 0 ou, si λ 6= 0 , tous les coefficients de P le sont.

Corollaire 1.14. Si λ est un scalaire non nul et P un polynˆ ome non nul alors le degr´ e de λP est celui de P .

Mais l’op´ eration la plus int´ eressante est la multiplication des polynˆ omes entre eux.

D´ efinition 1.15. Soient (P, Q) un couple de polynˆ omes. On notera P = (a 0 , . . . , a n , 0, . . . ) et Q = (b 0 , . . . , b m , 0, . . . ) . On appelle P Q le polynˆ ome dont le coefficient c k est donn´ e par

∀k ∈ N c k = X

i+j=k

a i b j =

n

X

i=0

a i b _k−i =

m

X

j=0

a _k−j b j .

V´ erification. Ces trois sommes co¨ıncident puisque i > n ⇒ a _i = 0 et j > m ⇒ b _j = 0 . On a donc

∀k ∈ N c k = X

i+j=k (0≤i≤n , 0≤j≤m)

a i b j .

Exemple 1.16. Soit P un polynˆ ome constant. Il s’´ ecrit donc P = (a 0 , 0, . . .) . Soit Q un polynˆ ome quelconque. On l’´ ecrit Q = (b 0 , . . . , b m , 0, . . . ) . Etudions P Q . Ses coefficients sont donc

∀k ∈ N c k = X

i+j=k (0≤i≤0 , 0≤j≤m)

a i b j = a 0 b k . Bref P Q = a ₀ Q .

Exemple 1.17. Soit P un polynˆ ome de la forme P = (0, a 1 , 0, . . .) . Soit Q un polynˆ ome quelconque.

On l’´ ecrit Q = (b 0 , . . . , b m , 0, . . . ) . Etudions P Q . Ses coefficients sont donc

∀k ∈ N ^∗ c k = X

i+j=k (0≤i≤1 , 0≤j≤m)

a i b j = a 1 b k−1 et c 0 = a 0 b 0 = 0 . Autrement il suffit de d´ ecaler tous les coefficients de Q d’un rang en les multipliant par a 1 .

Etudions alors un cas particulier. Ainsi, si l’on pose X = (0, 1, 0, . . .) , on aura X × X = (0, 0, 1, 0, . . .) et X × . . . (k − fois X = (0, . . . , 1, 0, . . .) o` u le coefficient 1 intervient ` a la k-i` eme place. On a donc

X ^k = (0, . . . , 1, 0, . . .)(1 f igurant en place k) . Plus g´ en´ eralement X ⁱ X ^j = X ^i+j quelque soient les degr´ es i et j . Remarque 1.18. Nous avons ainsi montr´ e que

P = (a 0 , a 1 , . . . , a n , 0, . . .) = a 0 + a 1 X + . . . a n X ⁿ .

Si l’on ajoute la convention X ⁰ = 1 , on voit que l’on a montr´ e que tout polynˆ ome P (de degr´ e au plus n) s’´ ecrit

P =

n

X

i=0

a i X ⁱ .

C’est cette notation que nous utiliserons d´ esormais puisqu’elle est compatible aux trois op´ erations introduites sur R [X] . En effet

λP = λ(

n

X

i=0

a i X ⁱ ) =

n

X

i=0

λa i X ⁱ ;

P + Q =

n

X

i=0

a i X ⁱ +

m

X

i=0

b i X ⁱ =

sup(n,m

X

i=0

(a i + b ^◦ i)X ⁱ ;

P Q =

n

X

i=0

a i X ⁱ

! _m X

i=0

b i X ⁱ

!

=





n+m

X

k=0



 X

i+j=k

a i b j



 X ^k



 =

n+m

X

k=0

c k X ^k

! .

D´ efinition 1.19. Soit k un entier. Les polynˆ omes X ^k sont appel´ es monˆ omes de degr´ e k .

Proposition 1.20. L’ensemble des monˆ omes de degr´ e est appel´ e la base canonique (des monˆ omes).

V´ erification. En effet tout polynˆ ome est une combinaison lin´ eaire (finie) de monˆ omes. Et toute com- binaison lin´ eaire finie de monˆ omes est un polynˆ ome nul si et seulement tous ses coefficients sont nuls.

