l’ordre 3 au voisinage de 0.

Texte intégral

(1)www.elmerouani.jimdo.com. Analyse Mathématique. Développements limités. Exemple : Donner le D.L. de x a Log (1 + x) à l’ordre 3 au voisinage de 0.. x2 x3 Log (1 + x) = x − + + 0( x 3 ) 2 3 Remarque :. ®E. Les D.L. des fonctions usuelles est la décomposition de ces dernières sous forme d’une. somme de termes de plus en plus « petits » au voisinage de 0. Chaque terme est négligeable,. lM. vers 0, devant le précédent, y compris bien sur le dernier, o( x n ) , négligeable devant tous les termes.. Exemple :. (Fonction Logarithmique) on a :. x 2 x3 xn + + ... + (−1) n −1 + 0( x n ) au voisinage de 0 2 3 n. ero. Log (1 + x) = x −. négligeable. ua devant. Log (1 + x) = − x −. ni. x2 x3 xn − ... − + 0( x n ) au voisinage de 0. 2 3 n. devant 1) Opérations sur D.L :. FP. négligeable. Te. a) Addition :. Si au voisinage de zéro, f admet un D.L. d’ordre n ( f ( x) = pn ( x) + 0( x n ) ) et g. tou. admet un D.L. d’ordre n ( g ( x ) = q n ( x ) + 0( x n ) ), alors la fonction f + g admet, au voisinage de zéro, D.L d’ordre n ( ( f + g )( x) = p n ( x) + g n ( x) + 0( x n ) ) Exemple : Donner le D.L., au voisinage de zéro de :. e x + e− x , a l’ordre n = 2 p et n = 2 p + 1 avec p ∈ IN 2. On sait que, au voisinage de 0, on a. ex = 1 +. n x x2 xn xk + + .... + + 0( x n ) = (∑ ) + 0( x n ) 1! 2 n! k =0 k !. Donc, on peut déduire, par transformation de x en –x, que. 11. an. f ( x) =.

(2) www.elmerouani.jimdo.com. Analyse Mathématique. ex = 1 −. Développements limités. n x x2 xn xk + − .... + (−1) + 0( x n ) = (∑ (−1) k ) + 0( x n ) 1! 2 n! k! k =0 n. e x + e − x = (∑ (1 + (−1) k ) k =0. xk ) + 0( x n ) k!. n = 2p. x2m ) + 0( x 2 p ) m=0 ( 2m)! P. ®E. f ( x) = (∑. = 1+. lM. x2 x4 x p2 + + .... + + 0( x 2 p ) 2! 4! (2 p)!. Si n = 2 p + 1. x 2m ) + 0( x 2 P +1 ) m=0 ( 2m)! p. ero. f ( x) = (∑ =1 +. 1) Donner. le. D.L. ni. Exemples :. ua. Multiplication :. x2 x4 x2P + + ... + + 0( x 2 p+1 ) 2! 4! (2 p)!. à. l’ordre. 3. au. voisinage. de. 0. de. la. fonction. FP. f ( x ) = e x Log (1 + x ) au voisinage de 0, on a. Te. x2 x3 x 2 x3 3 e =1+ x + + + o(x ) et Log( x + 1) = x − + + o( x 3 ) 2 6 2 3 x. x2 x3 x2 x3 3 + + o( x ))(x − + + o( x 3 )) Donc e Log( x + 1) = ((1 + x + 2 6 2 3 x. et aussi. x 2 x3 (x − + ) × o( x 3 ) = o( x 4 ) 2 3 Et on a. an. tou. x2 x3 (1+ x + + )×o(x3) = o(x3) 2 6. o( x 3 ) + o( x 4 ) = o( x 3 ). o(x3 ) × o(x3 ) = o(x3 ) car, on peut montrer que, on générale :. 12.

(3) www.elmerouani.jimdo.com. Analyse Mathématique. Développements limités. o(xn ) ×o(xn ) = o(xn ) D’où :. x2 x3 2 x3 x4 x3 x4 x5 x4 x5 x6 e Log(1+ x) = x − + + x − + + − + + + + + o(x3) 2 3 2 3 2 4 6 6 12 18 x. Les termes de degré. ≥ 4 sont tous des o( x 3 ) , par conséquent. ®E. x 2 x3 e Log(1 + x) = x − + + x 2 + o( x 3 ) (Tous les termes négligeables devant x 3 se 2 3 x. lM. regroupent en un seul.). x2 x3 = x+ + + o( x 3 ) 2 3. au voisinage de 0.. ero. 2) D.L. au voisinage de 0, à l’ordre 3 de la fonction f ( x ) =. 1+ x. ua. On a : e x = 1 + x +. = 1−. 1+ x. x2 x3 + + o( x 3 ) au voisinage de 0. 2 6. x 3 2 5 3 + x − x + o( x 3 ) au voisinage de 0. 2 8 16. ni. 1. ex. FP. Donc.   x 3 x2 x3 5   = 1 + x + + + o( x 3 )  1 − + x 2 − x 3 + o( x 3 )  2 6 16 1+ x    2 8 ex. Et o( x 3 ).o( x 3 ) = o( x 3 ). an. tou. 5  x 3  De même 1 − + x 2 − x 3  × o( x 3 ) = o( x 3 ) 16   2 8. Te.  x2 x3  Mais, on a : 1 + x + +  × o( x 3 ) = o( x 3 ) 2 6  . D’où. x 3 5 x2 3 5 x2 x3 3 5 x3 x4 3 5 = 1 − + x 2 − x 3 + x − + x 3 − x 4 + − + x 4 − x 5 + − + x 5 − x 6 + o( x 3 ) 2 8 16 2 8 16 2 4 16 32 6 12 48 96 1+ x Les termes qui comportent une puissance de x supérieure strictement à 3 sont négligeables ex. 3. devant x au voisinage de 0, donc. ex. 1 3 1 1 5 3 1 1 = 1 + (− +1)x + ( − + )x2 + (− + − + )x3 + o(x3 ) 2 8 2 2 16 8 4 6 1+ x 13.

