Au voisinage de x= 0 a) f1 admet un prolongement par conti- b) f1 n'est pas born¶e

(1)

EPREUVE OPTIONNELLE OBLIGATOIRE DE MATHEMATIQUES

Liste des questions pouvant ^etre li¶ees :

(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20)

( 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40)

Ce sujet comporte 40 questions, toutes obligatoires

On considµere la fonction f® de la variable r¶eellex

1¡x®

f_®(x) =x

d¶e¯nie sur IR¤₊; oµu ® est un paramµetre r¶eel non nul.

On note C_® la courbe repr¶esentative de f_® dans le repµere Oxy:

Question n 01 :±

Il est possible d'¶ecrire f_® sous la forme

®lnx

a) exp((1¡®ln x) ln x): b) (1¡e ) lnx:

ln f_®(x)

®ln x

c) ln f_®(x) = ln (1¡e ) + ln x: d) ®ln x= ln (1¡ ):

ln x

± ±

Dans les questions n 02 µa n 10, on suppose ®2 f¡1; 1g: Question n 02 :±

Au voisinage de x= 0

a) f₁ admet un prolongement par conti- b) f₁ n'est pas born¶e.

nuit¶e µa droite.

c) f₁ admet un prolongement d¶erivable d) la pente de la tangente µa droite en O µ

a droite. est horizontale.

Question n 03 :±

f₁ admet au voisinage de x= 1 un d¶eveloppement limit¶e d'ordre 4 de la forme

¡ ¢

2 3 4 4

f₁(x) =s+t(1¡x) +u(1¡x) +v(1¡x) +w(1¡x) +o (1¡x) : a) t= 0 car f₁ est paire. b) s=¡u et w = 1:

6 La tangente µa C1 au point x= 1

c) est horizontale et traverse C₁: d) est au dessus de C₁ (au sens large).

Question n 04 :±

Au voisinage de x= +1; µ ¶

1 _x

a) f₁(x) =o _n pour tout n2IN: b) f₁(x) =o(e ): x

(2)

C1 admet

c) x= 0 pour asymptote. d) une branche parabolique.

Question n 05 :±

On pose x7!'(x) = 1 ¡1¡ln x d¶e¯nie pour x >0:

x

a) ' est continue, d¶erivable et born¶ee. b) ' est strictement croissante.

c) ' admet un extremum en x= 1: d) ' admet un seul point d'in°exion.

Question n 06 :±

0 ¤ ¤

a) f₁ et ' sont de m^eme signe sur IR₊: b) f₁ est strictement monotone sur IR₊ car ' l'est.

c) ' et donc f₁ admettent un extremun d) f₁ est croissante sur ]0; 1[:

au point x= 1:

Question n 07 :±

f_¡₁ est prolongeable µa droite en x= 0 et son prolongement

a) n'est pas d¶erivable en 0: b) est d¶erivable en 0 et de d¶eriv¶ee nulle.

c) La droite y= xest asymptote µa C_¡₁: d) lim f_¡₁(x) = 0:

x!+1

Question n 08 :±

¡ ₂¢ ₀ ₀₀

a) f_¡₁(x) = 1+o (x¡1) au voisinage b) f_¡₁(1) =f_¡₁(1) = 1:

de x= 1:

La tangente µa C_¡₁ au point x= 1

c) est parallµele µa la droite y =x: d) est au dessous deC_¡₁ (au sens large).

Question n 09 :±

C₁ a pour allure

a) ...O1...... .......................................^................................................................................................................................................................................. ..... .^.. .. .. .. ... .^...........................................................................^.^..........^....^............^.y............ ...... .......... .. ..... ........... ........ .. ..... ...... .. .... ...... ...................................................................................................................................................................................................................................................................... ...... ......................1.........................................................^....^...............................................................................................................................................^....^........................................................................................................................x........... b) ...O.1............................................^.....................................................................................................................................................................................^....... .^.. ...............................................................................^.................y......^.^....................................^.^.............................^.^....................................................... ................................................................................................................................................................................................................................. ... ..... .................................1......................................................^.^...^.................................. .. .... .... .. .. ....................................... ....................................................................................................^.....^.................... ..........................................x.........

C_¡1 a pour allure

c) O...1.....................................................................................................................................................................................................................................................^........ .. .........................................................................y...............^.............................^.............................................................................................................................................................................................. ..... .................. .... .... .................1.....................................................................................................................................1:5................................................................................................................. .... ..... ... .. .... .......... ..... ........ ... .... .. .... .. .. .. ......... .. ... ... .. .. .. .. ... ......... ... .. ... .. .. .. .. .. ... ..... .. .... .... .... .. .... .......... ..... .. ..... ..... ... ......... .. ... .... ...... ........... ...... .. ... ... .... .. ... .... .. .... .. ... .. .. ... .. .. .... ......................................................x......... d) O...1.......................................^..............................................................................................................................................................................................................^.....................................................................................y...............^......................................................................^..........................^............. ..... ......... .................. .... ................... ......... ......................................................................................... ................ ...... ... .. .. ... ..........1:5...... .. ... ... .... ............ .....................................................................................................................................................................................................................................................................................^................................^...............................................................................x..........