Tout syst` eme fini de monˆ omes est donc libre.

Remarque 1.21. On notera que R [X] est un espace vectoriel engendr´ e par un nombre infini de vecteurs.

Remarque 1.22. On note que la multiplication des polynˆ omes est bilin´ eaire au sens o` u (λP ₁ + µP ₂ ) × Q = λP ₁ × Q + µP ₂ × Q

et

P × (λQ ₁ + µQ ₂ ) = P λQ ₁ + P µQ ₂ .

On dit que R [X] est une alg` ebre sur R (pour les trois op´ erations ainsi introduites).

Proposition 1.23. Soit P un polynˆ ome de degr´ e n et Q un polynˆ ome de degr´ e m . Alors le polynˆ ome P Q est exactement de degr´ e n + m .

V´ erification. Comme a n 6= 0 et b m 6= 0 , il suffit de remarquer que le coefficient non nul de plus haut degr´ e est a n b m (degr´ e n + m).

Corollaire 1.24. On a donc

P Q = 0 ⇒ P = 0 ou Q = 0 . D´ efinition 1.25. Soit P = P n

i=0 a i X ⁱ un polynˆ ome de R [X] . On appelle polynˆ ome d´ eriv´ e de P le polynˆ ome P ⁰ = P n−1

i=0 (i + 1)a _i+1 X ⁱ .

Proposition 1.26. L’application P 7→ P ⁰ est une application lin´ eaire surjective de R [X] dans R [X ] dont le noyau est form´ e par le sous-espace vectoriel form´ e des polynˆ omes constants.

V´ erification. On a imm´ ediatement que

∀(λ, µ) ∈ R ² ∀(P, Q) ∈ R [X ] ² (λP + µQ) ⁰ = λP ⁰ + µQ ⁰ .

Donc notre application est bien lin´ eaire. Son noyau est form´ e des polynˆ omes tels que P ⁰ = 0 donc pour lesquels les coefficients a i+1 sont nuls d` es que i ≥ 0 . Ce sont donc les polynˆ omes P = a 0 .

Soit maintenant Q = (b 0 , . . . , b m , 0, . . .) = P m

j=0 b j X ^j un polynˆ ome de R [X] . Il est le d´ eriv´ e du polynˆ ome

P =

m+1

X

i=1

b i

i X ⁱ .

Proposition 1.27. Soient P et Q deux polynˆ omes ´ el´ ements de R [X] . Alors (P Q) ⁰ = P ⁰ Q + P Q ⁰ . D´ emonstration. Supposons tout d’abord que le polynˆ ome P soit ´ egal au monˆ ome X ^p . Alors, si Q = q ₀ + . . . + b _q X ^q , nous avons ` a ´ etudier

(X ^p Q) ⁰ = (

q

X

i=0

b i X ^p+i ) ⁰ =

q

X

i=0

(p + i)b i X ^p+i−1 =

q

X

i=0

pb i X ^p+i−1 +

q

X

i=0

ib i X ^p+i−1 soit

(X ^p Q) ⁰ = pX ^p−1 Q + X ^p Q ⁰ .

Ainsi la formule est v´ erifi´ ee pour les monˆ omes. Par lin´ earit´ e, la formule sera v´ erifi´ ee pour tout polynˆ ome : (P Q) ⁰ = (

p

X

i=0

a _i X ⁱ )Q

! 0

=

p

X

i=0

a _i X ⁱ Q

! 0

=

p

X

i=0

a _i (X ⁱ Q) ⁰ soit

(P Q) ⁰ =

p

X

i=1

iX ⁱ⁻¹ Q +

p

X

i=0

a _i X ⁱ Q ⁰ = P ⁰ Q + P Q .

Th´ eor` eme 1. Soit {Q i } une famille de polynˆ omes de R [X] telle que ∀i ∈ N deg(Q _i ) = i . Alors cette famille est une base de R [X] (tout polynˆ ome s’´ ecrit comme une combinaison lin´ eaire finie de polynˆ omes de cette famille et la seule combinaison lin´ eaire finie nulle est la combinaison lin´ eaire nulle).

