(D.L.en abrégé) d’ordre n au voisinage de 0 , s’il existe un intervalle ouvert &Iota

Texte intégral

(1)www.elmerouani.jimdo.com. Analyse Mathématique. Développements limités. 2) Définition du développement limité d’ordre n au voisinage de zéro : Soit f une fonction définie sur un voisinage de 0, sauf peut-être en 0. On dit que f admet un développement limité (D.L.en abrégé) d’ordre n au voisinage de 0 , s’il existe un intervalle ouvert Ι de centre 0 et des constantes a, a,... a tels que : 0. 1. n. ®E. f ( x) = a + a + a x 2 + a x 3 + ... + a x n + x nε ( x) 0. 1. 2. 3. n. f ( 0) = a 0. lM. f ' ( x) = a + 2 a x + 3 a x 2 + ... + n a x n−1 + nx n−1ε ( x) 1. 2. 3. n. f ' ( 0) = a 1. ero. f " ( x) = 2 a + 3 × 2 a x + ... + n(n − 1) a x n−2 + n(n − 1) n−2 xε ( x) 2. 3. f " ( 0) = 2 a ⇒ a = 2. 2. n. ua. f " ( 0) 2. a=. H.R. n. ni. Et on le démontre pour a = n+1. f ( n ) ( 0) n!. f ( n+1) (0) d’où la remarque. (n + 1)!. FP. Pour tout x ≠ 0 appartenant à Ι :. f ( x) = a + a x + ... + a x n + x nε ( x) 0. 1. n. limε ( x) =0. Te. Où ε est une fonction définie dans Ι , telle que. x→0. 0. Le polynôme. 1. p( x) = n. tou. On écrit aussi f ( x) = a + a x + ... + a x n + 0( x n ) n. a + a x + ... + a x n est appelé « partie régulière » du D.L et 0. 1. n. an. x nε ( x) = 0( x n ) le reste du D.L. Théorème d’unicité :. Si f admet un D.L. d’ordre n au voisinage de 0, ce D.L. est unique.. Dém : « exercice facile » Remarque : Pour Trouver le D.L d’ordre n des fonctions usuelles au voisinage de 0 on utilise la formule de Taylor-Young en 0.. 6.

(2) www.elmerouani.jimdo.com. Analyse Mathématique. Développements limités. Exemple : a) Fonctions exponentielles : Le D.L d’ordre n au voisinage de 0 de la fonction exp est :. ex = 1 +. x x2 x2 + + ... + + 0( x n ) Au voisinage de 0. 1! 2! n! ∞. On applique la formule de Taylor-Young à f ( x) = e x qui est de classe C de ℜ. Dém :. ®E vers ℜ. Et on a f ' ( x) = f " ( x) = .... = f ( n ) ( x) = e x. lM. Donc : f (0) = f ' (0) = f " (0) = ... = f ( n ) (0) = 1. Et on trouve e x = 1 +. ero. x x2 xn + + ... + + 0( x n ) au voisinage de 0. 1! 2! n!. Conséquence :. On déduit immédiatement pour a f 0. x log a ( x log a ) 2 ( x log a ) n + + .... + + 0( x n ) au voisinage de 0 (D.L.d’ordre n) 1! 2! n!. b) Fonction puissance :. ni. ua. a x = e x log a = 1 +. Le D.L. d’ordre n au voisinage de 0 de f ( x) = (1 + x)α sur ]-1,+ ∞ [ pour tout α ∈ ℜ est :. αx α (α − 1) +. 1!. 2!. x 2 + ... +. α (α − 1)...(α − n + 1) n x + 0( x n ) n!. FP. (1 + x)α = 1 +. ∞. f ( x) = α (1 + x)α est de classe C de]-1,+ ∞ [ vers ℜ. Dém :. Te. Et on a : f ' ( x) = α (1 + x)α −1 ; f " ( x) = α (α − 1)(1 + x)α −2. Donc. tou. …………. : f ( n ) ( x) = α (α − 1)....(α − ( n − 1))(1 + x)α −n. : f (0) = 1; f ' (0) = α ; f " (0) = α (α − 1);....; f ( n ) (0) = α (α − 1)...(α − ( n − 1)). Et la formule de Taylor-Young en 0 donne :. an. x x2 α (α − 1)...(α − (n − 1)) n (1 + x) = 1 + α + α (α − 1) + .... + x + 0( x n ) 1! 2! n! α. au voisinage de 0. Cas particuliers de la formule précédente : •. α = −1 donne 7.

(3) www.elmerouani.jimdo.com. Analyse Mathématique. (1 + x) −1 =. Développements limités. 1 ( −1)( −2) 2 ( −1)( −1 − 1)...(−1 − n +) x n =1− x + + 0( x n ) x + ... + 1+ x 2! n!. C’est-à-dire : 1 = 1 − x + x 2 + ... + ( −1) n x n + 0( x n ) au voisinage de O . 1+ x •. α = −1. et. la. substitution. de. x. par. –x. donnent. (−1)(−2) (−1)(−1 − 1)...(−1 − n + 1) (− x) 2 + .... + ( − x ) n + 0( x n ) 2! n!. ®E (1 + x) −1 = 1 +. C’est-à-dire :. lM. 1 = 1 + x + x 2 + ... + x n + 0( x n ) au voisinage de 0. 1− x. α=. •. ero. 1 donne 2. 1. (1 + x) 2 = 1 + x = 1 +. x x2 1 1 α (α − 1)...(α − n + 1) n + + ( )(− ) + ... + x + 0( x n ) 2 2! 2 2 n!. ua. Pour calculer commodément le coefficient général d’ordre n, on multiple chacun des facteurs qui le composent par 2 ; on obtient n!. =. 2α (2α − 2)...(2α − 2n + 2) 2 n × n!. ni. α (α − 1)...(α − n + 1). (1). On remplace 2 α par 1, on obtient. FP. 1( −1)( −3)...(3 − 2n) 1 × 1 × 3 × ... × (2n − 3) = ( −1) n −1 2 × 4 × 6 × ... × 2n 2 × 4 × 6 × ... × 2n Par conséquent,. Te. 1 1×1 2 1×1×3 3 1×1×3×...×(2n − 3) n 1+ x =1+ x − x + x −...+ (−1)n−1 x + 0(xn ) au voisinage de 0. 2 2× 4 2× 4× 6 2× 4×6×...× 2n. α =−. tou. •. 1 En remplaçant, dans (1), 2 α par -1, on obtient : 2. D’où. an. ( −1)(−3)( −5)...(1 − 2n) 1 × 3 × 5 × ... × (2n − 1) = ( −1) 2 × 4 × 6 × ... × 2n 2 × 4 × 6 × ... × 2n. 1 1 1× 3 2 1 × 3 × 5 × ... × (2n − 1) n = 1− x + x − .... + ( −1) n x + 0( x n ) au voisinage de 0. 2 2× 4 2 × 4 × 6 × ... × 2n 1+ x. 8.

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(D.L.en abr&eacute;g&eacute;) d&rsquo;ordre n au voisinage de 0 , s&rsquo;il existe un intervalle ouvert &Iota

(D.L.en abrégé) d’ordre n au voisinage de 0 , s’il existe un intervalle ouvert &Iota