Exercice 1. Soit d ∈ N . On note V d l’espace vectoriel des polynˆ omes homog` enes de degr´ e d en trois variables X 0 , X 1 , X 2 .

UNIVERSIT ´ E NICE SOPHIA ANTIPOLIS Ann´ ee 2014/2015 Master 2 Math´ ematiques Introduction ` a la g´ eom´ etrie alg´ ebrique

Feuille d’exercices 9

Soit k un corps alg´ ebriquement clos de caract´ eristique 0.

Exercice 1. Soit d ∈ N . On note V d l’espace vectoriel des polynˆ omes homog` enes de degr´ e d en trois variables X 0 , X 1 , X 2 .

a) Montrer que dim k V d = ^(d+1)(d+2) ₂ . b) Soit P ∈ P ² un point et

V _d (P) := {F ∈ V _d | F (P ) = 0}.

Montrer que V d (P) ⊂ V d est un sous-espace vectoriel de codimension un.

c) Pour r ∈ N et P ∈ P ² un point on pose

V d (P ) := {F ∈ V d | µ P (F) ≥ r}.

Calculer la codimension de V d (rP ) dans V d pour r ≤ d.

d) Soient r ₁ , . . . , r _n ∈ N et P ₁ , . . . , P _n ∈ P ² des points. On pose

V d (r 1 P 1 , . . . , r n P n ) := {F ∈ V d | µ P

(F ) ≥ r i ∀ i = 1, . . . , n}.

Montrer que

dim V d (r 1 P 1 , . . . , r n P n ) ≥ (d + 1)(d + 2)

2 −

n

X

i=1

r i (r i + 1)

2 .

e) Supposons que P n i=1

r

(r

+1)

2 ≤ ^d(d+3) ₂ . Montrer qu’il existe un polynˆ ome non-nul F de degr´ e d ayant multiplicit´ e r i dans P i pour tout i = 1, . . . , n.

Exercice 2. Soit F ∈ k[X ₀ , X ₁ , X ₂ ] un polynˆ ome homog` ene de degr´ e d qui n’a pas de facteur multiple. Pour tout P ∈ P ² on note µ _P (F ) la multiplicit´ e de F en P .

a) Montrer qu’on a

X

P∈

µ P (F)(µ P (F) − 1) ≤ d(d − 1).

Indication : appliquer Bezout ` a V (F ) et V ( _∂X ^∂F

0

).

b) L’in´ egalit´ e pr´ ec´ edente est optimale pour des courbes V (F) ⊂ P ² qui sont r´ eductibles ¹ . Sup- posons maintenant que F est irr´ eductible de degr´ e d ≥ 3 et notons P 1 , . . . , P k ∈ P ² les points singuliers de V (F). Montrer qu’on a

k ≤ 1

2 (d − 1)(d − 2)

1

Question bonus : construire un exemple o` u on a l’´ egalit´ e.

1

Indication : en utilisant l’exercice 1 montrer qu’il existe un polynˆ ome homog` ene G non-nul de degr´ e d − 2 passant par P 1 , . . . , P k et Q 1 , . . . , Q d−3 , o` u les Q j sont d − 3 points distincts de V (F ) \ {P 1 , . . . , P k }. Montrer que V (G) et V (F ) n’ont pas de composante irr´ eductible en commun et conclure par Bezout.

Exercice 3. Soit X une vari´ et´ e alg´ ebrique (donc un ensemble alg´ ebrique irr´ eductible) muni de son faisceau de fonctions r´ eguli` eres O X . Si U, V ⊂ X sont des ouverts non-vides et f ∈ O _X (U ), g ∈ O _X (V ) on d´ efinit que f ∼ g si f | _U∩V = g| _U

.

a) Montrer que ∼ d´ efinit une relation d’´ equivalence sur l’ensemble S

∅6=U⊂X

O _X (U ) o` u U ⊂ X sont des ouverts.

b) On note K(X ) l’ensemble des classes d’´ equivalence pour la relation ∼. Montrer qu’on peut d´ efinir pour f, g ∈ K(X ) la somme f + g et le produit f · g. Montrer que K(X) est un corps qu’on appelera le corps des fonctions rationnels de X.

c) Supposons que X ⊂ k ⁿ est une vari´ et´ e affine et soit Γ(X ) son anneau de fonctions. Montrer que

K(X ) = Frac(Γ(X)).

d) Supposons que X ⊂ P ⁿ est une vari´ et´ e projective et soit S(X) son anneau gradu´ e. Montrer que

K(X ) = S(X ) ₍₍₀₎₎

o` u S(X) ₍₍₀₎₎ ⊂ Frac(S(X)) sont les ´ el´ ements de la forme ^f _g avec deg f = deg g.

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