D´ emonstration. Soit P n

i=1 λ _i Q _j

_i

une combinaison lin´ eaire nulle. La famille des indices j _i admet un plus grand ´ el´ ement. On le note j _i

₀

. C’est aussi, par construction de la famille {Q i } , le degr´ e du polynˆ ome Q _j

_i

0

. Si λ _j

_i

0

est non nul, alors le polynˆ ome P n

i=1 λ _i Q _j

_i

a ce degr´ e. il ne peut ˆ etre nul. Aussi λ _j

_i

0

= 0 . On montre ainsi que tous les coefficients λ _i sont nuls. La famille est donc libre.

Il reste ` a v´ erifier par r´ ecurrence descendante que tout polynˆ ome s’´ ecrit comme une combinaison lin´ eaire finie des polynˆ omes Q i . Tout polynˆ ome constant est multiple de Q 0 . Si P est un polynˆ ome de degr´ e n , alors

P = aQ n + R

o` u on a not´ e (a, R) le quotient (de degr´ e 0) et le reste de la division euclidienne de P par Q n . Ainsi R est de degr´ e au plus n − 1 . Il est combinaison lin´ eaire des Q i pour i ≤ n − 1 .

Corollaire 1.28. Soit a un r´ eel. Tout polynˆ ome P de degr´ e n s’´ ecrit de fa¸ con unique P =

n

X

i=0

c i (X − a) ⁱ .

V´ erification. En effet la famille {(X − a) ⁱ } v´ erifie les hypoth` eses du th´ eor` eme.

Remarque. Nous donnerons plus loin une expression pour les coefficients c _i .

2 La division euclidienne des polynˆ omes.

D´ efinition 2.1. on dit que le polynˆ ome Q divise le polynˆ ome P si et seulement s’il existe un polynˆ ome Q ⁰ tel que P = QQ ⁰ .

Exemple 2.2. Soit Q un polynˆ ome constant non nul. Donc Q = q 0 X ⁰ = q 0 avec q 0 6= 0 . Alors il divise tout polynˆ ome P . En effet si P = a 0 + a 1 X + . . . + a n X ⁿ , on a

P = q 0 × a 0

q 0

+ a 1

q 0

X + . . . + a n

q 0

X ⁿ

.

Exemple 2.3. Le monˆ ome X divise tout polynˆ ome sans terme constant. Il ne divise pas le polynˆ ome 1 + X .

Remarque 2.4. On retrouve donc une situation analogue ` a ce qui se passe dans Z . Tout nombre n’est pas divisible par tout autre (2 ne divise que les nombres pairs).

On va introduire un outil analogue : la division euclidienne.

Proposition 2.5. Soit A un polynˆ ome de degr´ e n et B un polynˆ ome de degr´ e m . On suppose que n ≥ m . Alors il existe un unique polynˆ ome R nul ou de degr´ e strictement inf´ erieur ` a m et un unique polynˆ ome Q tels que

A = BQ + R .

On appelle polynˆ ome quotient de la division euclidienne de A par B le polynˆ ome Q et reste de la division euclidienne de A par B le polynˆ ome R .

D´ emonstration. Montrons tout d’abord l’unicit´ e. Par l’absurde, si deux tels couples existaient on aurait

A = BQ 1 + R 1 et A = BQ 2 + R 2 soit B(Q 2 − Q 1 ) = R 1 − R 2 .

Comparons alors les degr´ es des deux polynˆ omes. Le polynˆ ome de gauche est nul ou de degr´ e sup´ erieur ou ´ egal ` a celui de B . Le polynˆ ome de droite est nul ou de degr´ e inf´ erieur ou ´ egal au sup des degr´ es de R <sub>1</sub> et R <sub>2</sub> donc il est nul ou de degr´ e strictement inf´ erieur ` a m . La seule possibilit´ e est donc que B(Q ₂ − Q ₁ ) = R ₁ − R ₂ = 0 soit R ₁ = R ₂ et Q ₁ = Q ₂ .

Passons ` a l’existence. On va raisonner par r´ ecurrence (descendante) sur le degr´ e n de A . On a donc A = a n X ⁿ + a _n−1 X ⁿ⁻¹ + . . . + a 0 et B = b m X ^m + b _m−1 X ^m−1 + . . . + b 0 .

