Chap 3
Notion de d´ eveloppement limit´ e en 0
1 D´ efinition
D´efinition.Soitf d´efinie surDcontenant un voisinage de 0. On dit quef admet un d´eveloppement limit´e d’ordre n en 0 si l’on peut ´ecrire
fpxq a0 a1x a2x2 anxn εpxqxn avec εpxq ÝÝÝÑ
xÑ0 0
Exemple. Soitfpxq 11x. On cherche un DL def au point 0.
2 Exemples de d´ eveloppements limit´ es
Remarque.
Etude.´
R´esultat.
cosx1x22 x3 é
0
εpxq DL `a l’ordre 3.
Suite de l’´etude.
R´esultat.
sinxx x63 x4 é
0
εpxq DL `a l’ordre 4.
Autres DL classiques.
ex1 x x22 x3!3 x3 é
0
εpxq lnp1 xq xx22 x33 x3 é
0
εpxq
?1 x1 x2 18x2 x2 é
0
εpxq p1 xqα 1 αx αpα2!1qx2 αpα13!qpα2qx3 x3 é
0
εpxq
Arctanxxx33 x3 é
0
εpxq
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Chap 3 – Notion de d´eveloppement limit´e en 0
3 Exemples d’utilisation
Exemple. Donner une valeur approch´ee de 1 0,99. Exemple. D´eterminer la limite en 0 de
?1 x? 1x
x 1
x2 .
Exemple. Soit fpxq cosx1
x2 , d´efinie sur R. Par op´eration,f est continue surR. On voudrait savoir sif est prolongeable par continuit´e en 0, puis savoir si ce prolongement est d´erivable surR.
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Chap 3 – Notion de d´eveloppement limit´e en 0
3.1D´eterminerlalimiteen0`adroitedep1xq
1 x.dl_46.tex 3.2
21 ´ Etudierlalimiteen0de.dl_47.tex 21cosxsinx 3.3D´eterminerlalimiteen0de: x pe1qtanx p1cosxq dl_48.tex 3.4D´eterminerlalimiteen1de: π lnsinx 2 2px1q dl_49.tex 3.5D´eterminerlalimiteen0de: 2 lnp1xq xcos3xe dl_50.tex π 3.6D´eterminerlalimiteende: 2 3 cosxp1cosxq
dl_51.tex 3.7Calculerleslimitesdesexpressionssuivantes: paqlnp1xqlnp1xq x2en0pbqtanxx x3en0 pcq1lnp1xqpsinxcosxq x3en0pdqxp1cosxq2tanx 2xsinxtanxen0 peq1xlnx 1? 2xx2en1 dl_44.tex 3.8Soitf:RÑR xÞÑex 1 x Donnerunprolongementparcontinuit´edef`aR.Ceprolongement est-ild´erivable?dl_45.tex 3.9Soitϕ: 0,π 2 ÑR tÞÑ1 sint1 t
. (a)Montrerqueϕseprolongedefa¸concontinueen0. (b)Montrerqueceprolongementestd´erivableen0. (c)
´ Etudierlacontinuit´edelad´eriv´ee. dl_52.tex
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