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Université Cadi Ayyad

Faculté PolyDisciplinaire, Safi Série No 2 A.U : 2019/2020

Equations différentielles

Exercice 1. On considère l’équation différentielle linéaire suivante : (E) : (1 + x 2 )y 0 + x 2 y = 1 + x 2 arctan(x).

1. Vérifier que y 0 = arctan(x) est une solution particulière de (E).

2. Déduire la solution générale de (E).

Exercice 2. Résoudre les équations différentielles suivantes sur l’intervalle I : 1. y 0 + 2y = x, I = R .

2. y 0 cos(x) + y sin(x) = 1, I =] − π 2 , π 2 [.

3. y 0 + 2xy = 2xe −x

2

, I = R . 4. xy 0 + 2y = x

x 2 + 1 , I = R ∗ .

Exercice 3. On considère l’équation différentielle

y 00 + 2y 0 + 4y = xe x . (E)

1. Déterminer les solutions de (E).

2. Déterminer les solutions h de (E) qui vérifiant h(0) = h 0 (0) = 0.

3. Soit f :]0, +∞[−→ R deux fois dérivable vérifiant

t 2 f 00 (t) + 3tf 0 (t) + 4f (t) = t ln(t) On pose g(x) = f (e x ).

— (a) Vérifier que g est solution de (E)

— (b) En déduire l’expression de f .

Exercice 4. Résoudre les équations différentielles suivantes : 1. y 00 + y 0 − 2y = xe x + cos(x).

2. y 00 + 2y 0 + y = ch(x).

3. y 00 + y = tan(x).

4. y 00 + y = 1 sin 3 (x) .

Prs. M. Karmouni et L. Essafi Page 1/1 SMP \SMC, S2, Analyse 2

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f ���������� f ��������������������������������������������������������������������������������������������������� f ������������� 0 ��������������������������������� f ������������������������� ]0 , 1[ ∪ ]1 , + ∞ [ ��������������� f ���������������������

Compléter les pointillés de la définition ci-dessus en choisissant le mot qui convient parmi les deux propositions suivantes1.

On a (1 +x)1+x =e(1+x) ln(1+x)=e(1+x)(x−x 2 2)+o(x2) =ex+ x2 2 +o(x2

La fonction f est d´ efinie et d´ erivable

BOX 1 1, 2, 3, 4, 5, 6, 2x7, 2x8, 2x9, 2x10, 11, 12, 13, 14, x. 1 x. 1 x. 1 x. 2 x. 2 x. 2 x 2 x. 1 x 1 x. 1 x. 1 x 1 x.

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9 S =0 S =1 S =0 S =0 S =1 S =0 S =0 2 S j t S =1 S =0 S ;S ;:::; f 0 ; 1 ; 2 ;::: g S S X ( t )= x t x T =[0 ; 1 ] T = f 0 ; 1 ; 2 ;::: g T X ( t ) t

[r]

2 x= x= −1 y=x y=x +1 2

[r]

x " x 2 1 t " t 2 1 !

◊ remarque : la représentation de Fresnel permet de déterminer graphique- ment la superposition de deux signaux se propageant dans le même sens ; pour

r x x x − − x x 2 2 1 1 1 e y = Ae + Be d d ydx udx d u T = A e + A e 2 2 1 2 = + − − u y = = 0 0 2 2 k k k 1 2 € € € € € € € €

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