On constate alors que le polynˆ ome

A 1 = A − a n

b _m X ^n−m B

est de degr´ e au plus n − 1 . En effet le polynˆ ome A est de degr´ e n et le polynˆ ome _b ^a

ⁿ

m

X ^n−m B a pour degr´ e n − m + m d’apr` es la formule sur le degr´ e du produit. De plus le coefficient de degr´ e n est

a n − a _n b m

b m = a n − a n = 0 .

Ce polynˆ ome ne comporte donc que des coefficients susceptibles d’ˆ etre non nuls en degr´ e au plus n − 1.

Soit le degr´ e de A 1 est strictement inf´ erieur ` a m et l’on a A =

a n

b m

X ^n−m

B + A 1

avec degA 1 ) < deg(B) . Soit le degr´ e de A 1 est sup´ erieur ` a m et l’on peut recommencer l’op´ eration avec le couple (A 1 , B) . Or le degr´ e du premier polynˆ ome d´ ecroˆıt strictement donc il sera strictement inf´ erieur

`

a celui de B .

Exemple 2.6. Soit A = X ³ − X ² + X − 1 et B = X + 1 . Alors on a successivement A ₁ = A − X ³⁻¹ (X + 1) = X ³ − X ² + X − 1 − X ³ − X ² = −2X ² + X − 1

A ₂ = A ₁ − (−2X )(X + 1) = −2X ² + X − 1 + 2X ² + 2X = 3X − 1 et enfin

A 3 = A 2 − 3(X + 1) = 3X − 1 − 3X − 3 = −4 .

On a donc

A = X ² − 2X + 3 B − 4 . On peut aussi ”poser la division” comme on le fait ` a l’´ ecole primaire :

X ³ −X ² +X −1 | X + 1

X ³ +X ² | X ²

−2X ² X −1 |

−2X ² −2X | −2X

3X −1 |

3X +3 | 3

−4 |

et le reste (−4 vu comme polynˆ ome constant) et le quotient X ² − 2X + 3 apparaissent naturellement.

Remarque 2.7. On notera que la d´ etermination du polynˆ ome quotient et du reste d’une division eucli- dienne est un algorithme. Ainsi les syst` emes de calcul formel comportent cette op´ eration.

Remarque 2.8. Soit A un polynˆ ome de degr´ e n et B un polynˆ ome de degr´ e m (avec m ≤ n). Alors le polynˆ ome B divise le polynˆ ome A si et seulement si le reste dans la division euclidienne de A par B est le polynˆ ome nul.

V´ erification. Bien sˆ ur si A = BQ + 0 = BQ alors B divise A . Inversement, si A = BB ⁰ , alors le couple (Q, R) = (B ⁰ , 0) est une (donc la) solution de la division euclidienne de A par B .

D´ efinition 2.9. On dit qu’un polynˆ ome (non nul de degr´ e au moins 1) est irr´ eductible dans R [X ] s’il n’admet pour seuls diviseurs que les polynˆ omes constants et les multiples de lui-mˆ eme.

Exemple 2.10. Les polynˆ omes de degr´ e 1 sont irr´ eductibles.

En effet ´ ecrivons P = X + a = QQ ⁰ (o` u a est un nombre r´ eel). Alors 1 = deg(P) = deg(Q) + deg(Q ⁰ ) . Ceci impose que deg(Q) = 0 et deg(Q ⁰ ) = 1 ou deg(Q) = 1 et deg(Q ⁰ ) = 0 . Si Q (ou Q ⁰ ) sont de degr´ e 1 , on remarque que

P = X + a = 1 × (X + b) + (a − b) . Ainsi X + b ne divise X + a que si b = a .

Proposition 2.11. Tout polynˆ ome (non nul) admet une d´ ecomposition en facteurs irr´ eductibles.

V´ erification. Cela se v´ erifie simplement par r´ ecurrence descendante. On vient de voir que les po- lynˆ omes de degr´ e 1 sont irr´ eductibles. Soit P un polynˆ ome de degr´ e n (n > 1). Alors soit il est irr´ eductible soit il s’´ ecrit P = QQ ⁰ o` u 0 < deg(Q) < n et 0 < deg(Q ⁰ ) < n . Alors Q et Q ⁰ ont une d´ ecomposition en facteurs irr´ eductibles.

