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(1) Soit f une fonction qui admet un DL au voisinage de 0 `a l’ordre 1 (f(x

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(1)

Printemps 2020

Feuille d’exercices-16-03-20- Analyse 3 (SMIA)

Exercice 1. (1) Soit f une fonction qui admet un DL au voisinage de 0 `a l’ordre 1 (f(x) = a0+a1x+xε(x), avec ε(x) tend vers 0 quand x tend vers 0).

(a) Montrer que si on pose f(0) =a0, alors f est continue en 0.

(b) Montrer, de plus, que f est d´erivable en 0.

(2) Les fonctions suivantes admettent-elles des d´eveloppements limit´es d’ordre 1 au voisinage de 0 ?

f(x) = ln(x), g(x) = sin 1

x

et h(x) = sinp

|x|

.

(3) Montrer que la fonction f d´efinie par f(x) = x3sin(1/x) pour x 6= 0 et f(0) = 0, est continue en 0, admet un DL `a l’ordre 2 et que f n’est pas deux fois d´erivable en 0.

Exercice 2. Calculer les d´eveloppements limit´es d’ordren au voisinage de 0des fonctions suiv- antes:

(a) f(x) = cos(x2) + sin(x), n = 5.

(b) f(x) = log(1 +x3), n= 9.

(c) f(x) =√

1 +x e2x, n = 3.

(d) f(x) =√

4 +x2, n= 6.

Exercice 3. D´eterminer le d´eveloppement limit´e `a l’ordre n, au voisinage de x0, des fonctions suivantes:

(a) f(x) = cosx, n= 5 et x0 =π/3.

(b) f(x) =√

x, n = 3 et x0 = 4.

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