(4) www.elmerouani.jimdo.com. Analyse Mathématique. Développements limités. Finalement. ex. = 1+. 1+ x. 1 3 1 3 x + x2 − x + o( x 3 ) 2 8 48. au voisinage de 0.. Inversion et D.L d’un quotient :. ®E. Exemple :. Donner le D.L à l’ordre 2 au voisinage de 0 de la fonction :. lM. x ex −1. f ( x) =. x x = 3 2 x x x x3 3 (1 + x + + + o( x ) − 1 x + + + o( x 3 ) 2 6 2 6 2. ero. x = e −1 x. au voisinage de 0, on a :. 1 1 = x x2 1+ x x + + + o( x 2 ) 2 6. ni. ua. Donc :. x = ex −1. voisinage de 0. Et on applique le D.L. à l’ordre 2 au voisinage de 0 ;. Te. De. 1 1+ x. FP. x x2 + o ( x 2 ) alors X appartient à un voisinage de 0 car x est dans un Si on pose X= + 2 6. tou. 1 2 2 = 1 − X + X + o( X ) 1+ x D’où :. an. x x x2 x x2 2 2 2 2 = 1 − ( + + o ( x )) + ( + + o ( x )) + o ( X ) ex −1 2 6 2 6. x x x2 x2 =1− − + + o( x 2 ) x e −1 2 6 4. x x2 =1− − + o( x 2 ) 2 12. au voisinage de 0. 14.

(5) www.elmerouani.jimdo.com. Analyse Mathématique. Développements limités. Du fait de la simplification par x qui intervient au cours du calcul, il fallait prendre au départ le D.L de. e x à l’ordre 3 pour obtenir celui de. x a l’ordre 2 à la fin. e −1 x. Un tel phénomène est fréquent ; soit en le prévoit à l’avance, soit on décide systématiquement de faire les calculs avec des D.L l’ordre supérieur à celui demandé, par mesure de précaution.. 5) D.L au voisinage d’un autre point que 0 :. ®E. Définition : Soit. x0. ce point ( x0. ≠ 0). lM. x0 ,. voisinage de ce point au D.L, l’ordre n si la fonction. u → g(x) = f (x0 + x) admet un. ero. On dit que f une fonction définie au voisinage de. sauf peut être en x0 , admet au. D.L d’ordre n au voisinage de 0. On aura alors. ua. g ( x ) = a 0 + a1 u + ....... + a n u n + o (u n ). ni. Que l’on peut encore écrire. f (x) = a0 + a1(x − x0 ) + .......+ an ( x − x0 )n + o((x − x0 )n ) Se ramène donc du. FP. x 0 à celui de 0 en posant x − x0 = u. voisinage de. Exemple :. x. e =e. au voisinage de. x0 = 1. on se ramène au D.L de. u = x −1. u +1. ex. au voisinage de. tou. 0 en posant. ex. x = u + x0. Te. D.L d’ordre n de. ou encore.  u u2  un = e.e = e 1 + + + .... + + o( x n ) Soit n!  1! 2!  u. an.   ( x − 1) 2 ( x −1) n e = e1 + ( x − 1) + + .... + + o(( x −1) n ) au voisinage de 1. 2! n!   x. Exemple : Donner le D.L à l’ordre 2 au voisinage de 1 de. f ( x) =. 15. Log x x2 −1.

(6) www.elmerouani.jimdo.com. Analyse Mathématique. Développements limités. Réponse :. D. f. = IR +∗ − {1}. Posons. u = x – 1 ou encore x = u + 1. Lorsque x est voisinage de 1, u est voisinage de 0, donc on a. lM. ®E.     Log (1 + x ) 1 1  (Log (1 + u ) ) = u (2 + u ) 2u u  1 +     2  . ero.  u u Log(1 + x) 1  u2 u3 u  =  u − + + o(u 3 ) 1 − + ( ) 2 − ( ) 3 + o(u 3 )  u (2 + u ) 2u  2 3 2   2 2. 2. +. 1 u 5 − + 2 2 12. Reste à repasser en x :. 5 u 6. 3.  + o (u 3 )  . u. 2. + o (u. 2. ). au voisinage de 0.. FP. =. 1  u − u 2 u . ni. =. ua. 1  u2 u3 u 2 u3 u3 3  = u − + − + + + ( ) o u 2u  2 3 2 4 4 . Te. Logx 1 ( x − 1) 5 = − + ( x − 1) 2 + o (( x − 1) 2 ) 2 x −1 2 2 12. tou. Remarque :. au voisinage de 1.. De la même manière, on peut considérer le D.L de f au voisinage de l’infini, qu’on ramènera au voisinage de 0 par le changement de variable t. 1 x. an. 16. =.

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l’ordre 3 au voisinage de 0.