Th´ eor` eme 2. Tout polynˆ ome (non nul) admet une unique d´ ecomposition en facteurs irr´ eductibles.

Ce r´ esultat sera admis.

Proposition 2.12 (Division puissance croissante). Soient A et B deux polynˆ omes de R [X ] . On suppose que B 6= 0 et que son coefficient constant b 0 est non nul. Alors, pour tout entier h ≥ 0 , il existe un unique couple de polynˆ omes Q, R tels que

A = BQ + X ^h+1 R

avec Q = 0 ou Q de degr´ e au plus h .

D´ emonstration. Etudions l’unicit´ e. Si A = BQ ₁ + X ^h+1 R ₁ = ABQ ₂ + X ^h+1 R ₂ , alors on a l’identit´ e B(Q ₁ − Q ₂ ) = X ^h+1 (R ₂ − R ₁ ) .

En particulier, d’apr` es l’´ ecriture du second membre, on voit que tous les coefficients de ce polynˆ ome de degr´ e au plus h sont nuls. On sait que B a un coefficient constant non nul. Montrons (par r´ ecurrence) que tous les coefficients de Q ₁ − Q ₂ de degr´ e au plus h sont nuls. Le coefficient constant de B(Q ₁ − Q ₂ ) est le produit de b 0 par celui de Q 1 −Q 2 . Il est donc nul. Appelons alors i l’indice du premier coefficient de Q 1 − Q 2 non nul. Alors le coefficient de degr´ e i de B(Q 1 − Q 2 ) est le produit de b 0 par premier coefficient non nul de Q 1 − Q 2 . Si i ≤ h , c’est impossible vu la forme du second membre. Mais Q 1 − Q 2

est de degr´ e au plus h donc il est nul. Donc R 1 − R 2 est aussi nul.

Reste ` a ´ etudier l’existence. Mais on voit facilement que, si A = a 0 + . . . + a p X ^p , le polynˆ ome A ⁰ = A − ^a _b

⁰

0

B n’a plus de coefficient constant. Par r´ ecurrence, si l’on suppose que, pour tout k ≤ h , on a

A = BQ + X ^h+1 R

avec Q = 0 ou Q de degr´ e au plus h, on voit que l’on peut ´ ecrire R = ρB + XR ⁰ (ou ρ est un scalaire r´ eel) soit

A = BQ + ρBX ^h+1 + X ^h+2 R ⁰ = B Q + ρX ^h+1

+ X ^h+2 R ⁰ . Et le polynˆ ome Q + ρX ^h+1 est bien de degr´ e au plus h + 1 .

Exemple 2.13. Posons A = 1 + X et B = 1 + X ² . Alors on a successivement :

A = 1 + X = 1 × (1 + X ² ) + X − X ² = B + X(1 − X) puis A = B + X 1 × B − X − X ² soit

A = (1 + X)B − X ² (1 + X ) = (1 + X − X ² )B − X ³ (1 − X ) . Et l’on voit que l’on peut continuer.

3 Fonctions polynˆ omes.

Remarque 3.1. Soit P un polynˆ ome ´ el´ ement de R [X] . Il s’´ ecrit donc P = a 0 + . . . + a p X ^p . Soit Q un autre polynˆ ome ´ el´ ement de R [X ] . On l’´ ecrit Q = b 0 + . . . + b q X ^q . Consid´ erons l’expression

P (Q(X)) =

p

X

i=0

a _i (Q(X)) ⁱ =

p

X

i=0

a _i (b ₀ + . . . + b _q X ^q ) ⁱ .

Il s’agit d’un polynˆ ome en X . Par ailleurs, si P et Q ne sont pas nuls, on voit que le terme de plus haut degr´ e est a _p b ^p _q X ^pq et, donc, que ce polynˆ ome est de degr´ e pq . On dira que l’on a substitu´ e ` a l’ind´ etermin´ ee X l’expression Y = Q(X ) .

Exemple 3.2. On pourra ainsi utiliser

P (X ² ) =

p

X

i=0

a _i X ²ⁱ ou P (X − a) =

p

X

i=0

a _i (X − a) ⁱ . D´ efinition 3.3. Soit P = (a ₀ , . . . , a _n , 0, . . .) = P n

i=0 a _i X ⁱ un polynˆ ome de R [X ] . On lui associe la fonction polynˆ ome x ∈ R 7→ P n

i=0 a _i x ⁱ ∈ R . On notera P (x) ce dernier scalaire. On dira que l’on a substitu´ e la variable x ` a l’ind´ etermin´ ee X .

Proposition 3.4. Soient P et Q deux polynˆ omes r´ eels. Soit λ un nombre r´ eel. On a

— ∀x ∈ R (P + Q)(x) = P(x) + Q(x) ;

— ∀x ∈ R (P Q)(x) = P (x)Q(x) ;

— ∀x ∈ R (λP )(x) = λP (x) .

On r´ esume en g´ en´ eral ces propri´ et´ es en indiquant que l’application qui associe ` a P la fonction polynˆ ome x 7→ P(x) est un morphisme d’alg` ebre.

V´ erification. V´ erifions l’une de ces propri´ et´ es. Les autres v´ erifications sont enti` erement analogues.

Notons n le degr´ e de P et m le degr´ e de Q . On a (P Q)(x) =

n+m

X

k=0



 X

i+j=k

a i b j



 x ^k =

n

X

i=0

a i x ⁱ

! 



m

X

j=0

b j x ^j



 = P(x)Q(x) . Proposition 3.5. Soit P un polynˆ ome r´ eel. Alors

∀x ∈ R P ⁰ (x) = (x 7→ P(x)) ⁰ .

Proposition 3.6. Soit P un polynˆ ome r´ eel. Soit a un nombre r´ eel. Alors le reste dans la division euclidienne de P par X − a est ´ egale ` a P (a) .

V´ erification. On a donc P = Q(X − a) + c o` u (Q, c) repr´ esentent quotient et reste de cette division euclidienne. Substituons ` a X le nombre r´ eel a (prenons les valeurs en a de ces deux polynˆ omes) :

P (a) = Q(a)(X − a)(a) + c = 0 × Q(a) + c = 0 . On a bien

P = Q(X − a) + P (a) .

Th´ eor` eme 3 (Formule de Taylor). Soit P un polynˆ ome r´ eel dont on notera n le degr´ e. Alors P =

n

X

i=0

P ⁽ⁱ⁾ (a)

i! (X − a) ⁱ . D´ emonstration. On sait que

P =

n

X

i=0

c _i (X − a) ⁱ = c ₀ + (X − a)

n

X

i=1

c _i (X − a) ⁱ⁻¹

! .

D’apr` es le r´ esultat pr´ ec´ edent, on voit que c 0 = P(a) . Par ailleurs on a P ⁰ =

n

X

i=1

ic i (X − a) ⁱ⁻¹ = c 1 + (X − a)

n

X

i=2

ic i (X − a) ⁱ⁻²

!

soit P ⁰ (a) = c ₁ . Plus g´ en´ eralement on aura, pour tout entier h ≥ 1 , P ^(h) =

n

X

i=h

i!

(i − h)! c i (X − a) ^i−h = h!c h + (X − a)

n

X

i=h+1

i!

(i − h)! c i (X − a) ^i−h−1

! .

Soit

∀h 0 ≤ h P ^(h) (a) = h!c _h .

Corollaire 3.7. Soit x 7→ P (x) une fonction polynomiale. On note n le degr´ e de P . Alors P (x) =

n

X

i=0

P ⁽ⁱ⁾ (a)

i! (x − a) ⁱ .

Remarque. Cela revient ` a dire que la formule de Taylor est exacte (son reste est nul) lorsque la fonction est polynomiale pourvu qu’on l’´ ecrive ` a un ordre plus grand ou ´ egal ` a celui du degr´ e de P .

Nous avons vu pr´ ec´ edemment que tout polynˆ ome de degr´ e 1 ´ etait irr´ eductible. Qu’en est-il des polynˆ omes de degr´ e sup´ erieur ?

D´ efinition 3.8. On dira que le r´ eel a est une racine du polynˆ ome P si et seulement si P (a) = 0 (ou si X − a divise P ) .

