Montrer que l’´equationex+ey+x+y−2 = 0 d´efinit au voisinage de 0 une fonction impliciteϕde xdont on calculera le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 3 en 0

Universit´e Lille I L3 Maths

2011-2012 M-52

10 - FONCTIONS IMPLICITES ET SOUS-VARIETES

Exercice 1

1. Soitf la fonction deR²dansRd´efinie parf(x, y) =x³+y³−3xyetC={(x, y)∈R²|f(x, y) = 0}.

En quels points peut-on appliquer le th´eor`eme des fonctions implicites ? Calculer la d´eriv´ee de la fonction implicite lorsqu’elle existe et ´ecrire l’´equation de la tangente `aC.

2. Montrer que l’´equatione^x+e^y+x+y−2 = 0 d´efinit au voisinage de 0 une fonction impliciteϕde xdont on calculera le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 3 en 0.

3. Montrer que les ´equationsx+y−zt=xy−z+t= 0 d´efinissent au voisinage dez= 0, t= 1 deux fonctions implicitesx=ϕ1(z, t), y=ϕ2(z, t) avecϕ1(0,1) = 1, dont on calculera les diff´erentielles en ce point.

Exercice 2

On consid`ereE=Mn(R),F =GLn(R) et l’application Ψ deF×EdansEd´efinie par Ψ(A, B) =AB−I.

Montrer `a l’aide du th´eor`eme des fonctions implicites que ϕ: A ∈ F →A⁻¹ est diff´erentiable en tout point deF et retrouver sa diff´erentielle.

Exercice 3

Soit f : R³ → R² d´efinie par f(x, y, z) = (x² −y²+z²−1, xyz−1). Soit (x⁰, y0, z0) ∈ R³ tel que f(x⁰, y0, z0) = (0,0). Montrer qu’il existe un intervalleI contenantx0et une applicationφ:I→R² tels queφ(x⁰) = (y⁰, z0) etf(x, φ(x)) = 0 pour toutx∈I.

Exercice 4

On consid`ere le syst`eme d’´equations :

x²+y²−2z² = 0 x²+ 2y²+z² = 4 .

Montrer que, pourxproche de l’origine, il existe des fonctions positivesy(x) etz(x) telles que (x, y(x), z(x)) soit solution du syst`eme. On d´etermineray^′ en fonction dex, y et z^′ en fonction dex, z.

Exercice 5

Donner l’allure deC={(x, y)∈R²|x⁴+y³−x²−y²+x−y= 0}au voisinage des points (0,0) et (1,1).

Exercice 6

D´eterminer, parmi les sous-ensembles d´efinis ci-dessous, ceux qui sont des sous-vari´et´es : 1. {(x, y, z)∈R³| x³+y³+z³−3xyz= 1};

1

2. {(x, y)∈R²|xy= 0};

3. {(x, y, z)∈R³| x²+y²+z²= 1et x²+y²−x= 0}; 4. {(x, y)∈R²|y²=x³};

5. {(x, y, z)∈R³| x²+y²=λz²}o`uλ∈R; 6. {(x, y)∈R²|y³=x³}.

Exercice 7

1. Montrer que l’´equationxy+xz+yz+ 2x+ 2y−z= 0 d´efinit au voisinage de (0,0,0) une surface.

Donner l’´equation du plan tangent affine de cette surface `a l’origine.

2. Montrer que les ´equations 4xy+ 2xz+ 4y−z= 0 etxy+xz+yz+ 2x+ 2y−z= 0 d´efinissent au voisinage de l’origine une courbe. D´eterminer l’espace tangent de cette courbe `a l’origine.

Exercice 8

Montrer que Sln(R) ={A∈ Mn(R)| det(A) = 1} est une sous-vari´et´e deMn(R) de dimensionn²−1 dont l’espace tangent enIest

TISln(R) ={X∈ Mn(R)|tr(X) = 0}.

Montrer queOn(R) ={A∈ Mn(R)| ^tAA=In}est aussi une sous-vari´et´e de Mn(R).

Exercice 9

SoitE un espace vectoriel de dimension finie,a∈E etf :E→Eun diff´eomorphisme de classeC¹ ayant un point fixea. On suppose qu’il existen∈N^∗ tel quefⁿ =id.

1. Pourp∈N, calculer D(f^p)(a). En d´eduire queu:=Df(a) est une application lin´eaire inversible.

Que vaut Du? 2. On poseϕ(x) =Pn

p=1u^−p(f^p(x)) pourx∈E. V´erifier queϕ◦f =u◦ϕ.

3. Montrer que ϕest unC¹-diff´eomorphisme au voisinage dea. En d´eduire qu’il existe un voisinage ouvertU deasur lequelf =ϕ⁻¹◦u◦ϕ.

4. SoitF l’ensemble des points fixes def : on a donca∈F∩U. Montrer que six∈U, alors x∈F ⇐⇒ϕ(x) est vecteur propre deupour la valeur propre 1.

En d´eduire que ϕ(F ∩U) est un sous-espace vectoriel deE, puis que chaque composante connexe deF est une sous-vari´et´e deE.

5. Soit g : R² → R², g(x, y) = (x, y+y³−x²). Montrer que g est un diff´eomorphisme de R². En d´eduire que 4) n’est plus n´ecessairement vrai si on supprime l’hypoth`ese fⁿ=id.

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