Alg`ebre 2 – TD4 2010-2011
Extensions de corps, groupes de Galois
Exercice no 1 Soit K un corps de caract´eristique p >0. Si a /∈ Kp, montrer que pour tout n ≥ 1, le polynˆome Xpn −a est irr´eductible. En d´eduire que si K ⊂ L est une extension finie et que L est un corps parfait, alors K est un corps parfait.
Montrer qu’un sous-corps d’un corps parfait n’est pas n´ecessairement parfait.
Exercice no 2 Trouver une infinit´e d’extensions interm´ediaires entre Fp(Xp, Yp) etFp(X, Y)
Exercice no 3 D´eterminer les groupes de Galois suivants.
1. Gal(C/R).
2. Gal(Q(√ 2,√
3)/Q).
3. Gal(Q(√3 2)/Q).
4. Gal(R/Q).
Exercice no 4 1. Montrer que si p est un nombre premier, un p-cycle et une transposition engendrent toujours Sp.
2. En d´eduire le groupe de Galois du polynˆome X5−4X+ 2∈Q[X].
Exercice no 5 (Cyclotomie)
1. Soit n un entier positif. On noteµn l’ensemble des racines primitivesn-i`emes de l’unit´e dansC. On note Φn(X) le n-i`eme polynˆome cyclotomique. C’est le polynˆome unitaire de C[X] dont les racines sont les ´el´ements deµn. Calculer le degr´e de Φn(X).
2. Montrer l’´egalit´e
Xn−1 = Πd|nΦn(X).
En d´eduire que Φn est `a coefficients entiers.
3. Montrer que le corps de rupture de Φn est ´egal `a son corps de d´ecomposition.
4. Soitω ∈µn, et soitf son polynˆome minimal. Soith∈Z[X] tel que Xn−1 = f h. Soit p un nombre premier qui ne divise pas n, et soit g le polynˆome minimal deωp. On suppose f 6=g. Montrer que g|h et que f(X)|g(Xp).
5. Montrer que f =g, et en d´eduire l’irr´educitbilit´e des Φn.
6. Soitω une racine primitiven-i`eme de l’unit´e. Quel est le groupe de Galois de Q(ω) sur Q?
7. Soit G un sous-groupe de GLn(Q) dont tous les ´el´ements sont d’ordre fini.
Montrer que Gest d’exposant fini (on peut en d´eduire que Gest fini).
8. Soitnun entier strictement positif. Montrer qu’il existe une infinit´e de nombres premiers congrus `a 1 modulo n.
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Polynˆ omes de degr´ e 3
Exercice no 6 (Extensions galoisiennes de degr´e 3) Soit K un corps de ca- ract´eristique nulle. On se propose de d´eterminer une famille d’extensions galoi- siennes de degr´e 3 de K.
1. Soit L une telle extension de K (on pourra penser aux polynˆomes de Tche- bychev). Quel est le groupe de Galois de Lsur K?
2. Montrer que si L est une extension galoisienne de degr´e 3 de K, il existe un polynˆome P de degr´e 3 irr´eductible sur K tel que L soit le corps de d´ecomposition de P.
3. Montrer qu’il existe de tels P et K tels que le corps de d´ecomposition de P est de degr´e 6 surK.
4. Soit σ:K(X)→K(X) l’automorphisme de corps qui fixe les ´el´ements deK et envoieX sur 1−1X. Montrer queσ est un automorphisme d’ordre 3.
5. SoitGle sous-groupe des automorphismes deK engendr´e par σ. Montrer que le corps des invariants K(X)G est de la forme K(T), o`u T est une fraction rationnelle telle queσ(T) = T.
6. Montrer que l’on peut choisir T = X3X−3X2−X+1. On pourra remarquer que T = X+σ(X) +σ2(X) et ´etudier le degr´e de l’extension K(X) de K(X)G. 7. Montrer que l’extension K(T)⊂K(X) est galoisienne de degr´e 3.
8. Soit t un ´el´ement de K tel que le polynˆome
P(X) = X3−tX2+ (t−3)X+ 1
est irr´eductible. Montrer que le corps de d´ecomposition deP est une extension galoisienne deK de degr´e 3. On peut montrer, mais c’est plus difficile, que le polynˆome donn´e ci-dessus est universel, au sens o`u toute extension galoisienne de degr´e trois deK est corps de d´ecomposition d’un polynˆome de cette forme.
9. Reprendre la discussion pr´ec´edente en utilisant l’automorphismeσ qui envoie X sur −X+1X+1. Qu’obtient-on ?
Exercice no 7 Soit K un corps de caract´eristique 0, P = X3 +aX +b ∈ K[X]
`
a racines simples x1, x2, x3. On pose δ = (x1 −x2)(x1 −x3)(x2 −x3) et ∆ = δ2. On pourra commencer par admettre que ∆ = −4a3−27b2. On note L le corps de d´ecomposition de P.
1. Montrer que si Gal(L/K) contient un ´el´ement d’ordre 2, alorsδ /∈K. Quelles sont alors les possibilit´es pour le groupe Gal(L/K) ? Que dire siP est irr´eductible surK?
2. On suppose P irr´eductible sur K. Montrer que le groupe de Galois de P est cyclique si et seulement si ∆ est un carr´e dans K×.
3. Donner une id´ee de la preuve de l’´egalit´e ∆ =−4a3−27b2.
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Exercice no 8 Dans cet exercice, on se propose de r´esoudre par radicaux les
´equations de degr´e 3. Soit P(X) = X3 +aX +b un polynˆome de degr´e 3 `a co- efficients dans un corps K de caract´eristique nulle. Soient α, β, γ les racines de P dans une clˆoture alg´ebrique de K, et L le corps de d´ecomposition de K contenant α, β etγ. On suppose queK contient une racine primitive troisi`eme de l’unit´e not´ee j.
1. Quels sont les groupes de Galois possibles pour l’extension L/K?
2. Soit G le groupe de Galois de l’extension L/K. Montrer que G contient un sous-groupe distingu´e d’ordre 3 que l’on pr´ecisera. En utilisant ce groupe, montrer que l’´el´ement α+jβ +j2β de L a son cube dans une extension de degr´e au plus 2 de K.
3. Expliquer comment r´esoudre l’´equation g´en´erale de degr´e 3 (Cardan).
4. Comment pourrait-on faire pour l’´equation de degr´e 4 ?