Th´ eor` eme 4 (D’Alembert). Tout polynˆ ome ` a coefficient complexe de degr´ e au moins 1 admet une racine complexe.

Ce th´ eor` eme dit aussi th´ eor` eme fondamental de l’alg` ebre est admis ici. il est ` a noter que toutes les d´ emonstrations connues utilisent des r´ esultats d’analyse.

Corollaire 3.9. La d´ ecomposition en facteurs irr´ eductibles d’un polynˆ ome complexe de degr´ e au moins 1 est form´ ee de polynˆ omes de degr´ e 1 .

V´ erification. Une simple r´ ecurrence.

Corollaire 3.10. La d´ ecomposition en facteurs irr´ eductibles d’un polynˆ ome r´ eel de degr´ e au moins 1 est form´ ee de polynˆ omes de degr´ e 1 ou de degr´ e 2 sans racines r´ eelles mais admettant deux racines complexes conjugu´ ees.

V´ erification. Soit P un tel polynˆ ome r´ eel. Vu comme un polynˆ ome complexe, il admet donc au moins une racine complexe c c’est ` a dire que P(c) = 0 . Soit c est un nombre r´ eel et P est divisible par X − c . Alors on est ramen´ e ` a l’´ etude du quotient de P par X − c (qui est de degr´ e strictement inf´ eieur ` a celui de P ). Soit il est complexe. Alors on a aussi P (¯ c) = 0 puisque P (¯ c) = P (c) = 0 . Le polynˆ ome (X − c)(X − ¯ c) = X ² − (c + ¯ c) + c¯ c est donc r´ eel. On peut donc ´ ecrire

P = Q(X − c)(X − ¯ c) + aX + b

o` u a et b sont r´ eels. Par ailleurs on a ac +b = 0 et a¯ c + b = 0 (en ´ evaluant notre polynˆ ome en ces nombres complexes). Bref

a|c| ² + b¯ c = 0 et a|c| ² + bc = 0

soit b(c − ¯ c) = 0 , b = 0 et a = 0 . Donc P est divisible par (X − c)(X − ¯ c) = X ² − (c + ¯ c)X + c¯ c (qui est bien un trinˆ ome du second degr´ e admettant deux racines complexes conjugu´ ees). Son quotient est alors de degr´ e inf´ erieur ` a celui de P . Et l’on conclut par r´ ecurrence.

Il nous reste ` a faire le lien entre racines multiples et d´ eriv´ ee.

D´ efinition 3.11. On dit que a est une racine d’ordre m (m ≥ 1) du polynˆ ome P si et seulement si P ^(h) (a) = 0 pour h < m .

On retrouve le fait qu’une racine simple est un r´ eel a qui annule P .

Proposition 3.12. Le r´ eel a est une racine d’ordre m (m ≥ 1) du polynˆ ome P si et seulement si (X − a) ^m divise P .

D´ emonstration. Si a est une racine d’ordre m de P , la formule de Taylor s’´ ecrit P =

p

X

i=0

P ⁽ⁱ⁾ (a)

i! (X − a) ⁱ =

p

X

i=m

P ⁽ⁱ⁾ (a)

i! (X − a) ⁱ = (X − a) ^m

p−m

X

h=0

P ^(h+m) (a)

(h + m)! (X − a) ^h

d’o` u le r´ esultat.

Inversement, si P = (X − a) ^m Q alors P ^(h) = X

i+j=h

h!

i!j! ((X − a) ^m ) ⁽ⁱ⁾ Q ^(j) = X

i+j=h

h!

i!j!

m!

i! (X − a) ^m−i Q ^(j)

d’apr` es la formule de Leibnitz. Mais, si h < m , on voit que le polynˆ ome (X − a) ^m−i s’annule en a . Bref P ^(h) (a) = 0 pour h < m .

Proposition 3.13 (Formule de Leibnitz). Soient P et Q deux polynˆ omes de R [X] . Alors (P Q) ⁽ⁿ⁾ = X

i+j=n

n!

i!j! P ⁽ⁱ⁾ Q ^(j) .