Question n 10 :±

a) C₁ est au dessus de C_¡₁ (au sens b) C₁ et C_¡₁ se coupent en O:

large).

(3)

c) C1 et C¡1 ont un seul point commun. d) La droite y = x coupe C1 et C¡1 au seul point commun aux deux courbes.

Question n 11 :±

Dans cette question, on suppose que ®=¡2: Au voisinage de x= +1;

ln x 1

f_¡₂(x) =s+t x+u +o( ₂):

x x

a) Pour que l'expression pr¶ec¶edente soit un d¶eveloppement g¶en¶eralis¶e, il faut n¶eces- sairement que u soit nul.

b) u= 0 car la droite y =x est une asymptote oblique deC_¡₂:

c) C_¡₂ est toujours au dessous de son d) C_¡₂ traverse son asymptote oblique asymptote oblique (au sens strict). en au moins deux points.

Question n 12 :±

Au voisinage de x= 0

a) f_®(x) n'est jamais born¶e. b) f_®(x) tend vers 0 si ® >0:

Lorsque f_® admet un prolongement par continuit¶e µa droite de 0 alors

c) f® est d¶erivable et lim₊f®0(x) = 1: d) C® admet au voisinage de 0 la droite

x!0

y =x+ 1 pour tangente.

Question n 13 :±

Au voisinage de x= +1

a) si ® 2] ¡ 1; 0[ alors C® admet une b) si ® 2] ¡ 1; ¡1[ alors y = x est asymptote oblique. asymptote µa C_®:

c) si ® > 0 alors y = 0 est asymptote µa d) si® <0 alorsC_® a une branche in¯nie

C_®: de direction asymptotique y= 0:

Question n 14 :±

On pose pour tout®6= 0 et pour tout x >0; '®(x) ='(x®) (Cf Question 05).

a) '_® et ' ont le m^eme ensemble de b) '_® et ' ont le m^eme sens de varia-

d¶erivabilit¶e. tion.

0 0 ®¡1

c) f®(x) et '®(x) sont de signe con- d) f®(x) ='®(x)x f®(x):

traire.

Question n 15 :±

a) f_® admet un extremun en x = 1 si b) f_® possµede un extremun, pour tout®:

® <0:

c) f_® est strictement d¶ecroissante sur d) f_® est strictement d¶ecroissante sur ]0; 1[ si ® >0: [2; 3] si et seulement si ® <0:

Question n 16 :±

On suppose 0< ® < ¯ dans cette question.

® ¯ ¯ ®

a) 0< x <1 ) x < x : b) x > x ) x >1:

c) C® est au dessous de C¯ (au sens d) C® et C¯ ont un seul point commun.

large).

Question n 17 :±

1¡x®

On considµere l'¶equation (E) : m = x ; oµu l'inconnue est x; avec les deux paramµetresm >0 et®6= 0:

a) (E) admet au moins une solution. b) (E) admet une et une seule solution si et seulement si m= 1:

(4)

c) (E) admet exactement deux solutions d) si m= 1 alors (E) admet deux solu-

2 ¤

distinctes. tions distinctes dans IR₊:

Question n 18 :±

La tangente µa C® en un point d'abscisse » >0 passe par le point O si f_®(»)

a) '_®(») = 0: b) f_®0(») = :

»

c) 1 +®ln » = 0: d) » = 1:

Question n 19 :±

Le lieu des points deC_® en lesquels la tangente passe par le point O a pour ¶equation

1¡1=e ¡1=®

a) y =x : b) x=e et y quelconque.

e e¡1

c) y =f_e(x): d) y =x :

Question n 20 :±

Soit l'¶equation di®¶erentielle d¶e¯nie dans IR¤₊ par

µ ¶

0 1 ®¡1

y ¡ ¡x (1 +®ln x) y = 0: (1)

x L'ensemble des solutions de (1)

a) est constitu¶e des fonctions de la forme b) est un espace vectoriel ayant toujours f®(x) +K; K 2IR: pour base fx7!f1(x)g:

Il existe une (au moins) solution y de (1)

c) qui soit prolongeable en 0 et telle que d) v¶eri¯ant y(1) = 0:

y(0) = 0:

4 ~ ~ ~ ~

On considµere dans l'espace vectoriel r¶eel E = IR ; rapport¶e µa la base B₀ = (i; j; k; l);

l'endomorphisme f de matrice dans B₀ :

0 7 4 0 0 1

¡12 ¡7 0 0

B C

A= @ 20 11 ¡6 ¡12A

¡12 ¡6 6 11

Pour les deux questions suivantes, de fa»con g¶en¶erale soit M une matrice M₄(IR):

Question n 21 :±

a) ¸ est valeur propre de M si et seule- b) il existe toujours au moins une valeur ment si Ker (M ¡¸I₄) est non vide. propre r¶eelle.

c) S'il existe ¸ 6= 0 tel que M X = ¸X d) M admet un nombre in¯ni de vecteurs alors X est un vecteur propre. propres.

Question n 22 :±

a) M est toujours trigonalisable. b) Si M est de rang 4 alors elle est diagonalisable.

Si les valeurs propres sont r¶eelles alors

c) on peut conclure µa la diagonalisation d) les sous espaces propres sont stables

de M: par M: