équivalant de la fonction concernée au voisinage de 0
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Texte intégral
(2) www.elmerouani.jimdo.com. Analyse Mathématique. Développements limités. b) Calculs de limites : Les D.L servent à calculer certaines limites que l’on ne pourrait pas déterminer par les méthodes habituelles. Exemple :. lim. Calculez. Log. (1 + x ) − x. x→ 0. ®E. C’est une forme indéterminée (. x. 2. 0 ) 0. lM. Alors on utilise les D.L au voisinage de 0, on a. ua. ero. x 2 x3 3 x − + + o ( x ) − x 2 3 Log (1 + x ) − x = 2 2 x x 1 x = − 2 + + o ( x ) (D.L, ordre 1, vers 0) x 3. ni. Log(1 + x) 1 1 x ( ) = − + + o x = − lim Donc lim x2 3 2 x→0 x→0 2. FP. C) Etude de la continuité ou de la dérivabilité en un point : Exemple : Soit. g : IR + → IR. si. x ∈ IR +* − {1}. 0. si x = 0. 1. si x = 1. Etudier la continuité et la dérivabilité de g au point 1. Continuité :. On a :. g (1) = 1. x0. si seulement si. lim g (x ) = g (x ) 0. x→ x0. calculons. lim x→1. Cherchons, donc, le D.L de g au voisinage de 1 Posons. u = x – 1 ou encore x = u + 1. 18 Pr. Mohamed El Merouani. g (x ). an. g est continue en un point. tou. Te. x a g (x ) =. x Log x x −1.
(3) www.elmerouani.jimdo.com. Analyse Mathématique. g (x) =. Développements limités. x Log x (1 + u )Log(1 + u ) = x −1 u. Lorsque x est voisinage de 1, u est voisinage de 0, on a :. u2 (1 + u )u − + o u 2 2 (1 + u )Log(1 + u ) = u u. ( ). ®E. ( ). ero. lM. u2 u− + u2 + o u2 2 = u. u2 u+ + o u2 u 2 = = 1 + + o (u ) au voisinage de 0. u 2. ( ). (1 − x ) + o(x − 1) xLogx = 1+ x −1 2. ni. g (x ) =. ua. Revenons à x,. FP. D’où. lim g (x ) = 1 = g (1). Par suite : g est continue en 1. x →1. lim. x→ x0. si seulement si. x→ x0. g (x ) − g (x 0 ) x − x0. x→1. g( x) − g(1) g ( x) − 1 = = lim x −1 x −1 lim x→1 x→1. =. 2. x −1. 1 + o(1) 2 19. Pr. Mohamed El Merouani. (x −1) + o(x −1) −1. an. 1+. lim. lim. g (x ) − g (x 0 ) existe et on a : x − x0. tou. g ′ (x 0 ) =. x0. Te. Dérivabilité : g est dérivable en un point. au voisinage de 1..
(4) www.elmerouani.jimdo.com. Analyse Mathématique. Donc. Développements limités. 1 1 g ( x ) − g (1) = lim + o(1) = x −1 2 x →1 2. lim x →1. D’où g est dérivable en 1 et g ′(1 ) =. 1 . 2. D) Etude des branches infinies :. ®E. Exemple :. f : ]− ∞ ; − 1[ ∪ ]1; +∞ [ → IR. Soit. lM. x a f (x ) = x. x −1 x +1. ero. Montrons que la courbe représentative de f admet une asymptote oblique (quand x. → ±∞ ). et précisons sa position relative par rapport à cette asymptote.. (x ) =. x. x =. ou encore. 1 t. x −1 x +1. 1 − 1 1 t = 1 t + 1 t. ni. f. 1 x. ua. Posons. t=. =. 1 t. FP. Lorsque x est voisin de ± ∞ , t =. 1 − t 1 + t. 1 x. est voisin de 0, donc :. Te. 1 1− t 1 1 1 2 2 = (1 − t ) = (1 − t ) 1 − t + t + o t t 1+ t t 1 + t t D.L ordre 2 de. 1 1 + t. 1 1− t + t2 − t + t2 + o t2 t. ( ). 1 1− t 1 1 1 = 1 − 2t + 2t 2 + o t 2 = 1 + − 2t + 2t 2 + o t 2 = 1 + u t 1+ t t t t. (). (. ( )). (u voisin de 0 pour t voisin de 0). 20 Pr. Mohamed El Merouani. an. =. ( )). tou. (.
(5) www.elmerouani.jimdo.com. Analyse Mathématique. Développements limités. 1 1 1×1 2 = 1 + u − u + o u2 t 2 2× 4 . ( ). D.L de. à l’ordre 2 au voisinage de 0. 1 1 1 2 2 u 1 + − u + o u t 2 8 . ( ). ®E. =. 1+ u. 1 1 1 = 1 + − 2t + 2t 2 + o t 2 − − 2t + 2t 2 + o t 2 t 2 8 1 1 = 1 − t + t 2 − t 2 + o t 2 t 2 . ( )) (. =. ( )). 1 1 2 1 t 2 1 − t + t + o t = − 1 + + o (t ) t t 2 2. ( ). ( ). au voisinage de 0.. 1 1 + o 2x x. Par suite :. au voisinage de. ±∞. tou. Te. Ainsi :. (t voisin de 0 ; x voisin de. f (x ) = x − 1 +. ±∞). FP. 1 1 + o 2x x. ni. x −1 1 1− t 1 t = = − 1 + + o(t ) x +1 t 1+ t t 2. f (x ) = x. = x −1+. + o t2 . ua. Revenons à x,. 2. ( ). ero. lM. (. 0 + vers + ∞ x →+∞. 0 − vers − ∞. Conclusion : La courbe représentative de f admet la droite d’équation oblique vers. an. 1 1 + o = x x →+∞ 2 x. lim f (x) − (x − 1) = lim. y = x − 1 comme asymptote. ±∞.. Cette courbe est au-dessus de son asymptote vers asymptote vers. −∞. 21. Pr. Mohamed El Merouani. + ∞ et. elle est au-dessous de son.
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