D´ emonstration. Si n = 1 , cela correspond ` a la formule vue plus haut : (P Q) ⁰ = P ⁰ Q+P Q ⁰ . Etudions

(P Q) ⁽ⁿ⁺¹⁾ =

(P Q) ⁽ⁿ⁾ 0

=



 X

i+j=n

n!

i!j! P ⁽ⁱ⁾ Q ^(j)





0

soit

(P Q) ⁽ⁿ⁺¹⁾ =

(P Q) ⁽ⁿ⁾ 0

=



 X

i+j=n

n!

i!j! iP ⁽ⁱ⁻¹⁾ Q ^(j)



 +



 X

i+j=n

n!

i!j ! P ⁽ⁱ⁾ jQ ^(j−1)





et

(P Q) ⁽ⁿ⁺¹⁾ =

n

X

i=0

n!

i!(n − i)! P ⁽ⁱ⁺¹⁾ Q ⁽ⁿ⁻ⁱ⁾ +

n

X

i=0

n!

i!(n − i)! P ⁽ⁱ⁾ Q ^(n−i+1) .

Transformons cette derni` ere ´ egalit´ e : (P Q) ⁽ⁿ⁺¹⁾ =

n+1

X

h=1

n!

(h − 1)!(n + 1 − h)! P ^(h) Q ^(n+1−h) +

n

X

i=0

n!

i!(n − i)! P ⁽ⁱ⁾ Q ^(n−i+1)

soit

(P Q) ⁽ⁿ⁺¹⁾ = n!

n! P ⁽⁰⁾ Q ⁽ⁿ⁺¹⁾ +

n

X

i=1

n!

(i − 1)!(n + 1 − i)! + n!

i!(n − i)!

P ⁽ⁱ⁾ Q ^(n+1−i) + n!

n! P ⁽ⁿ⁺¹⁾ Q ⁽⁰⁾ .

Il reste ` a ´ etudier

(pour 1 ≤ i ≤ n) n!

(i − 1)!(n + 1 − i)! + n!

i!(n − i)! = i × n! + (n + 1 − i) × n!

i!(n + 1 − i)! = (n + 1)!

i!(n + 1 − i)! . C’est ce que nous cherchions puisque

(P Q) ⁽ⁿ⁺¹⁾ = (n + 1)!

(n + 1)! P ⁽⁰⁾ Q ⁽ⁿ⁺¹⁾ +

n

X

i=1

(n + 1)!

i!(n + 1 − i)! P ⁽ⁱ⁾ Q ^(n−i+1) + (n + 1)!

(n + 1)! P ⁽ⁿ⁺¹⁾ Q ⁽⁰⁾ soit

(P Q) ⁽ⁿ⁺¹⁾ = X

i+j=n+1

(n + 1)!

i!j! P ⁽ⁱ⁾ Q ^(j) .

Proposition 3.14. Soit P un polynˆ ome r´ eel non nul. Alors la somme des multiplicit´ es des racines

r´ eelles ajout´ ee ` a la somme des multiplicit´ es des racines complexes (non r´ eelles) est ´ egale au degr´ e de P .

V´ erification. On sait que P =

r

Y

i=1

(X − a _i ) ^m

ⁱ

s

Y

j=1

(X − c _j ) ⁿ

^j

s

Y

j=1

(X − c ¯ _j ) ⁿ

^j

.

On sait en effet que P , en tant que polynˆ ome de C [X ] , est un produit de facteurs du premier degr´ e et l’on s´ epare les facteurs introduisant des racines r´ eelles et ceux introduisant des racines complexes. Le seul point ` a v´ erifier est que la multiplicit´ e des racines complexes c j est ´ egale ` a celle des ¯ c j mais on a

´

evidemment

(0 ≤ h ≤ n j ) P(c j ) = . . . = P ^(h) (c j ) = 0 et P ⁽ⁿ

^j

⁾ (c j ) 6= 0) ⇒ P( ¯ c j ) = . . . = P ^(h) ( ¯ c j ) = 0 et P ⁽ⁿ

^j

⁾ ( ¯ c j ) 6= 0

d’o` u le r´ esultat puisque P est ` a coefficients r´ eels (ainsi que tous ses polynˆ omes d´ eriv´ es).